Почему слова «любопытный топологический колорит» заключены в кавычки? Мир узнал об игре «Ростки», когда Мартин Гарднер процитировал письмо студента-математика Дэвида Хартшорна: «Мой друг, изучающий античную литературу в Кембридже, недавно познакомил меня с игрой под названием "Ростки", вошедшей там в моду в прошлом семестре. Ей присущ любопытный топологический колорит». Gardner, Mathematical Carnival.
Топология – это круто! Не так ли? Охотно рекомендую книгу David Richeson, Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology (Princeton, NJ: Princeton University Press, 2012).
Похоже, этот Джон Конвей – любопытный фрукт. Согласен. Вот восхитительная биография: Siobhan Roberts, Genius at Play: The Curious Mind of John Horton Conway (New York: Bloomsbury USA, 2015).
Так как же выиграть в «Ростки»? Лучшая стратегия предложена в книге Winning Ways for Your Mathematical Plays. Однако компьютеры сейчас обогнали людей: Julien Lemoine and Simon Viennot, "Computer Analysis of Sprouts with Nimbers,"Games of No Chance 4, MSRI Publications 63, 2015.
А что, если я не хочу читать занудную академическую литературу? Сам я почерпнул немало из видео на YouTube от Кевина Либера на канале Vsauce2. Введите в строку поиска The Dot Game That Breaks Your Brain.
А если игра будет продолжаться вечно? Это невозможно. Если начать с n точек, игра не может длиться более 3n – 1 ходов. Вот краткое доказательство. Прежде всего, обратите внимание, что у каждой точки есть три «жизни». Следовательно, в игре с n точками всего 3n жизней. Каждый ход отнимает две жизни и прибавляет одну новую, уменьшая совокупное количество жизней на единицу. Поскольку игра не может продолжаться, когда осталась всего одна жизнь, она неминуемо закончится на (3n – 1)-м ходу или раньше.
Где можно узнать больше о фракталах? Почитайте книгу, написанную специалистом по фрактальной геометрии и поэтом: Michael Frame and Amelia Urry, Fractal Worlds: Grown, Built, and Imagined (New Haven, CT: Yale University Press, 2016).
А если я хочу посмотреть на красивые природные ландшафты? Попробуйте книгу Nature's Chaos (New York: Little, Brown, 2001) с эмоциональным описанием, составленным Джеймсом Гликом, и фотографиями природных фракталов, сделанными Элиотом Портером. Можете также посмотреть сайт Пола Бурка Google Earth Fractals.
Отметив, что Трамп играет в «Супер-крестики-нолики», вы имели в виду, что это хорошо или что это плохо? Я, как человек, уверенный в том, что политические взгляды лучше всего выражать в примечаниях к книгам с карикатурами, решил поделиться здесь своим видением ситуации. Но эта аналогия не моя, она взята из статьи Оливера Редера, "Trump Isn't Playing 3D Chess – He's Playing Ultimate Tic-Tac-Toe,"FiveThirtyEight, May 7, 2018.
Платон на самом деле говорил, что весь мир состоит из прямоугольных треугольников? Да, в своем трактате «Тимей». Он утверждал, что все вокруг состоит из огня, земли, воды и воздуха; что это «тела»; что «тела обладают плотностью, все плотное ограничивается плоскостями; а каждая плоская прямолинейная фигура состоит из треугольников; которые бывают двух типов…»
Откуда вы взяли цитату Роберта Фроста? В сети я ее не нашел. Я ее придумал. Она ведь выглядит намного лучше, если приписать ее Фросту, вам не кажется?
Что? Это ведь фальсификация интеллектуальной собственности! Ну, это все же лучше, чем выдавать фразу «И я выбираю тропу нехоженую» из его «Выбора пути» за житейскую мудрость.
Какими источниками вы пользовались в этой главе? Никакими. Эта игра вышла из моей головы как Афина из головы Зевса, совершенно зрелой и готовой к сражению. Не уступлю славу создателя никому.
Действительно ли квантовая механика подходит в качестве метафоры к этой игре? Да, довольно хорошо. Создатель игры фактически представляет ее как инструмент обучения. См.: Allan Goff, "Quantum Tic-Tac-Toe: A Teaching Metaphor for Superposition in Quantum Mechanics,"American Journal of Physics 74, no. 11 (2006), а также Allan Goff, Dale Lehmann, and Joel Siegel, "Quantum Tic-Tac-Toe, Spooky-Coins and Magic-Envelopes, as Metaphors for Relativistic Quantum Physics," https://doi.org/10.2514/6.2002–3763.
Хотелось бы спросить, где можно побольше узнать о квантовой физике? На моей полке стоят две книги: Chad Orzel, How to Teach Quantum Physics to Your Dog (New York: Scribner, 2010), и Philip Ball, Beyond Weird: Why Everything You Thought You Knew about Quantum Physics Is Different (Chicago: University of Chicago Press, 2020).
Станет ли игра более «квантовой», если ее правила будут меняться? Забавно, что вы спрашиваете это. Гофф пишет, что правила игры кажутся практически предопределенными, но в действительности идея их изменения приходила в голову не только вам. Например, в приложении Quantum TiqTaqToe (https://quantumfrontiers.com/2019/07/15/tiqtaqtoe) квантовые свойства постепенно расширяются. Я рекомендую попробовать его. Более научный подход к игре см.: J. N. Leaw and S. A. Cheong, "Strategic Insights from Playing the Quantum Tic-Tac-Toe,"https://arxiv.org/pdf/1007.3601.pdf.
II. Числовые игры
Если каждое число так интересно, то почему бы [не вписать число сюда]? Доказательство того, что каждое число действительно интересно, см.: David Wells, The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers (New York: Penguin Books, 1998). Кроме того, полезно познакомиться со статьей Susan D'Agostino, "Every Minute of Your Life Has Been Interesting,"Journal of Humanistic Mathematics 7, no. 1 (2017): 117–118.
Где можно узнать больше об аликвотной последовательности? Попробуйте поискать это восьмое чудо света в онлайновой энциклопедии: On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (http://oeis.org). Там можно найти буквально все, включая совершенные числа (A000396), дружественные числа (A259180) и этот курьезный цикл из 28 компанейских чисел (A072890).
А ваш друг Джулиан на самом деле сказал, что чистая математика «не дает праздно слоняться по улицам»? Да. Когда: в 2003 году. Откуда мне известно: я присутствовал при этом. Однако меня не было, когда Джон Литтлвуд саркастически заметил, что от совершенных чисел «не холодно и не жарко», см.: John Littlewood, A Mathematician's Miscellany (London: Methuen & Co Ltd, 1953) (Литтвуд Дж. Математическая смесь. – М.: Наука, 1990).
Где можно узнать больше об этой игре и о том, как выигрывать в ней? Дети со всего мира размещают десятки видео с инструкциями на YouTube, некоторые из которых гарантируют победу при определенных правилах. А в «Википедии» вы найдете серьезный математический анализ и полный перечень вариаций.
Неужели, г-н Орлин, можно написать целую главу книги, опираясь только на YouTube и «Википедию»? Э-э-э… делайте, как я говорю, а не как делаю!
А что, белые действительно дают преимущество в шахматах? Да. На уровне мастеров считается, что белые бьются за победу, а черные – за ничью. Цитаты о шахматах взяты из книги взяты из книги Gary Alan Fine, Players and Pawns: How Chess Builds Community and Culture (Chicago: University of Chicago Press, 2015).
А кто придумал эту безумную последовательность Морса – Туэ? Ну, ее назвали так в честь Марстона Морса и Акселя Туэ, но открыл ее Эжен Пруэ. Я впервые узнал о ней из выступления Фила Харви на конференции MathsJam, которая проходила 7–8 ноября 2015 года в Великобритании.
Можете ли вы дать ссылки на забавные применения последовательности Морса – Туэ, придуманные математиками? Пожалуйста, вот некоторые примеры: Marc Abrahams, "How to Pour the Perfect Cup of Coffee,"Guardian, July 12, 2010; Joshua Cooper and Aaron Dutle, "Greedy Galois Games,"https://people.math.sc.edu/cooper/ThueMorseDueling.pdf; Ignacio Palacios-Huerta, "Tournaments, Fairness, and the Prouhet-Thue-Morse Sequence,"Economic Inquiry 50, no. 3 (2012): 848–849; и мой любимый вариант: Lionel Levin and Katherine E. Stange, "How to Make the Most of a Shared Meal: Plan the Last Bite First,"American Mathematical Monthly 119, no. 7 (2012): 550–565.
Где можно посмотреть японскую рекламу? Просто введите поисковый запрос Nexus 7: 10 Puzzle в YouTube. Я узнал об этом из статьи Gary Antonick, "Can You Crack the 24 Puzzle, and the 10 Puzzle That Went Viral in Japan?"New York Times, September 7, 2015.
А это случаем не карточная игра 24? Вы меня раскусили. И все-таки занятно менять целевое число каждый раунд. Историю игры 24 см. John McLeod, "Twenty-Four,"https://www.pagat.com/adders/24.html. Есть также ее онлайновая версия на сайте http://4nums.com.
Это также похоже на головоломку «Четыре четверки». Да, действительно. Пэт Боллу рассказывает об этом в своем блоге "Before There Were Four-Fours, There Were Four Threes, and Several Others,"Pat'sBlog, December 30, 2018, https://pballew.blogspot.com/2018/12/before-there-were-four-fours-there-were.html. А если вам нужны спойлеры, то Пол Борк предлагает их на своем сайте http://paulbourke.net/fun/4444.
Сколько комбинаций можно получить с помощью пяти игральных костей? Все зависит от того, что вы имеете в виду. Вы учитываете дроби? Отрицательные числа? А что скажете об одном числе, полученном разными способами? Как бы то ни было, привожу результаты для некоторых наборов цифр.