Большинство игр предназначено для нескольких игроков. Надеюсь, вы найдете компаньона, который разделит ваше любопытство и попробует вместе с вами освоить их. «Там, где царит соперничество, можно преподавать лишь мертвую математику, – сказала математик Мэри Эверест Буль. – Живая математика должна быть общим достоянием». На мой взгляд, даже состязательные игры – это совместные проекты, в которых умы объединяются, чтобы выстраивать необычные логические и стратегические цепочки. Давид Бронштейн называл это «мышлением на двоих». Карл Меннингер – «прогрессивной диффузией умов». Я предпочитаю говорить проще: «игра».
Как бы то ни было, это книга, и я очень надеюсь, что вы ее прочтете. Каждая игра высвечивает ту или иную истину о математике, от комбинаторного взрыва до теории информации. А эти математические истины проливают свет на игры. Кажется, что света слишком много? Не пугайтесь. Ваши глаза скоро привыкнут. Как однажды написал преподобный Чарльз Калеб Колтон, «изучение математики, подобно Нилу, начинается с малого и кончается великим».
Игры, о которых я рассказываю в этой книге, рождались в парижских университетах, японских школьных дворах, шумных игорных залах, редакциях аргентинских журналов, их авторы – скромные энтузиасты и бессовестные выскочки, подвыпившие профессора и озорные дети. Эти игры многогранны, ибо многогранна математика; несерьезны, ибо несерьезна математика. И они общедоступны, ибо математика общедоступна, что бы там ни говорили устрашающие формулы и язвительные профи.
Грубо говоря, я позаимствовал игры из четырех областей:
1. Традиционные детские игры, например «Морской бой», «Китайские палочки», «Точки-клеточки».
2. Игры для приятного времяпрепровождения, например «Тико», «Бокс на бумаге» и «Амазонки».
3. Концептуальные игры, придуманные математиками, например «Сим», «Ростки» и «Доминирование».
4. Необычные школьные игры, например «Соседи», «Из ряда вон», «101 – и тебе крышка».
Как появляются игры? Что зажигает математический огонь? Я сам придумал девять игр, и мне бы следовало знать. Но нет единого пути, нет общей родословной. Индия подарила нам шахматы, Китай – го, Мадагаскар – фанорону, а мой двухлетний племянник Скандер – пляски возле пазла с воплем «мовавававава».
Почему математические игры настолько универсальны? Честно говоря, не знаю. Возможно, потому что универсум настолько математичен.
Показательный пример: в 1974 году генетик Марша Джин Фалько начала рисовать символы на каталожных карточках. Это был инструмент исследования: каждая карточка означала собаку, а каждый символ – генетическую комбинацию. Но после перетасовки и перегруппировки карточек все детали отпали. Она увидела чистые комбинации, абстрактные модели. Игру логики. Логику игры. «Материя не привлекает внимания [математиков], – писал Анри Пуанкаре, – их интересует только форма». Ветеринар, заглядывая через плечо Марши, стал задавать вопросы и натолкнул ее на идею игры.
Так родилось любимое развлечение Стивена Хокинга, любимая тема исследований ведущих математиков и одна из популярнейших карточных игр XX века: «Сет».
В том же самом, 1974, году один венгерский архитектор поставил перед собой конструкторскую задачу: можно ли сделать большой куб из маленьких кубиков, которые двигаются независимо друг от друга? Он попытался. И у него получилось. А потом ему взбрело в голову приклеить цветную бумагу на грани кубиков и покрутить их. Это был поворотный момент его жизни. «Парад красок приятно ласкал взгляд, – вспоминал он позже, – но в конце концов я решил, что настала пора возвращаться, как после отменной обзорной экскурсии… и привести кубики в порядок».
Он попытался. Но не тут-то было. Как азартный человек, он увлекся. Спустя месяц куб удалось, наконец, вернуть в исходное состояние. Так Эрнё Рубик стал создателем самой продаваемой игрушки в истории человечества.
«Сет» и кубик Рубика демонстрируют нам два фундаментальных пути математической мысли. Вы можете начать с реальности, как Марша, и отыскивать ее абстрактную структуру или начать с абстрактной структуры, как сделал Эрнё, и искать ее смысл в реальности. В этом плане «Сет» и кубик Рубика не просто позволяют играть другим; они сами являются плодами игры воображения, праздного искусства гениальных приматов, которые никогда не перестают учиться.
Потому что они выявляют лучшее в человеческом мышлении.
В 1654 году некий азартный игрок написал двум математикам с просьбой решить головоломку. Представьте, что двое играют в орлянку. Первый, кто наберет семь очков, выигрывает сотню долларов. Но когда счет был 6:4, игра прервалась. Как честно разделить приз?
Два математика, Блез Паскаль и Пьер Ферма, решили задачу[4], более того, благодаря их решению началось математическое изучение неопределенности, которое мы сейчас называем теорией вероятностей.
Это фундаментальное орудие современности появилось на свет благодаря простой головоломке, связанной с игрой случая.
А вот еще одна история из жизни. Воскресными днями в 1700-е годы жители Кёнигсберга (ныне Калининград), прогуливаясь по четырем районам родного города, пытались пройти по всем семи мостам (Кузнечному, Рабочему, Зеленому, Лавочному, Деревянному, Высокому и Медовому), но только один раз. Успеха не добился никто. А в 1735 году математик Леонард Эйлер доказал, что это невозможно. Такого маршрута попросту не существовало. Его доказательство легло в основу теории графов – исследования сетей, охватывающего все на свете, от соцсетей и поисковых алгоритмов в интернете до эпидемиологии. Google и битва против COVID-19 берут свое начало в праздном времяпрепровождении пруссаков XVIII века.
Хотите еще пример? Почтим память Джона Хортона Конвея, великого математика, – он покинул наш мир, когда я работал над этой книгой. Конвей исследовал самые разные области математики, от клеточных автоматов до абстрактной алгебры. А кроме того, он вновь и вновь возвращался к играм. Его любимым открытием были сюрреальные числа, которые кодировали структуру игр для двух игроков в числовую систему. Его самое известное (и, следовательно, наименее любимое) открытие показало, как вселенская сложность может возникнуть из нескольких простых правил; он придумал игру под названием «Жизнь».
«Я был поражен тем, какую роль его идеи об играх сыграли в работе над решетками, кодами и упаковками… Какие шансы у математика, который любит игры, обнаружить, что игры подспудно лежат в основе других областей, которые он изучает?» – пишет математик и поклонник этой игры Джим Пропп.
Я мог бы и продолжить – например, еженедельная вечерняя партия в покер вдохновила Джона фон Неймана на создание теории игр, чьи стратегические выводы сейчас пронизывают экологию, дипломатию и экономику, – но в мои планы не входит воспевание пользы математики для народного хозяйства. По правде говоря, мне дела нет до того, что математическая игра помогла кому-то заработать миллиарды или сколотить триллионы долларов. По-моему, это случайный побочный продукт математической игры.
Когда вы отрываетесь от игры и обнаруживаете, что невольно изменили ход человеческой истории, то понимаете – это игра с огнем, причем с особым.
«Все хорошие идеи – это игра», – пишет Мейсон Хартман. Она имеет в виду, что наш разум исследует идеи так, как детеныш шимпанзе исследует лес, свободно и самозабвенно. Это не игра в «Парчизи», где каждый ход направлен на победу; скорее, это игра воображения, игра «а что, если…», эстафета поколений, неугасимый факел. «Игра, имеющая конец, ведется ради победы, – писал Джеймс Карс, – бесконечная игра – ради самой игры».
Мы часто воспринимаем математику как набор игр, имеющих конец, – вопросов, требующих ответа; головоломок, которые предстоит решить; теорем, которые необходимо доказать. Но все вместе они образуют необозримую и нескончаемую игру, захватывающую мысли любой разумной обезьяны. «Я люблю математику, – сказала математик Роза Петер, – потому что человек вдохнул в нее дух игры, и она дала ему его величайшую игру – умопостижение бесконечности».
По моему скромному мнению, величайшая игра человечества – «Пол – это лава!», но время от времени я все же приобщаюсь к умопостижению бесконечности. Сердечно приглашаю и вас присоединиться к этому.
IГеометрические игры
Здесь вы познакомитесь с пятью играми, действие которых разворачивается в непохожих пространствах. Надеюсь, вы вынесете отсюда как минимум то, что есть разные виды пространства.
Игра в «Точки-клеточки» напоминает вычерчивание градостроительного плана на миллиметровке. «Ростки» расползаются по змеящемуся, зыбкому пейзажу. «Супер-крестики-нолики» представляют собой фрактальный мир микрокосмов, макрокосмов, повторов. «Одуванчики» – игра продуваемых ветрами равнин и суровых векторов. Наконец, «Квантовые крестики-нолики» обитают в сверхъестественном пространстве, которое и на пространство-то почти не похоже. Охватите эти игры взглядом, и вы поймете, почему математики полагают, что геометрий много, что есть совершенно разные способы концептуализации пространства и его содержимого. «Одна геометрия не может быть более истинной, чем другая, – писал математик Анри Пуанкаре, – она может быть лишь удобнее».
Тем не менее у всех этих игр есть одна общая черта: они разворачиваются на плоскости. Приключения в двумерном мире позволяют пролить свет на трехмерный, словно в театре теней наоборот.
Быть современным человеком здорово. Наши предки, словно Тарзан, перепрыгивали с ветку на ветку, а я, словно Джейн[5], перепрыгиваю из книги в книгу, со страницы на страницу, с одного листа бумаги на другой. Мой мозг создан для трехмерного мира, в котором есть глубина и объем, а я нацелился на мир двумерных документов и экранов, тонких ломтиков толстенной реальности.