Порядок и хаос
Впервые мир узнал об этой игре в 1981 году из публикации Стивена Снидермана в журнале Games. Эта игра для двух игроков – воплощение древнего конфликта: борьбы созидателей и разрушителей, эволюции и деградации, отцов и детей, Берта и Эрни из «Улицы Сезам».
Одним словом, борьбы порядка и хаоса.
Игровое поле – 6 × 6 клеточек. Один игрок (на стороне порядка) стремится выстроить пять символов в ряд; другой (на стороне хаоса) всячески ему мешает. Игроки по очереди ставят в клеточках любой из символов (крестик или нолик) по своему выбору.
Порядок побеждает, выстроив пять одинаковых символов в ряд: по вертикали, горизонтали или диагонали.
Хаос побеждает, если у Порядка больше не остается шансов[27].
Восхитительно, что игроки сражаются не только друг с другом, но и с самими собой. Прежние ходы Порядка могут стать помехой на его пути к победе, а Хаос может невольно помочь ему выстроить пять символов в ряд. Баланс сил под вопросом: новичкам часто кажется, что преимущество на стороне Хаоса, но эксперты склоняются к противоположной точке зрения.
Попробуйте сыграть несколько раундов, меняясь ролями и подсчитывая очки. Победитель набирает 5 очков плюс по 1 очку за каждую пустую клеточку.
Энди Джуэлл предлагает забавный вариант игры: один раз Порядок может поставить особый символ (крестиконолик), а Хаос – ■ (ни крестик, ни нолик). Я решил назвать эти символы «драгоценностями» в честь изобретателя[28]. Если вы решите, что силы неравны, конфискуйте драгоценность Джуэлла у игрока, на чьей стороне преимущество.
Брызги
Играют двое. Понадобится прямоугольное поле любого размера. В начале игры оно поровну заполнено каплями разных цветов. При быстром варианте пусть один игрок окропит поле по своему усмотрению, а другой выберет цвет и решит, чьи это капли (или наоборот). При медленном варианте игроки сначала выбирают цвета, потом поочередно роняют по капле в пустые клеточки.
Теперь при каждом ходе разбрызгивайте по одной оставленной в клеточках капле. Капля может испачкать либо только свою клеточку либо еще и соседние. Заштрихуйте испачканные клеточки: они выбывают из игры. Пропускать ход нельзя. Побеждает тот, у кого осталась одна неразбрызганная капля.
Темп игры неравномерен. Иногда хочется ускорить ход событий, забрызгав как можно больше клеточек, иногда – придержать вожжи, забрызгивая по одной клеточке, чтобы выгадать дополнительные ходы.
Есть разновидность игры посложнее. Добавьте еще два варианта разбрызгивания: диагональный (на северо-запад, северо-восток, юго-запад и юго-восток) и ортогональный (на север, юг, запад и восток). В этих случаях четыре соседних клеточки не забрызгиваются.
Трехмерные крестики-нолики
Если вы открыли эту книгу не в прекрасном будущем с его превосходной технологией виртуальной реальности, то для отображения третьего измерения в этой игре потребуется хитрость. (Рад, что там у вас еще читают книги.) Вместо куба нарисуйте его срезы: четыре квадрата 4 × 4 клеточки.
Поочередно ставьте крестики и нолики. Побеждает тот, кто первым выстроит четыре символа в ряд. Следите за вертикальными комбинациями. Иногда их сложно заметить, а потом становится слишком поздно.
Для продумывания стратегии оцените, сколько победных комбинаций проходит через каждый квадрат. Вот как это выглядит для обычных крестиков-ноликов:
Если применить тот же метод к трехмерной игре, обнаружится интересная закономерность. Лучшими являются угловые клеточки верхнего и нижнего слоя и центральные клеточки слоев посередине.
Вот забавная метаигра: какие еще двумерные игры можно сделать трехмерными? С некоторыми особых затруднений не возникает (например, трехмерный «Морской бой»). В других (например, трехмерные «Точки-клеточки») несложно сформулировать правила (точки расположены на кубическом каркасе), но трудно визуализировать (попробуйте нарисовать линии между слоями). А в-третьих (например, «Ростки»), невозможно перейти к трехмерному варианту (в пространстве линии больше не образуют отдельных областей, так что игра становится бессмысленной и предопределенной, как «Брюссельская капуста»).
Предлагаю начать с превращения трехмерных крестиков-ноликов в трехмерные «Четыре в ряд» с фигурами, которые «опускаются» в низ каждой колонки, просто чтобы символ находился или в нижнем слое, или на один слой выше существующей метки.
Удачи!
IIЧисловые игры
Приготовьтесь, сейчас вы получите неопровержимое философское доказательство того, что все числа интересны.
Все числа. Без исключений.
Я бы с удовольствием воздал хвалу всем числам по очереди: единица – самая одинокая, двойка – единственное четное простое число, тройка – номер лучшей части «Истории игрушек»… Но на это не хватить ни сил, ни времени. Поэтому давайте предположим, что рано или поздно нам все же попадется неинтересное число.
Итак, мы идем по восходящей: от 12 (количество фигур в пентамино) до 19 (столько ячеек в единственном магическом шестиугольнике из последовательно идущих натуральных чисел) и дальше, до 561 (наименьшее абсолютное псевдопростое число). Каждое число неповторимо, словно ребенок, и незабываемо, словно шербет. И вдруг нам встречается скучное число. Мы возводим его в куб. Разлагаем на множители. Просим рок-группу Three Dog Night провозгласить его числом года. Тщетно. Это убогое числецо не похоже ни на одно предыдущее. Нам впервые попалось неинтересное число. Но разве это не удивительно? Даже… сногсшибательно? Иначе говоря… постойте, слово вертится на языке…
Интересно?
Если есть неинтересные числа, это – первое из них. Первое неинтересное число? Крайне интересно! Мы пришли к логическому парадоксу. Следовательно, все числа интересны.
Как говорят профи, что и требовалось доказать.
«Википедия» называет это доказательство «полуюмористическим» – жестокое клеймо по ее меркам. Однако, на мой взгляд, оно математическое по духу. Числа влекут меня по той же причине, по которой миллионы измученных, загруженных делами людей выкраивают четверть часа по утрам на судоку: не ради того, чтобы стол ломился от яств или карманы были набиты биткоинами, а просто ради удовлетворения собственного интереса к закономерностям, вплетенным в ткань чисел. «Боги по ту сторону стены играют с числами», – говорил архитектор-модернист Ле Корбюзье.
Чтобы присоединиться к их игре, нужно лишь немного воображения.
Наглядный пример: вот нечто вроде игры, которая сейчас не выходит у меня из головы. Она начинается с совершенных чисел. В чем же их совершенство? Да в том, что если разложить число на множители и сложить их, то и получается то же самое число.
Ну и что в них такого? Да ничего. Несмотря на возвышенный эпитет, совершенные числа бесполезны в теории и еще бесполезнее на практике. Мы просто дали им милое определение и обеспечили хороший имидж. «Совершенные числа никогда не приносили пользу, но и особого вреда от них не было», – сказал математик Джон Литлвуд. Как говаривал мой школьный друг Джулиан о чистой математике: «…как минимум она не дает праздно слоняться по улицам».
Поясню: обычное число несовершенно. Сумма его делителей либо меньше, чем оно само (назовем такое число «недостаточным»), либо больше (назовем такое число «избыточным»).
Совершенные числа неуловимы, как и все совершенное. Древние греки знали только четыре таких числа. Исмаил ибн Фаллус, египтянин, живший в XII веке, нашел еще три. В 1910 году было известно девять совершенных чисел. Даже сейчас, когда наши суперкомпьютеры настолько мощны, что могут сфабриковать видео с экс-президентом, исполняющим рэп, нам известно лишь 51 совершенное число – скудный итог 2500-летней охоты на тайны математики.
Трудно представить, что футбол обрел бы популярность, если бы за всю его историю забили лишь 51 гол[29]. Так что такого уж веселого в поисках совершенных чисел? Зачем играть в игру, где почти никогда не выигрываешь?
Эх вы, циники. Неужели вы забыли, что все числа по-своему интересны?
Не будем зацикливаться на совершенстве. Возьмем любое старое доброе число, найдем его собственные делители, сложим… а затем проделаем то же самое с полученным числом. Постепенно получится аликвотная последовательность.
Эта игра раскрывает сеть секретных связей. Каждое число отсылает к новому числу, словно агент в шпионской сети. Мы идем от числа к числу, словно детективы в фильме-нуар, по цепочке выуживая сведения у информаторов: число 20 отсылает к 22, а оно, в свою очередь, сообщает о 14, которое приводит нас к 10, которое предлагает поговорить с 8…
В процессе игры возникает естественный вопрос. Раз аликвотная последовательность имеет начало, то где ее конец?
Скажем, простые числа отсылают вас прямиком к единице (потому что у них нет других собственных делителей). Совершенные числа образуют бесконечный цикл: 28 отсылает к 28, а оно – снова к 28. А некоторые числа образуют пары: 220 отсылает к 284, а оно обратно к 220. У таких дуэтов есть прекрасное название: «дружественные числа».
Математики уже не одно столетие ищут эти счастливые пары. Интересно, что вторую пару (1184 и 1210) оказалось не так просто обнаружить. Такие великие умы, как Декарт, Ферма и Эйлер, упустили ее из виду, а честь открытия принадлежит 16-летнему школьнику. Сегодня известно больше миллиарда пар дружественных чисел.