Это уравнение верно на любом этапе игры для всех возможных сценариев, от простейшего до сложнейшего, независимо от того, начинаете ли вы с двух точек или с двух миллионов. В любой ситуации количество точек плюс количество замкнутых областей будет равно количеству линий, соединяющих точки, плюс количество отдельных фигур[12].
Это типично для топологии: в необузданно меняющемся мире мы находим стройные закономерности.
Топология причудлива. Вот забавное открытие Джона Конвея. Если количество ходов минимально, то в конце концов вы получите (грубо говоря) одну из этих фигур:
В классическом пособии «Выигрышные стратегии математических игр» объясняется, что окончательная конфигурация «будет представлять собой одно из этих насекомых (возможно, вывернутое наизнанку), к которому присосалось произвольное количество вшей (к некоторым вшам могут присосаться другие)».
В общем, вшей довольно много. Причем одни конфигурации, по замечанию Конвея, «вшивее» других.
Топология полезна. Несмотря на балаган с уховертками и вшами, топология помогает разобраться с самыми разными вещами, от запутанности ДНК до запутанности социальных сетей, не говоря уже о космологии и квантовой теории поля.
Рассмотрим знаменитую топологическую проблему: изоморфизм графов. Мы уже знаем, что две конфигурации в «Ростках» могут выглядеть по-разному, но быть структурно одинаковыми. Как определить, различаются ли две сети или они идентичны, хотя на первый взгляд непохожи?
Этот вопрос тревожит инженеров, сопоставляющих электрические схемы, компьютерщиков, кодирующих визуальную информацию, и химиков, ищущих соединения в базах данных. По сути дела, все эти серьезные люди играют в свои версии «Ростков».
Топология красива. Для многих знакомство с топологией начинается с ленты Мёбиуса. Возьмите полоску бумаги, перекрутите ее и склейте концы.
У ленты Мёбиуса всего одна поверхность: нет дихотомии «внутри» и «снаружи». Если вы решите использовать ее в качестве браслета и попытаетесь покрасить внутреннюю сторону в синий, а внешнюю в красный, ничего не получится. И это лишь одна из странностей. Что будет, если разрезать ленту Мёбиуса вдоль? А если попытаться разрезать ее на три части?
Математик Дэвид Ричесон в книге «Жемчужина Эйлера» подсчитал, сколько медалей Филдса (самая престижная награда в области математики) досталось топологам. «Из 48 лауреатов, – пишет он, – примерно треть были награждены за работы в области топологии, и еще больше – за вклад в тесно связанные с ней области».
Если красота – дочь сложности и простоты, то «Ростки» – настоящее дитя любви.
Сорняки. Автор – Владимир Игнатович. Игроки могут рисовать на своей линии одну точку, две или ни одной.
Набери очки. Автор – Уолтер Джорис. Правила те же, что в «Ростках», но ведется подсчет очков. Если в результате вашего хода образуется замкнутая область, пометьте ее инициалами или цветом и подсчитайте количество точек на границе области (одна точка – одно очко). Рисовать новые линии внутри этой области запрещено. Когда все ходы будут исчерпаны, побеждает тот, у кого больше очков[13].
Брюссельская капуста. Эта скверная сестра-близнец «Ростков» на первый взгляд кажется такой же многовариантной и требующей стратегического мышления. Но это не так. Скорее это не игра, а какая-то пародия.
Вначале нарисуйте несколько крестиков. Соединяйте любые два свободных конца и ставьте черточку на новой линии, чтобы получилось еще два свободных конца. Линии не должны пересекаться. Выигрывает тот, кто делает последний ход, когда больше ходов не осталось.
Почему пародия? Дело в том, что исход игры предрешен независимо от действий игроков. Если в начале было нечетное число крестиков, выигрывает первый игрок; если четное – второй. Можете выстраивать какие угодно хитроумные стратегические схемы, всем им грош цена. С тем же успехом можно воображать себя гонщиком «Формулы-1», вращая руль игрушечного автомобиля.
Как это получается? Обратите внимание на то, что количество свободных концов не меняется. Каждый ход уменьшает их на два, а новая черточка добавляет два. Меняется лишь количество областей. После каждого хода, за малым исключением, появляется новая область. В игре с n крестиками на n – 1 ходу нельзя создать ни одну область, соединяя несвязанные крестики.
Игра заканчивается, когда количество областей становится равно количеству свободных концов. Для этого требуется 4n – 1 ходов, создающих новые области, плюс n – 1 ход, не увеличивающий количество областей, то есть всего 5n – 2 хода.
Разыграйте приятеля: предложите сыграть на поле с двумя, четырьмя и шестью крестиками, каждый раз великодушно уступая право первого хода. Когда противник почует подвох и потребует, чтобы вы ходили первым, незаметно переключитесь на игру с тремя или пятью крестиками. Конечно, обманывать нехорошо, особенно друзей… Но пошутить-то можно.
Супер-крестики-нолики
В 2013 году, узнав о существовании этой игры на пикнике математиков с нашего факультета, я написал краткий пост в своем блоге. Он вызвал настоящий ажиотаж в интернете, угодив в топ сайта Hacker News[14] и на главную страницу Reddit[15], а кроме того, породил целый букет приложений для смартфонов[16]. Поскольку взлет моей карьеры в немалой мере связан с этой игрой, я много размышлял о том, что делает ее особенной. Элегантность правил? Легкость измышления стратегических идей? Подсознательная ассоциация с «Суперфрисби»?
Но лишь спустя годы меня осенило – это фракталы. Странно, что я не додумался до этого раньше.
Мы живем среди фракталов, они всюду: от облаков до береговых линий и ветвей деревьев. Возможно, именно поэтому «Супер-крестики-нолики» кажутся такими естественными. Обычные крестики-нолики всегда стремились эволюционировать в этом направлении.
Сколько игроков? Двое.
Что потребуется? Карандаши и бумага. Нарисуйте крупно поле для крестиков-ноликов, а затем по одному мини-полю внутри каждого квадрата.
В чем цель? Выиграть на трех мини-полях, выстроенных в одну линию.
Какие правила?
1. По очереди ставьте крестик или нолик в маленьких квадратах. Первый ход можно сделать где угодно; после этого мини-поле, на котором вы будете играть, определяется предыдущим ходом противника. В зависимости от клеточки, которую он выбрал, вы должны сделать ход на определенном мини-поле.
2. Поставив три крестика или нолика на одной прямой на мини-поле, вы выигрываете там. Это мини-поле замораживается, а игрок, которому выпадает ход на нем, выбирает любое другое.
3. Побеждает тот, кто выиграет на трех мини-полях на одной линии.
Альтернативные условия победы перечислены в разделе «Вариации и родственные игры».
Однажды майским днем 2018 года я заглянул на сайт политических новостей FiveThirtyEight и с удивлением прочел: «Трамп играет не в трехмерные шахматы, а в "Супер-крестики-нолики"», – гласил заголовок статьи Олли Рейдера.
В те годы многие из нас пытались понять действия президента Трампа. Он ввязывался то в одну, то в другую политическую авантюру, непредсказуемо меняя повестку дня. Что это было: продуманный план или просто импульсивность? «Он не игрок в трехмерные шахматы», – часто язвили критики.
Олли Рейдер тоже так думал. Он полагал, что Трамп играет в совершенно другую игру.
В шахматах всего одно поле битвы, а в «Супер-крестиках-ноликах» – много. «Эти игровые поля взаимосвязаны сложным и странным образом, – писал Олли. – Даже продуманная игра выглядит бессистемной, скороспелой и просто идиотской». Это игра «изменчивых, меняющихся целей», основанная «на отвлекающих маневрах, промедлении, обманных движениях, затягивании и импровизации». Именно такой была медиастратегия Трампа.
Хорошая политика? Наверное, нет. Хорошая игра? Бесспорно. Более того, это отличная концепция пространства: фрактальное ви́дение, когда в решениях тесно связаны малый и большой масштабы.
Так и возникает внутреннее напряжение. Хороший, казалось бы, ход на мини-поле (например, захват центральной клеточки) может оказаться стратегической ошибкой (ибо позволяет вашему противнику разгуляться на центральном мини-поле). Для победы вы должны найти баланс двух уровней, выполнив завет политических активистов: «Думайте глобально, действуйте локально».
Самая ранняя из известных мне версий – настольная игра 1977 года под названием «Десятикратные крестики-нолики». Более поздняя версия под названием «Тик-так-ку» получила в 2009 году премию в области настольных игр Mensa Select. У нее несколько иные правила: побеждает тот, кто выиграл на пяти мини-полях из девяти[17]. Электронная версия под названием «Тик-так-тен» появилась спустя несколько лет. Новое правило ускоряет процесс игры: выигрывая на одном мини-поле, вы сразу становитесь победителем.
Так или иначе, именно мой пост в блоге вызвал всплеск популярности этой игры.
У нее много названий. В «Википедии» упоминаются «Стратегические крестики-нолики», «Мета-крестики-нолики», «Крестики-тактики-нолики», «Крестики-нолики в квадрате». Я слышал еще два: «фрактальные крестики-нолики» (мое самое любимое) и «инцептуальные крестики-нолики» (самое нелюбимое). Как бы то ни было, вариант «Супер-», похоже, прижился. Я невероятно горд, ибо его придумали мои ученики в Оклендской школе. Вперед, матадоры!