Вместо объяснений предложите ученикам поразмышлять над ситуацией, в которой этот метод может пригодиться (пример 5.8).
Вы хотите пройти отбор в команду по прыжкам в длину; для этого ваш средний результат должен составлять 5,2 м. Тренер говорит, что будет засчитывать лучший прыжок, который вы сделаете в каждый день недели, а затем вычислит среднее значение. Вот ваши пять прыжков. К сожалению, в пятницу у вас был низкий показатель, потому что вы не очень хорошо себя чувствовали.
Как вычислить среднее значение, которое справедливо отразит ваши результаты? Вычислите несколько средних значений разными способами и определите, какое из них, на ваш взгляд, самое справедливое. Объясните свой метод и попытайтесь убедить кого-нибудь в том, что он лучший.
После того как ученики попытались найти свои способы определения средней величины и обсудили их в группах и со всем классом, им можно объяснить формальные методы определения среднего арифметического, моды и амплитуды.
4. Можно ли включить в задачу визуальную составляющую?
Визуальное представление очень заметно влияет на учеников, обеспечивая новый уровень понимания, как можно видеть в случае задачи с растущими фигурами. При этом можно использовать не только рисунки, но и физические объекты, такие как кубики или алгебраические карточки. В детстве я часто играла со счетными палочками Кюизенера, упорядочивая их и исследуя математические закономерности. В ходе онлайн-курса, призванного показать слушателям важные математические стратегии, я объясняю, как представить в графическом виде любую математическую задачу или концепцию (см. https://class.stanford.edu/courses/Education/EDUC115-S/Spring2014/about). Графическое представление — мощный инструмент для математиков и людей, которые занимаются решением задач (большинство из них могут нарисовать любую задачу). Когда на уроке математики ученики топчутся на месте, я часто предлагаю им нарисовать задачу.
В школе Рейлсайд (очень успешной школе, работу которой я изучала) ученикам предложили отображать связи с помощью цветового кодирования. Например, на уроках алгебры ученики должны описывать функциональные соотношения разными способами: с помощью выражения или рисунка, в вербальной форме или в виде графика.
Таких форм представления требуют во многих школах. Нестандартный подход Рейлсайд состоял в том, что там предложили ученикам отмечать соотношения цветом — например, показывать ось x в одном и том же цвете в выражении, на графике и в диаграмме. В главе 7, где приведено более подробное описание подхода школы Рейлсайд, представлен пример задач с элементами цветового кодирования. В других областях (например, предлагая ученикам определить конгруэнтные, вертикальные и смежные углы) также можно попросить раскрасить и записать как можно больше соотношений, выделив соотношения цветом (пример 5.9 и рис. 5.18). Другие примеры цветового кодирования приведены в главе 9.
1. Выделите конгруэнтные углы с помощью цветового кодирования.
2. Определите вертикальные и смежные углы.
3. Запишите соотношения, которые вы видите. В своих записях используйте те же цвета, что и на рисунке.
Вертикальные углы: __________
Смежные углы: __________
Соотношения: __________
Параллельные прямые и секущая (решение примера 5.9)
1. Выделите конгруэнтные углы с помощью цветового кодирования.
2. Определите вертикальные и смежные углы.
3. Воспользовавшись теми же цветами, что и на рисунке, запишите как можно больше соотношений
Рис. 5.18. Выделение углов методом цветового кодирования
5. Можете ли вы сформулировать задачу так, чтобы она относилась к категории «низкий пол, высокий потолок»?
Все представленные выше задачи относились к категории «низкий пол, высокий потолок». Благодаря высокой степени свободы они доступны для широкого круга учеников, которые могут перейти на более высокий уровень.
Один из способов сделать «пол» ниже сводится к тому, чтобы всегда спрашивать учеников, как они представляют себе задачу. Этот замечательный вопрос заслуживает внимания и по другим причинам.
Превосходная стратегия, позволяющая повысить «потолок» задачи, состоит в том, чтобы предложить ученикам, которые уже нашли ответ на вопрос, написать новый, аналогичный первому, но более сложный. Во время обучения смешанной группы учеников в летней школе мы часто использовали эту стратегию и получали впечатляющие результаты. Например, когда мальчик Алонсо закончил решать задачу с лестницей, в которой ученики должны были поразмышлять над ростом закономерности и шагом n (пример 5.10), он задал более трудный вопрос: как будет расти лестница в четырех направлениях и сколько кубиков будет на n-м шаге? (рис. 5.19.)
Как вы представляете себе рост закономерности?
Сколько ячеек было бы на шаге 100?
Сколько ячеек было бы на шаге n?
Когда ученикам предлагают задать вопрос посложнее, они часто загораются этой идеей: их увлекает возможность использовать свое мышление и творческий подход. Учителя могут без труда использовать такое расширение на любом уроке. Попробуйте дать ученикам следующее задание в контексте любой совокупности математических вопросов.
А теперь вы напишете вопрос; постарайтесь, чтобы он был трудным.:)
Рис. 5.19. Расширенная задача Алонсо
Ученики могут задавать вопросы одноклассникам — очень вдохновляющий подход. Эта стратегия особенно уместна для учеников, которые работают быстрее других и жалуются, что для них эта работа слишком легкая: ведь такой подход требует глубоких и напряженных размышлений.
6. Можете ли вы включить в задачу условие о необходимости убеждать и рассуждать?
Построение логических рассуждений — основа математики. Когда ученики приводят свои аргументы и критикуют рассуждения других, они ведут себя как истинные математики и готовятся к миру высоких технологий, в котором им предстоит работать, а также к сдаче тестов. Кроме того, логические рассуждения дают путь к пониманию материала. В ходе четырехлетнего исследования, охватившего разные школы, мы обнаружили, что логические рассуждения играют особенно важную роль в обеспечении равенства, помогая сократить разрыв между учениками, которые понимают математику, и теми, кому она дается с трудом. Во время каждой дискуссии ученикам предлагали рассуждать логически, объясняя, почему они выбрали те или иные методы и почему их применение имеет смысл. Тем, кто не понял соответствующую тему, это позволяло разобраться в ней и задать вопросы, что еще больше углубляло знания ученика, который объяснил свой выбор метода.
Мне нравится дополнять любимые задачи на стимулирование логических рассуждений педагогической стратегией, у которой есть ряд преимуществ. Я узнала о ней от Кэти Хамфриз, которая предлагает своим ученикам быть скептиками. Она утверждает, что существует три уровня убеждения (Boaler & Humphreys, 2005).
• Убедить себя.
• Убедить друга.
• Убедить скептика.
Убедить себя или друга легко, но, чтобы убедить скептика, понадобятся рассуждения очень высокого уровня. Кэти говорит ученикам, что они должны быть скептиками, побуждая других всегда формулировать исчерпывающие и убедительные аргументы.
Марк Дрисколл разработал идеальную задачу для обучения и стимулирования рассуждений более высокого уровня, в которую можно включить роль скептика. Она называется «Складывание бумаги». Я использовала эту задачу в самых разных группах, и все они работали над ней очень увлеченно. Учителя говорят мне, что им нравится эта задача: часто она дает возможность проявить себя тем, кто раньше не мог этого сделать. Ученики работают парами с квадратным листом бумаги. Им предлагают складывать ее так, чтобы получить новые фигуры. В примере 5.11 показаны пять заданий с растущим уровнем сложности.
Работайте с партнером. По очереди берите на себя роль скептика или убеждающего. Когда вы выступаете в качестве убеждающего, ваша задача — убеждать! Приводите аргументы. Скептики должны относиться ко всему скептически! Не давайте легко убедить себя. Требуйте аргументов и обоснований, имеющих для вас смысл.
В каждом из представленных ниже заданий один участник должен сложить фигуру, а затем убедить другого. Ваш партнер играет роль скептика. Когда вы перейдете к следующему заданию, поменяйтесь ролями.
Начните с квадратного листа и сделайте на нем сгибы так, чтобы построить новую фигуру. Затем объясните, почему вы считаете, что созданная вами фигура имеет искомую площадь.
1. Постройте квадрат, площадь которого равна 1/4 площади исходного. Убедите своего партнера в том, что это квадрат и его площадь составляет 1/4 исходной.
2. Постройте треугольник, площадь которого равна 1/4 площади исходного квадрата. Убедите партнера в том, что площадь этого треугольника составляет 1/4 исходной.
3. Постройте еще один треугольник, площадь которого также равна 1/4 площади исходного квадрата и который не конгруэнтен треугольнику, построенному в предыдущей задаче. Убедите партнера в том, что площадь этого треугольника составляет 1/4 исходной.
4. Постройте квадрат, площадь которого равна 1/2 площади исходного. Убедите партнера в том, что это квадрат и его площадь составляет