[66] с 26 закрытыми чемоданами. Там лежат разные суммы – от одного цента до миллиона долларов.
Участник шоу наугад выбирает чемодан. Затем по очереди открывают другие чемоданы, и лежащие там деньги выбывают из игры. Время от времени раздается звонок от таинственного банкира, который предлагает конкурсанту продать свой чемодан.
Помоги нам, теория вероятностей! Что должен делать конкурсант?
Для начала представим, что игра сыграна миллион раз, а сумма в чемодане конкурсанта оказывается разной каждый раз. Остается девять вариантов, так что в 1/9 игре ему достанутся жалкие $75, а в еще одной 1/9 игре – полмиллиона. В оставшихся 7/9 игр выигрыш составляют промежуточные суммы. Вычислите среднее арифметическое – это «ожидаемый выигрыш». Голландский ученый XVII века Христиан Гюйгенс говорил, что «за такую цену разумно уступить право играть дальше кому-нибудь другому».
Задача решена, с одной крохотной оговоркой: в шоу Deal or No Deal банкир, похоже, никогда не предлагает ожидаемый выигрыш.
Дело не в том, что банкир (вернее, алгоритм, разработанный создателями шоу) хочет сэкономить. Истинная цель состоит в том, чтобы привлечь как можно больше зрителей, ставя конкурсанта перед сложным выбором. Вначале банкир предлагает заниженные суммы (часто меньше 40 % от ожидаемого выигрыша), подталкивая к продолжению игры. Ближе к концу предложения становятся выгоднее, но никогда не достигают ожидаемого выигрыша, поскольку это было бы слишком просто: большинство людей не склонны к риску и предпочтут гарантированно забрать полмиллиона, а не играть в орлянку в надежде получить миллион. А вот согласятся ли они на $300 000 или $400 000, большой вопрос. Это сложный выбор, который делает шоу притягательнее.
Но довольно о Хоуи с его миллионом долларов. Лучше переключимся на телешоу подостойнее, поспокойнее и поинтеллектуальнее – классическую викторину Jeopardy![67].
До того как прозвучит вопрос в финальном раунде, участники делают тайные ставки. Они вправе поставить на кон всю сумму, заработанную на протяжении игры. Чаще всего ставки делаются по обкатанной схеме. Игрок, занимающий второе место (претендент на победу), идет ва-банк, а лидер ставит ровно на $1 больше потенциального выигрыша претендента.
Странно, не правда ли? Хотя до поры до времени ставка неизвестна, игроки почти никогда не используют элемент неожиданности, предпочитая предсказуемый выбор. Джону фон Нейману это вряд ли понравилось бы. «Жизнь полна блефа, – сказал он однажды, – небольшого обмана, попыток угадать, понимает ли другой человек, что я намерен сделать. Именно это называется игрой по моей теории».
Он имел в виду теорию игр, математику стратегических взаимодействий. В этой части вы познакомитесь с наследием фон Неймана из первых рук. В играх «Подсечка» и «Бокс на бумаге» придется заглядывать в душу противника и предугадывать его ходы, чтобы оставаться на шаг впереди. Ваш оптимальный выбор во многом будет зависеть от решения соперника.
Как это происходит в финальном раунде Jeopardy?
Что ж, при стандартных ставках претенденту остается лишь надеяться на то, что он ответит правильно, а лидер ошибется[68]. При любом другом раскладе лидер побеждает.
Лучший ли это выбор для претендента? Нисколько. Если он поставит $0, то в случае провала лидера победит, даже допустив ошибку.
Но такая ставка рискованна. Вдруг лидер предвидит коварную стратегию соперника? Тогда он тоже поставит $0 и победит в любом случае.
Однако претендент может предвидеть такой исход и перехватить контроль над ситуацией, сделав ставку посерьезнее.
Интересно, не правда ли? Можно провести аналогичный анализ любого шоу на ваш выбор. Когда покупать гласную букву в Wheel of Fortune?[69] Стоит ли отвечать на следующий вопрос в игре Who Wants to Be a Millionaire?[70] Какую цену назвать в The Price Is Right? Каждый раз встает вопрос из теории игр и теории вероятностей, вопрос расчета риска и вознаграждения.
Эти забавные игры – модельные системы, с помощью которых мы лучше понимаем реальность.
Вот жутковатый пример. Джон фон Нейман начал работать над теорией игр, анализируя сыгранные партии в покер, но вскоре понял, что она прекрасно работает в сфере геополитики. Фон Нейман увидел простую матрицу выигрыша в стратегических взаимодействиях времен холодной войны. США и СССР стремились овладеть земным шаром. Если бы обе сверхдержавы стремились к миру, тогда воцарился бы мир. Если бы одна из них стремилась к миру, а другая перешла бы в наступление, победа досталась бы агрессору. Если бы обе начали наступление, разразилась бы ядерная война.
Он пришел к выводу, что у США есть только один логичный выбор: публичная и непоколебимая линия ответного насилия. Если вы нападете на нас, мы уничтожим вас, даже если это грозит самоуничтожением. Так родился хрупкий мир, основанный на гарантированном взаимном уничтожении. Эту ситуацию метко окрестили MAD[71].
Мир продолжает существовать благодаря логике игры.
К счастью, риски и вознаграждения в этом разделе книги поскромнее. Не забывайте об этом, когда 11-летние школьники будут обыгрывать вас в «Подсечку». Мир не погибнет от ядерного взрыва, хотя у вас, возможно, промелькнет такое желание.
Подсечка
«Подсечка» – идеальная игра во время семейного путешествия. Понадобятся только руки, голова и противник, которого вам нравится бесить. Когда я научил 11- и 12-летних детей играть в «Подсечку», они были в восторге, в том числе и потому, что всякий раз клали меня на лопатки. Зализывая раны, я вернулся домой и вызвал жену на утешительный поединок. После того, как я сделал ей подсечку три раза подряд, она испепелила меня взглядом и заставила пообещать, что мы никогда-никогда не будем больше играть в эту игру. Теперь она под запретом в моем доме, но, надеюсь, приживется в вашем.
Сколько игроков? Два пятипалых[72].
Что потребуется? Могут пригодиться карандаш и бумага, чтобы вести счет.
В чем цель? Загадать число, которое на 2, 3 или 4 больше, чем у противника, – или, еще лучше, ровно на 1 меньше.
Какие правила?
1. Игроки загадывают число от 1 до 5 и показывают его на пальцах на счет «три». Сколько вы загадали – столько очков заработали. Все просто, но есть одно важное исключение…
2. Если ваше число ровно на 1 больше, чем у противника, он делает подсечку, и ваши очки достаются ему.
3. Игра продолжается, раунд за раундом, пока один из игроков не вырвется вперед на 11 или больше очков. Он побеждает.
«Подсечка», где радость мгновенно сменяется огорчением (и наоборот), не столько математическая игра, сколько игра умов.
Скажем, вы решили, что я загадаю 4. Следовательно, вы загадываете 3… а значит, я должен загадать 2… если только вы не предвидели этот маневр и не загадали 5… тогда я должен все-таки загадать 4, как вы и предвидели… и так далее и так далее, все глубже и глубже в дебри. На мой взгляд, «Подсечка» похожа на классическую сцену в фильме «Принцесса-невеста», где перед сицилийцем стоят два бокала вина. В одном из них яд. Он в отчаянии пытается понять, где именно, и мысль блуждает по кругу. «Подсечка» устроена так же, просто яд не смертелен. А что, хорошая реклама. «Подсечка» – глоток из чаши с ядом без вреда для здоровья[73].
Летом 1962 года студенты-математики Дуглас Хофштадтер и Роберт Бенингер ехали на автобусе в Прагу через южногерманские леса. Им было до смерти скучно. Тогда они и придумали «Подсечку», чтобы убить время[74].
Осенью Хофштадтер написал компьютерную программу, моделирующую «Подсечку». Он использовал цифры вместо пальцев, то есть цифры вместо цифр. Цель состояла в том, чтобы находить закономерности в ходах противника и использовать их.
«Вначале программа часто проигрывала, – написал Хофштадтер позже в Scientific American, – потому что еще не умела распознавать закономерности в поведении программы-соперницы». Однако в конце концов она уловила ход мыслей противницы и устремилась к победе, нанося удары, словно ловкий самурай. Хофштадтер вспоминает, что испытал «ощущение всепоглощающей силы». Но как раз в тот момент, когда он приготовился торжествовать, появился оппонент.
Его звали Джон Петерсон. Его программа просто применяла теорию игр.
«Дело не в том, что его программа превзошла мою. Она просто никогда не следовала какой-нибудь закономерности», – объяснил Хофштадтер. Сколько бы ни сражались две программы, ни одна не делала резкого рывка вперед, так что длилась вечная ничья. Ищейка не чуяла добычу. «Непостижимо», – констатировал Хофштадтер.
Воистину непостижимо – пока Петерсон не объяснил, как работает его программа. Она просто игнорировала логику соперницы и делала случайный выбор на основе особого набора вероятностей.
По сути дела, программа Петерсона имитировала бросок 66-гранной игральной кости с единицей на 10 гранях, двойкой – на 26, тройкой – на 13, четверкой – на 16 и пятеркой на последней грани. Эта жесткая, механическая стратегия позволила достичь бесхитростной, сводящей с ума безупречности.
Она не побеждала. Но по той же причине была непобедима.