Я не британец. Что такое «Обратный отсчет»? На YouTube есть куча видео с игрой «Обратный отсчет» и участием Рейчел Райли. Если хотите посмотреть, зайдите на https://youtu.be/9eMs_o08Gm4?t=295.
Я учитель. Расскажите мне подробнее о «Клеточках с числами». Да пожалуйста. Неучителя, брысь отсюда! Этот абзац не для вас. Он для нас, работников сферы образования: эта версия принадлежит Мэрилин Бернс см. "4 Win-Win Math Games,"Do the Math, March/April 2009. На сайте, посвященном математическому образованию, nRich, тоже много полезного (https://nrich.maths.org/6606), как и в статье Дженны Лайб "One of My Favorite Games: Number Boxes,"Embrace the Challenge, May 29, 2019 (https://jennalaib.wordpress.com/2019/05/29/one-of-my-favorite-games-number-boxes). Также я настоятельно рекомендую заглянуть на сайт Open Middle (http://openmiddle.com), созданный Нанетт Джонсон и Робертом Каплински.
Откуда пошла эта игра? От неподражаемого Джеймса Эрнеста из Cheapass Games (http://cheapass.com). Это книга для семейного чтения, поэтому я всячески старался избегать слова «задница», но с Джеймсом удержаться совершенно невозможно. А также от такой задницы, как я.
А что, письменность действительно родилась из учета овец? По мнению некоторых, да. Если хотите углубиться в проблемы антропологии, почитайте Denise Schmandt-Besserat, "Tokens: Their Significance for the Origins of Counting and Writing" (https://sites.utexas.edu/dsb/tokens/tokens/). А потом посмотрите Denise Schmandt-Besserat, "Two Precursors of Writing: Plain and Complex Tokens," в книге The Origins of Writing, edited by Wayne M. Senner (Lincoln: University of Nebraska Press, 1991), 27–41.
Какие четыре номинала позволяют составить все суммы от 1¢ до 99¢ при наименьшем количестве монет? Номиналы, которые вы ищите – это 1¢, 5¢, 18¢ и 25¢. Они позволяют составить все суммы от 1¢ до 99¢, а число монет при этом равно 389.
Мне кажется удивительным то, что в эту оптимальную систему входят три монеты, находящиеся в реальном обращении. Под «удивительным» я имею в виду «банальное». Лично мне нравятся номиналы 1¢, 3¢, 13¢ и 31¢. Всего нужно 400 монет с такими номиналами, чтобы составить все суммы, но зато мы привносим анархию в виде монет с номиналами 13¢ и 31¢.
Примечание: мы обычно составляем суммы, начиная с монет с наибольшим номиналом. Например, чтобы составить сумму 72¢, мы используем максимальное число квотеров (2), затем максимальное число даймов (2), затем максимальное число никелей (0) и, наконец, одноцентовые монеты (2). Такой подход называют «жадным алгоритмом», и наша система номиналов цент-никель-дайм-квотер минимизирует число необходимых монет.
Но это правило не действует в системе 1–5–18–25¢. Например, жадный алгоритм требует для составления 72¢ семь монет (два квотера, одну монету 18¢ и четыре одноцентовика), когда есть возможность обойтись всего четырьмя монетами (по 18¢). Поэтому эффективно составить какую-нибудь сумму в этом мире значительно сложнее!
Если вы настаиваете на использовании только жадного алгоритма, то наилучшей будет система 1¢, 3¢, 11¢ и 37¢ (при это требуется 410 монет).
Может ли какая-либо вариация правил привести к бесконечной игре? Нет. Давайте для начала рассмотрим «идеальный размен». Каждый цент дает один ход, каждый пятицентовик – до шести ходов (один ход для размена его на центы, а затем пять одноцентовых ходов). Каждый десятицентовик дает до 13 ходов (один для его размена на пятицентовики, затем шесть на каждый пятицентовик). Ну а каждый четвертак дает до 33 ходов (один для его размена на два десятицентовика и пятицентовик, затем 13 на каждый десятицентовик и шесть на пятицентовик). Таким образом, исходная сумма дает максимум 33 + (13 + 13) + (6 + 6 + 6 + 6) + (1 + 1 + 1 + 1 + 1) = 88 ходов.
Ну а если будет «более чем идеальный размен»? Скажем, у нас пять игроков. Цент по-прежнему дает один ход. Пятицентовик в лучшем случае может быть обменян на все 20 центов, которые есть в игре, а это даст максимум 21 ход. Десятицентовик в лучшем случае может быть обменян на все 15 пятицентовиков (каждый из которых дает 21 ход) и все 20 центов (каждый из которых дает один ход), в сумме это 336 ходов. Ну а четвертак в лучшем случае может быть обменян на все 10 десятицентовиков (каждый из которых дает 336 ходов), плюс все пятицентовики и центы (которые эквивалентны 11-му десятицентовику), в сумме это 3696 ходов. Таким образом, в игре не может быть больше, чем 4435 ходов.
Полегче там! От этих автореферентных штучек можно свихнуться. Это только начало; есть много чего способного свести с ума. Попробуйте посмотреть книги Дугласа Хофштадтера Gödel Escher Bach: An Eternal Golden Braid (New York: Basic Books, 1979) (Хофштадтер Д. Гёдель, Эшер, Бах: Эта бесконечная гирлянда. – М.: Бахрах-М, 2001) и Metamagical Themas: Questing for the Essence of Mind and Pattern (New York: Basic Books, 1985). О Бертране Расселле, Курте Гёделе и истории логики в XX веке я советую почитать Apostolos Doxiadis and Christos Papadimitriou, Logicomix: An Epic Search for Truth (New York: Bloomsbury USA, 1999).
Я не хочу что-то там читать. Меня интересуют задачи! Увлекательные (и непростые) головоломки, ведущие от элементарной логики к теоремам Гёделя, я рекомендую поискать в Raymond Smullyan, To Mock a Mockingbird (New York: Oxford University Press, 1982) (Смаллиан Р. Передразнить пересмешника и другие логические загадки, включая увлекательное путешествие в комбинаторную логику. – М.: Лори, 2022).
Как вы придумали такую автореферентную таблицу? Это классическая головоломка, хотя я не видел, чтобы ее представляли в табличной форме раньше. См.: Alex Bogomolny, "Place Value,"Cut the Knot! July 1999 (https://www.cut-the-knot.org/ctk/SelfDescriptive.shtml).
Существуют ли другие автореферентные таблицы? Конечно, вот они, включая ту, что приведена в главе.
Если вы хотите, чтобы в таблице были числа от 1 до n, то знайте, что это исчерпывающий список[107].
Вы говорите, что на создание игры «Затор» вас вдохновила задача Стэнфордского образовательного центра YouCubed? Меня зовут Джо Боулер, и я основатель YouCubed. Какую задачу вы имеете в виду? Привет, Джо, рад, что вы написали мне! Это "How Close to 100?"https://www.youcubed.org/tasks/how-close-to-100.
Как выиграть в «Сборщике налогов»? Хотя знания эвристики достаточно для нанесения поражения сборщику налогов, оптимальная стратегия неизвестна. Идеи можно почерпнуть в статье Robert K. Moniot, "The Taxman Game,"Math Horizons, February 2007, 18–20.
Где я мог видеть «Звездный пасьянс» раньше? Возможно, в вечно актуальном видео Ви Харт на YouTube под названием Doodling in Math Class: Stars или в книге Anna Weltman, This Is Not a Math Book (La Jolla, CA: Kane Miller, 2017).
III. Комбинаторные игры
Кто такой Раф Костер? Он автор книги Theory of Fun for Game Design (Sebastopol, CA: O'Reilly Media, 2004). Ее резюме можно найти в интернете: Raph Koster, A Theory of Fun: 10 Years Later (https://www.raphkoster.com/gaming/gdco12/Koster_Raph_Theory_Fun_10.pdf).
Где можно побольше узнать о теории сложности? Все знания в этой области я получил от своего отца Джима Орлина, ведущего ученого в сфере сетевых потоков и других алгоритмов оптимизации. Понятно, что у вас нет возможности пообщаться с ним. Поэтому я рекомендую обратиться к 99-му эпизоду подкаста Шона Кэрролла из компании Mindscape: Scott Aaronson on Complexity, Computation, and Quantum Gravity.
Можете ли вы решить кубик Рубика? Задайте другой вопрос.
Действительно лиThe New York Timesназвала «Игру в пятнашки» заразной? Да, но в шутку. См.: "Fifteen,"New York Times, March 22, 1880, page 4. В какой-то момент это становится совершенно ясно: президент Хейс натыкается на головоломку и говорит: «Кажется все просто… Всего 15 чисел, и нужно распределить их так, чтобы в одном ряду было восемь, а в другом – семь». За четыре года до этого он победил на выборах 1876 года потому, что коллегия выборщиков проголосовала со счетом 8:7 в его пользу. The New York Times приписывает ему такие слова: «Где-то я уже видел такую головоломку, но не могу вспомнить, где именно».
Но ведь Фрэнк Рамсей умер в 27 лет. Как ему удалось сделать так много? В действительности ему было 26. Полагаю, что это фокусы с маховиком времени из «Гарри Поттера». На всякий случай почитайте его биографию: Cheryl Misak, Frank Ramsey: A Sheer Excess of Powers (Oxford, UK: Oxford University Press, 2020).
Вы говорите, что я не смогу запомнить победную стратегию в игре «Сим»? Она такая сложная? Попробуйте. См.: Ernest Mead, Alexander Rosa, and Charlotte Huang, "The Game of Sim: A Winning Strategy for the Second Player,"Mathematics Magazine 47, no. 5 (1974): 243–247[108].
Я взрослый человек, но мне нравится соединять точки. Можно ли подкрепить такое несерьезное увлечение изучением теории Рамсея? Конечно! См. главу "Sim, Chomp, and Racetrack" в книге Knotted Doughnuts Мартина Гарднера. Отличным введением является статья Джима Проппа "Math, Games, and Ronald Graham,"Mathematical Enchantments, July 16, 2020. Работы Джима всегда великолепны, см. его ежемесячные эссе на сайте http://mathenchant.org.
Где вы взяли такое классное доказательство того, что «Сим» не может закончиться ничьей? Я услышал о нем от Ен Дуонг в подкасте блога My Favorite Theorem, который ведут Эвелин Лэмб и Кевин Кнудсон.