В ходе знаменитого научного исследования в Англии я три года отслеживала успеваемость учеников при применении подхода к изучению математики, основанного на практике. Дети снова и снова отрабатывали на уроках обособленные примеры (Boaler, 2002a). Я сравнила их результаты с результатами, полученными в случае, когда ученикам демонстрировали всю сложность математики. При этом предполагалось, что дети должны постоянно размышлять на концептуальном уровне, выбирая и применяя те или иные методы. Два этих подхода к преподаванию математики использовались в разных школах в работе с учениками одинакового происхождения и уровня успеваемости, причем обе школы находились в небогатых районах. Дети, которых учили многократно отрабатывать методы в школе с жесткими требованиями ко времени выполнения заданий, получили гораздо более низкие оценки во время государственного экзамена по математике по сравнению с теми, кого стимулировали размышлять на концептуальном уровне. Во время государственного экзамена (включающего ряд процедурных вопросов) ученики традиционной школы столкнулись с серьезной проблемой: они не знали, какой метод выбрать, чтобы найти ответы. Они многократно отрабатывали методы, но им никогда не предлагали проанализировать ситуацию и выбрать подходящий. Вот размышления двух учеников этой школы о трудностях, с которыми они столкнулись во время экзамена.
Это глупо. Когда ты на уроке выполняешь задание (даже трудное), то получаешь от силы один-два неправильных ответа. Но большинство ответов правильные, и ты думаешь: «Ну вот, когда будет экзамен, я смогу ответить на большинство вопросов правильно». Ведь ты правильно понял все темы. А на самом деле ты ничего не понял (Алан, Эмбер-Хилл).
Все совсем иначе. Все не так, как тебе говорили, — описание, вопрос; все не так, как в учебниках, как объясняет учитель (Гэри, Эмбер-Хилл).
Чересчур упрощенный подход к математике — одна из причин проблем в ее изучении. Вдобавок у учеников не развивается математическое мышление: им внушают, что на уроках математики нет места размышлениям и осмыслению концепций, требуется лишь многократное повторение определенных методов.
В ходе еще одного исследования, которое было проведено в США, мы спрашивали детей, которых обучали математике по модели отработки методов, какова их роль на уроках по этому предмету (Boaler & Staples, 2005). Поразительно много учеников (97%) дали один и тот же ответ: «Максимально сосредоточиться». Этот пассивный акт наблюдения (а не размышлений, построения логических выводов или осмысления) не приводит к пониманию предмета или формированию математического мышления.
Ученикам часто дают практические задания по математике на дом. Но многие данные демонстрируют, что домашние задания в любой форме бесполезны или губительны (подробнее см. главу 6). У меня есть дети, и домашние задания — самая распространенная причина слез в нашем доме, а математика — предмет, работа над которым дома вызывает у детей самый сильный стресс, особенно если задание представляет собой длинный список разрозненных вопросов.
Ученики получают целые страницы домашних заданий по математике. Кажется, никому нет дела до того, как плохо это влияет на обстановку в доме. Но есть надежда: в школах, где заданий на дом не дают, успеваемость не снижается; при этом в семьях учеников существенно повышается качество жизни (Kohn, 2008).
Результаты крупных научных исследований показали, что домашние задания практически не влияют на уровень успеваемости (Challenge Success, 2012), но при этом создают заметное неравноправие (Program for International Student Assessment, 2015). Мы вернемся к этой проблеме в главе 6. Задания на дом играют крайне негативную роль в жизни многих родителей и детей. Исследования показывают, что единственный случай, когда она эффективна, — если ученики получают ценный учебный опыт, а не листы с задачами, и когда она рассматривается не как норма, а как возможность время от времени давать ученикам содержательные задания. Мои дочки учатся в школах, где знают о результатах научных исследований о домашней работе, поэтому обычно дают ученикам только полезные задания по математике (например, головоломки KenKen[12]). Но и там учителя время от времени давали детям по 40 задач на вычитание или умножение. Я видела, как у моих детей портится настроение, когда они получают такие задания. В такие моменты я объясняю им, что целая страница однотипных вопросов — это не настоящая математика, а когда они успешно выполняют несколько заданий (обычно четыре или пять), я предлагаю им прекратить работу. Затем я пишу учителю записку, что я вполне удовлетворена тем, как мои дети поняли метод, и не хочу, чтобы они отвечали еще на 35 вопросов, поскольку из-за этого у них сформируется пагубное представление о математике.
Если вы работаете в школе, где домашняя работа обязательна, можно использовать задания, которые гораздо более эффективны, чем страницы однотипных вопросов. Екатерина Мильвидская и Тиана Тебельман, два учителя-новатора, с которыми я работаю в объединенном школьном округе Виста, создали перечень вопросов для домашней работы. Они каждый день выбирают вопросы, позволяющие их ученикам более глубоко проанализировать и понять математические концепции, которые они изучали в тот день. Как правило, на один вечер ученикам дают по одному вопросу для размышлений и одно — пять заданий (в зависимости от сложности), которые нужно выполнить. В примере 4.2 представлены некоторые из этих вопросов.
Часть 1. Вопросы, требующие письменного ответа
* Ответ на вопрос(ы) должен быть очень подробным! Пожалуйста, используйте полные предложения и будьте готовы сформулировать свой ответ на уроке на следующий день.
1. Какие основные математические концепции или идеи вы изучили сегодня; что вы обсуждали на уроке сегодня? _____
2. Какие вопросы у вас остались по поводу _____? Если у вас нет вопросов, придумайте аналогичную задачу и решите ее.
3. Опишите ошибку или заблуждение, которое возникло у вас или у кого-то из одноклассников сегодня на уроке. Что вы узнали благодаря этому? _____
4. Какой подход вы или ваша группа использовали для решения задачи или ряда задач? Был ли ваш подход эффективным? Какой урок вы извлекли из этого подхода?
5. Подробно опишите алгоритм решения этой задачи, который использовал на уроке кто-то другой. Чем он был похож на ваш подход и чем отличался от него? _____
6. Какие новые слова или термины были представлены сегодня? Что, по вашему мнению, означает каждое новое слово? Приведите пример каждого слова (или нарисуйте то, что оно означает) _____
7. Вокруг чего развернулась самая серьезная математическая дискуссия на уроке сегодня? Что вы узнали из нее? _____
8. В чем сходство или различие между _____ и _____?
9. Что произошло бы, если бы вы изменили _____?
10. В чем были ваши сильные и слабые места в работе над этой темой? Как вы планируете исправить слабые места? _____
Материал предоставлен Екатериной Мильвидской и Тианой Тебельман на условиях лицензии Creative Commons Attribution 3.0.
Екатерина и Тиана, применявшие эти вопросы на протяжении двух лет, отметили положительное влияние такого подхода на учеников. Теперь они размышляют над тем, что узнали на уроке, синтезируют идеи и задают больше вопросов.
В середине каждого учебного года Екатерина и Тиана проводят среди своих учеников опрос, чтобы собрать данные и получить обратную связь о методах преподавания, в том числе новом подходе к домашним заданиям. Вот некоторые отзывы о новом формате домашних заданий.
Думаю, наш способ выполнения домашней работы очень полезен. Когда тратишь больше времени на размышления над тем, что мы изучали (письменный ответ), и меньше времени на выполнение дополнительных заданий по математике (учебник), узнаёшь намного больше.
Мне кажется, что вопросы, которые задают нам на дом, помогают мне поразмышлять над тем, что мы изучали в тот день. Если я что-то плохо помню, я могу заглянуть в свою тетрадь.
Мне правда нравится домашняя работа в этом году. Благодаря вопросам для размышления я понимаю, как выполнять задание; они помогают мне, потому что я могу вспомнить, что было на уроке в тот день.
Вопросы для размышлений мне очень помогают. Я вижу, над чем мне нужно поработать и что я делаю правильно.
Ученики говорят о том, как вопросы для размышлений помогают им изучать математику. Они вызывают гораздо меньше стресса, что всегда важно; они побуждают размышлять над серьезными идеями на концептуальном уровне, что просто бесценно. Вопросы, которые побуждают анализировать ошибки и заблуждения, особенно полезны для стимулирования самоанализа и часто помогают лучше понимать математику. Кроме того, из ответов на них учителя получают крайне важную информацию, которая может направлять их в процессе преподавания. Аналогичные вопросы можно ставить ученикам в конце урока в качестве «билетов на выход». В главе 8 я поделюсь другими идеями по поводу вопросов для размышлений.
Как было сказано в главе 1, группа PISA, которая работает в рамках ОЭСР, не только проводит тесты по математике среди учеников, но и собирает данные об убеждениях учеников и математических стратегиях. Результаты анализа данных о стратегиях, которые используют 13 миллионов учеников, свидетельствуют о том, что хуже всего с тестами справляются дети, применяющие стратегию запоминания. Самые высокие результаты получают ученики, которые придерживаются подхода, основанного на анализе важных концепций и связей между ними. На рисунке 4.4 показаны различия в результатах тестирования учеников, использующих разные стратегии.