Но разве это не интересно?
«Амазонки» 6 × 6. Ускоренная игра: играйте на поле 6 × 6 клеток с четырьмя фигурами. Вот начальная позиция:
«Амазонки» 10 × 10. Это более долгая и увлекательная игра, чем на поле 8 × 8. Именно такой вариант изначально предлагал Вальтер Замкаускас. У каждого игрока по четыре амазонки. Начальная позиция изображена ниже.
Коллекционер. Изящная игра в духе «Амазонок», придуманная Уолтером Джорисом. Играют на поле 6 × 6 клеток. Ход двухэтапный: сначала помечается любая пустая клетка, а потом вычеркивается любая пустая клетка по соседству (по горизонтали, вертикали и диагонали). Игра идет до тех пор, пока ходов больше не останется. Побеждает тот, кто завоюет наибольшую группу связанных клеток. Связь по диагонали считается.
Квадрофаг. Дальний предок «Амазонок». Рекомендую играть с королем, конем, ладьей или ферзем.
1. У первого игрока есть одна фигура (например, король). Она стоит в произвольном месте доски, далеко от края. Ходит так же, как соответствующая шахматная фигура.
2. У второго игрока есть горсть монет. Он выкладывает на доску по одной монете за ход, блокируя путь противнику.
3. Первый игрок должен дойти до края доски и убежать. Тогда он зарабатывает столько очков, сколько монет выложил второй игрок. Если убежать невозможно, у первого игрока ноль очков.
4. Меняйтесь ролями. Побеждает тот, кто наберет больше очков.
Pferdeäppel. У каждого игрока есть шахматный конь. Вначале они стоят в противоположных углах доски 8 × 8 клеток. После каждого хода конь оставляет кучу навоза на покинутом поле. Туда больше нельзя ходить (но можно перепрыгивать через это поле). Выигрывает тот, кто съест коня противника или загонит его в ловушку (лишив возможности ходить).
Калейдоскоп комбинаторных игр
Игры, о которых сейчас пойдет речь, могут показаться немного эклектичными. Придется стучать костяшками домино, соединять линии, рисовать крестики и вращать фигурки. Наверное, вы спросите: «Зачем? Это что, комбинаторные игры?»
Ну да. Обратимся к мудрости иудейского текста VIII века «Сефер Йецира». Там сказано, что мир создан из сочетаний и перестановок букв еврейского алфавита: «Он начертал их, высек их, взвесил их, и сделал их сочетания и перестановки, испытал их, и создал посредством них душу всего: всего созданного и душу всего, что должно быть создано в будущем»[62]. Согласно этой точке зрения, Бог – великий комбинатор, а мы с вами – просто комбинации.
Итак, мои дорогие комбинации молекул, надеюсь, вам понравятся эти комбинации правил.
Повороты
Для этой ошеломляющей игры вам понадобится квадратное игровое поле (4 × 4 клетки для быстрой игры и 6 × 6 для долгой) и пригоршня фигурок, по которым видно, куда они смотрят. Мне нравятся печеньки в форме рыбок, а Джо Кисенветер, автор игры, советует нарисовать стрелки на картонных фишках для покера.
Два игрока сидят друг напротив друга и по очереди ставят фигурки на пустые клетки. Каждая фигурка должна быть обращена к одной из соседних клеток по горизонтали или вертикали. (Диагонали не в счет.) Если соседняя клетка уже занята, фигурка на ней поворачивается на 90° по часовой стрелке. Если она, в свою очередь, обращена к другой фигурке, та тоже поворачивается, и так далее, пока вы не дойдете до фигурки, обращенной к пустой клетке (или к краю поля).
Играйте до тех пор, пока не заполните все игровое поле, а затем подсчитайте очки. Вы набираете по 1 очку за каждую фигурку, обращенную к вашему краю поля. Выигрывает тот, кто наберет больше очков. Можно играть вчетвером, заняв все стороны поля. Можно играть вшестером на шестиугольном игровом поле, состоящем из шестиугольничков, и поворачивая фигурки на 60º.
Доминирование
В этой игре два игрока по очереди размещают костяшки домино на прямоугольном поле. Один кладет костяшки вертикально, другой – горизонтально. (Цифры не играют роли.) Если вам некуда положить костяшку, вы проиграли.
Первые ходы выглядят случайными. Но вскоре начинают появляться коридоры. Вы начинаете думать о будущем и соперничать за безопасные места. В конце концов поле распадается на изолированные области, и можно точно подсчитать, сколько ходов осталось у каждого игрока.
Эта игра (известная также под названиями «Шлагбаум» и «Толчея») стала классической в теории комбинаторных игр и занимает видное место в каноническом тексте «Как выигрывать в математических играх». Если другие классические игры (например, многочисленные вариации «Ним») больше подходят для комбинаторного анализа, чем для веселого времяпрепровождения, то «Доминирование», на мой взгляд, – и хорошая задача, и хорошая игра.
Кстати, можно обойтись и без костяшек домино, а просто заштриховывать прямоугольники на бумаге.
Своя линия
Сид Саксон предложил эту игру в качестве альтернативы крестикам-ноликам. «Если уложить в линию всех, кто когда-нибудь играл в крестики-нолики, они быстро уснут от скуки», – написал он. Он надеялся развеять это уныние и создать игру повеселее, которая никогда не оканчивается вничью.
Вначале расставьте точки по узлам сетки 4 × 4. Первый игрок соединяет любые две точки прямой линией: горизонтальной, вертикальной или диагональной (под углом 45º к краю игрового поля).
Теперь по очереди удлиняйте эту линию с любой стороны, вычерчивая новые отрезки по тем же правилам. Они могут быть любой длины, но не должны соприкасаться и пересекаться. Играйте до тех пор, пока удлинять будет некуда. Проигрывает тот, кто делает последний ход.
Игра Сида напоминает другую, постарше, чьи правила Эдуард Люка опубликовал одновременно с «Точками-клеточками». Отличий немного:
1. Вы играете на поле 6 × 6.
2. За один ход можно соединить две соседние точки по вертикали или горизонтали.
3. Змейка растет только с одной стороны.
4. Побеждает тот, кто делает последний ход.
Кошки и собаки
Нарисуйте на бумаге игровое поле 7 × 7 клеточек. Затем по очереди рассаживайте ваших животных: «кошек» (крестики) и «собак» (нолики). Кошки и собаки не могут занимать соседние клеточки, даже по диагонали. Побеждает тот, кто делает последний ход[63].
Эту игру придумал алгебраист Саймон Нортон. В честь него ее назвали «Снорт». В его версии крестики и нолики означали не собак и кошек, а быков и коров, пасущихся на разных пастбищах, которые начинают громко фыркать, если находятся слишком близко[64]. Пастбища не обязательно должны быть квадратными: можете нарисовать любое поле из причудливых участков.
В родственной классической комбинаторной игре «Кол» ключевое правило обратное: располагаться по соседству могут лишь значки разных видов. «Кол» легче проанализировать математически и, пожалуй, поэтому в нее не так интересно играть. Держать своих кошек порознь? Странно. Кошки выгибают спину и шипят, завидев собак? Вот это весело!
Приказные крестики-нолики
Это крестики-нолики с простой особенностью: вы не полностью определяете место, в которое попадает ваш символ. Вы выбираете строку или столбец, а противник выбирает, куда поставить ваш символ. Ученики Элизы Джонсон-Дрейер окрестили эту игру «Приказными крестиками-ноликами», и мне это по душе, потому что неясно, кто командует.
Играйте на поле 4 × 4, где столбцы обозначены буквами Y-O-U-R, а строки – P-I–C-K. Побеждает тот, кто первым поставит три символа в ряд.
В начале игры кажется, что ваши ходы в основном зависят от противника. Но по мере развития игры баланс сил меняется. Иногда можно выбрать строку, где осталась всего одна пустая клеточка, так чтобы у противника не было выбора. Для игры подольше (правда, с затянутым началом) сделайте поле 5 × 5 и выстраивайте четыре символа в ряд.
Интересно попробовать такой принцип совместного выбора в других играх, например в «Точках-клеточках» (я выбираю ряд точек, а вы проводите линию) или в шахматах (я выбираю фигуру, а вы делаете ход, причем я могу оговорить, что моя фигура ест вашу).
IVРисковые игры
Вы играете в рисковые игры каждый день. Переходите дорогу на красный свет; прилюдно поправляете шефа; пьете просроченное молоко – все эти «игры» сулят вознаграждение (например, калории), но в то же время влекут риск (например, отравиться молоком). Математика может многое сказать о таких решениях – включите телевизор, и я покажу вам как.
Многие телешоу не что иное, как демонстрация конкретных примеров из сферы математики риска и вознаграждения. Некоторые строятся на классических головоломках теории вероятностей, раздела математики, связанного с оценкой неопределенности. Другие опираются на теорию игр, математику стратегических взаимодействий. Многие телешоу используют то и другое, создавая досадные математические дилеммы.
Нет-нет, я не имел виду передачи Ханны Фрай[65] на BBC. Речь об игровых телешоу, таких как Deal or No Deal. Шоу начинается с того, что ведущий по имени Хоуи Мандел шагает по темной сцене и бубнит «миллион долларов», «миллион долларов», будто заклинатель древних духов. На сцене также находятся 26 женщин в одинаковых платьях