1/2 исходной.
5. Постройте еще один квадрат, площадь которого также равна 1/2 площади исходного, но который ориентирован иначе, чем квадрат, построенный в задаче 4. Убедите партнера в том, что площадь этого квадрата составляет 1/2 исходной.
Источник: Driscoll, 2007, p. 90, http://heinemann.com/products/E01148.aspx.
Когда я поставила эту задачу учителям, они долго трудились над заданием 5, причем некоторые из них работали до самого вечера после целого дня занятий по профессиональному развитию, наслаждаясь каждым моментом. Такую вовлеченность усиливает наличие физической фигуры, с которой можно работать и которую можно менять, а также необходимость убеждать партнера. Ставя перед учениками и учителями эту задачу, я предлагаю парам партнеров по очереди брать на себя разные роли: один складывает лист бумаги и убеждает другого, а другой становится скептиком, а в следующем задании они меняются ролями. Предлагая ученикам играть роль скептиков, я объясняю, что они должны требовать от партнеров, чтобы те убедили их в своей правоте. Ученикам нравится требовать друг от друга убедительных аргументов. Это помогает им освоить метод математических рассуждений и доказательств. Возможно, вам как учителю нужно будет продемонстрировать ученикам, что такое убедительный ответ, задавая дополнительные вопросы, если их аргументы недостаточно убедительны.
Еще один пример задачи, требующей убеждения, представлен в примере 5.12. Условие о необходимости рассуждать и убеждать можно включить в любую математическую задачу.
Конус и цилиндр имеют одинаковые высоту и радиус. Чему равно соотношение их объемов? Сделайте предположение и попытайтесь убедить других учеников в его истинности. Чтобы вышло убедительно, используйте рисунки, модели и цветовое кодирование.
Когда математические задачи открыты для разных способов восприятия, методов решения и вариантов представления, все меняется.
Математические задачи, ориентированные на закрытое, фиксированное мышление, можно превратить в задачи, которые ориентированы на мышление роста и в которых есть пространство для обучения. Ниже представлены пять рекомендаций, которые помогут открыть математические задачи и расширить их возможности в плане обучения.
1. Расширьте задачу так, чтобы она допускала разные методы решения и способы представления.
2. Включите в задачу возможности для исследований.
3. Ставьте задачу до объяснения метода ее решения.
4. Включите в задачу визуальную составляющую.
5. Расширьте задачу так, чтобы она относилась к категории «низкий пол, высокий потолок».
6. Предложите ученикам рассуждать и убеждать, а также быть скептиками.
Другие примеры задач с такими свойствами представлены в главе 9.
Воспользовавшись этими способами видоизменения задач, вы откроете перед учениками более широкие и глубокие возможности для обучения. При таком подходе и при наличии математического мышления учителя (и родители) могут создавать и изменять математические задачи, обеспечивая всем ученикам благоприятные условия для изучения математики.
На следующих сайтах представлены математические задачи, обладающие одним или несколькими из тех свойств, которым я придаю особое значение.
• YouCubed: www.youcubed.org.
• Национальный совет преподавателей математики (NCTM): www.nctm.org (доступ к некоторым ресурсам могут получить только члены NCTM).
• Разъяснения NCTM: http://illuminations.ntcm.org.
• Сбалансированная оценка: http://balancedassessment.concord.org.
• Математический форум: www.mathforum.org.
• Shell Center: http://map.mathshell.org/materials/index.php.
• Ресурсы Дэна Мейера: http://blog.mrmeyer.com.
• Geogebra: https://www.geogebra.org.
• Проект Video Mosaic: http://videomosaic.org.
• NRich: http://nrich.maths.org.
• Оценка 180 градусов: http://www.estimation180.com.
• Визуальные закономерности; классы 1–12: http://www.visualpatterns.org.
• Числовые строки: http://numberstrings.com.
• Mathalicious, классы 6–12; уроки для средних и старших классов: http://www.mathalicious.com.
Глава 6. Математика и путь к равенству
Меня волнует проблема равенства. Я хочу жить в мире, где каждый может изучать математику и получать удовольствие от нее, имеет поддержку независимо от национальности, пола, дохода и т. п. Мне хотелось бы приходить на уроки математики и видеть, что все ученики с радостью и воодушевлением изучают предмет, не беспокоясь о том, будут ли их считать «умными» и есть ли у них «математический ген». Но пока в математике царят самые большие и самые неоправданные различия в части успеваемости и вовлеченности учеников разной этнической принадлежности, пола и уровня доходов по сравнению с другими дисциплинами (Lee, 2002).
Я много лет проводила исследования с участием учителей, работа которых была направлена на обеспечение справедливых результатов в математике и которые добились очень больших успехов. Благодаря этому я узнала о способах создания благоприятных условий для проведения уроков математики, на которых все ученики имеют равные возможности. В этой и следующей главах я расскажу о стратегиях такого рода. Но сначала вкратце затрону вопрос, о котором редко говорят, но который, на мой взгляд, лежит в основе неравенства в математике.
Математика — прекрасная дисциплина, в которой есть много идей и связей, способных вдохновить учеников. Но, как уже говорилось, ее слишком часто преподносят как предмет, ориентированный на результат и выявляющий тех, у кого есть «математический ген». В США математика втянута в культуру достижений и часто играет элитистскую роль. Ее можно подавать как удивительную науку, доступную всем; своего рода призму, сквозь которую можно рассматривать мир; путь к важным знаниям, которые расширяют возможности тех, кто готов упорно трудиться и размышлять над своей работой и жизнью в количественных категориях. А можно подать ее как фактор, который разделяет детей на способных и неспособных, умных и глупых. Некоторые радуются недоступности математики в ее теперешнем виде (особенно если их дети успешно справляются с этим предметом), поскольку стремятся сохранить это явное социальное преимущество. К счастью, есть и люди, охотно принимающие перемены (даже если их дети преуспевают), особенно когда они узнают о том, что преимущество их детей сейчас основано на знаниях, которые никак не помогут им в будущем.
Некоторые люди, даже учителя, самоопределялись, убеждая себя в собственной математической исключительности, генетическом превосходстве перед другими. Люди изо всех сил держатся за эту идею. Но уже есть много данных в пользу того, что, хотя люди рождаются с определенными особенностями мозга, их затмевает опыт, накапливаемый в течение жизни, поскольку мозг растет каждую секунду (Thompson, 2014; Woollett & Maguire, 2011). Даже люди, которых общество относит к числу гениев, упорно трудились, чтобы добиться успеха. Эйнштейн научился читать только в девять лет и не сдал вступительные экзамены в колледж, но очень много работал и мыслил позитивно, понимая ценность ошибок и настойчивости. Однако вместо признания роли и ценности упорного труда система образования США сосредоточилась на «одаренных» учениках, которым дают разные возможности, причем зачастую только потому, что они быстро запоминают факты. Это негативно сказывается не только на тех, кого считают «середнячками» и слабыми, но и на самих «одаренных»: у них формируется фиксированное мышление, они становятся уязвимыми и менее склонными к риску. Внедряя в школах программы для одаренных детей, мы говорим ученикам, что некоторые из них отличаются от остальных на генетическом уровне. Однако, по данным ряда исследований, многие люди, которых в детстве считали одаренными, в зрелые годы живут обычной жизнью (http://ireport.cnn.com/docs/DOC-332952).
В своем бестселлере «Гении и аутсайдеры» Малкольм Гладуэлл раскрывает природу профессиональной компетентности. Опираясь на результаты обширного исследования Андерса Эрикссона и его коллег, Гладуэлл отмечает, что все специалисты высокого уровня, в том числе крупные математики, работали в своих областях минимум 10 тысяч часов. Некоторые люди, добившиеся серьезных успехов в математике, не считают нужным гордиться тем, как много они на самом деле занимались; они предпочитают думать и говорить, что талант дан им от рождения. А другие, которые тоже много учились, считают себя обманщиками: ведь их результаты потребовали больших усилий. Многие прекращают заниматься математикой, считая, что им в ней не место (Solomon, 2007). Многие осознают, что неравенство в изучении математики обусловлено стереотипами, и борются с ними. К сожалению, есть и те, кто (не всегда осознанно) делает все возможное для усугубления несправедливости.
Некоторые учителя математики (к счастью, я таких знаю немного) считают, что они в чем-то превосходят учителей по другим предметам и их задача — найти горстку учеников, обладающих такими же исключительными способностями. Один знакомый учитель средней школы каждый год неизменно ставил 70% учеников низшие оценки за каждый урок математики, связывая их низкую успеваемость не со своим подходом к преподаванию, а с тем, что, по его мнению, у детей не было способностей. Он считал себя вправе ставить низкие оценки, хотя это не позволяло детям успешно окончить среднюю школу, мнил себя «хранителем математики» и видел свою цель в том, чтобы только «звезды» выходили на более высокий уровень. На математических факультетах некоторых вузов студентам снижают итоговые оценки, если они ходят на консультации и обращаются за помощью: заслуживающий восхищения упорный труд воспринимается в таких учебных заведениях как признак отсутствия таланта. Такая элитистская идея в сочетании со стереотипами об одаренности порождает неравноправие. Чтобы понять влияние культуры элитизма и одаренности в математике в США, достаточно проанализировать национальные данные о том, кто изучает высшую математику. В 2013 году мужчины составляли 73% общего количества кандидатов на соискание степени доктора наук в области математики, а представители белой и азиатской расы — 94%. Доля женщин, претендовавших на степень доктора наук в математике, в период с 2004 по 2013 год сократилась с 34 до 27% общего количества докторантов (Vélez, Maxwell,