Рис. 7.1. Результаты предварительной оценки уровня знаний
Через год ученики Рейлсайд догнали тех, которые учились традиционным способом (рис. 7.2). Через два года их уровень успеваемости стал гораздо выше (рис. 7.3).
Рис. 7.2. Результаты оценки уровня знаний, год 1-й
Рис. 7.3. Результаты оценки уровня знаний, год 2-й
Кроме того, ученики Рейлсайд получали гораздо большее удовольствие от математики и продолжили изучать этот предмет на более высоком уровне. В школе 41% учеников прошли углубленный курс начал анализа и анализа (из тех, кто обучался традиционным способом, таких было 27%). Кроме того, в Рейлсайд снизилось или исчезло расовое неравенство в плане успеваемости учеников (YouCubed at Stanford University, 2015a).
Не так давно была опубликована важная книга, посвященная анализу достижений Рейлсайд и применяемых в ней справедливых методов обучения, которую написали учителя этой школы (Nasir, Cabana, Shreve, Woodbury, & Louie, 2014).
Ниже представлен анализ того, как школе удалось добиться таких впечатляющих результатов, придерживаясь четырех принципов комплексного обучения: многоплановости, распределения ролей, присвоения компетенции и коллективной ответственности учеников (рис. 7.4).
Рис. 7.4. Комплексное обучение
Многоплановость
Одноплановые уроки математики, широко распространенные в США, — это уроки, на которых практика ценится превыше всего и цель состоит в правильном выполнении процедур. Такой узкий критерий успеха приводит к тому, что некоторые ученики поднимаются на самый высокий уровень, получая хорошие оценки и похвалу учителя, а другие опускаются на самый низкий, причем большинству учеников известно их место в иерархии. Такие уроки одноплановые, поскольку на них есть только один способ добиться успеха. На многоплановых уроках математики учителя используют все методы работы.
Например, дети выполняют вычисления, а вдобавок задают интересные вопросы, предлагают идеи, устанавливают связи между разными методами, используют много разных форм представления, выстраивают цепочки логических рассуждений и предпринимают много других действий. Математика — широкая и многоплановая дисциплина. В классах, где применяется комплексный метод, учителя оценивают знания учеников по многим аспектам математики. На стенах классных комнат школы Рейлсайд был вывешен такой девиз комплексного обучения:
Никто не может успешно применять все эти методы работы, но каждый может овладеть некоторыми из них.
Во время бесед с учениками, принимавшими участие в нашем исследовании, мы задавали такой вопрос: «Что необходимо для достижения успеха в математике?» 97% детей, которых обучали в соответствии с традиционным подходом, дали один и тот же ответ: «Работать очень внимательно». Это пассивный подход, который ассоциируется с низким уровнем успеваемости (Bransford, Brown, & Cocking, 1999). Когда мы задали этот же вопрос на уроках в Рейлсайд, дети назвали целый ряд методов работы:
• постановка хороших вопросов;
• изменение формулировки задач;
• объяснение;
• использование логики;
• обоснование методов;
• использование развивающих материалов;
• установление связи между идеями;
• помощь другим.
Ученик по имени Рико сказал: «В средних классах мы просто отрабатывали математические навыки. Но здесь все работают вместе, стараются помогать другим и получать помощь. Это позволяет совершенствовать навыки общения, математические навыки и навыки логического мышления» (ученик Рейлсайд, год 1-й).
Рико рассказал нам о той широте математики, которую он испытал на своем опыте. Ученица по имени Жасмин добавила: «На уроках математики приходится взаимодействовать со всеми, разговаривать с ними и отвечать на их вопросы. Нельзя просто сказать: “Вот учебник, посмотри на числа и разберись во всем”». Когда мы спросили Жасмин, чем можно объяснить тот факт, что уроки математики отличаются от остальных, она сказала: «Это не один способ сделать что-то. Тут все интерпретируют по-своему. Это не только один ответ. Есть много способов все понять. К тому же возникает вопрос: “Почему это работает?”» (ученица школы Рейлсайд, год 1-й). Жасмин подчеркивает социальный и интерпретативный характер математики, когда ученики выходят за рамки учебника и чисел, чтобы осмыслить концепции, проанализировать разные подходы и обосновать ход своих мыслей, отвечая на важный вопрос «Почему это работает?»
В школе Рейлсайд учителя разработали многоплановые занятия с учетом многих аспектов. Это стало возможно благодаря постановке содержательных задач, которые учителя обозначили как задачи, заслуживающие внимания всей группы. Их трудно решить в одиночку, они требуют вклада разных членов группы.
Лани Хорн определяет задачи, заслуживающие внимания всей группы, как «задачи, которые иллюстрируют важные математические концепции, допускают разные формы представления, опираются на эффективное использование коллективных ресурсов группы и имеют несколько возможных решений» (Horn, 2005, p. 22). В примерах 7.1 и 7.2 приведены задачи, которые можно считать заслуживающими внимания группы (они взяты с сайта nrich.maths.org). Полное их описание можно найти в приложении.
Как насчет того, чтобы решить простую головоломку?
Эта задача предназначена для работы в группах из четырех человек. (Примечания учителей и их идеи по поводу расширения задачи можно найти здесь: http://nrich.maths.org/6947&part=note.)
1. Есть два пазла, которые учитель может распечатать для вас (см. ниже). Сложите каждый, а затем выложите все фрагменты на расчерченные квадраты, которые также можно распечатать.
2. Положите меньший квадрат на больший любым удобным для вас способом, чтобы ячейки совпадали. (Возможно, вам будет легче сделать это, если вы скопируете числа, расположенные на меньшем квадрате, на кальку.)
3. Проанализируйте, что произойдет, когда вы сложите числа, расположенные друг над другом.
4. В своей группе проанализируйте все идеи, которые у вас появятся.
Когда вы рассмотрите все 36 комбинаций, вам, вероятно, нужно будет задать вопрос: «Интересно, что произойдет, если мы…» Внесите одно небольшое изменение, проанализируйте этот вариант, а затем сравните два набора результатов.
Возможно, вы захотите задать вопрос: «Почему…»
Источник: NRICH (http://nrich.maths.org/6947).
Представьте себе прямоугольник площадью 20 см2.
Какими могут быть длина и ширина этого прямоугольника? Перечислите минимум пять разных комбинаций.
Представьте себе, что вы увеличили прямоугольник вдвое.
Назовите размеры увеличенного прямоугольника и найдите его площадь. На что вы обратили внимание?
Попробуйте начать с прямоугольника с другой площадью и увеличить его вдвое. На что вы обратили внимание теперь?
Можете ли вы объяснить, что происходит?
Что произойдет с площадью прямоугольника, если вы увеличите его в 3, 4 или 5 раз? Что произойдет с площадью прямоугольника, если вы увеличите его в дробное количество раз?
Что произойдет с площадью прямоугольника, если вы увеличите его в k раз?
Объясните и обоснуйте выводы, к которым вы пришли.
Применимы ли эти выводы к другим двумерным фигурам, кроме прямоугольника?
Теперь проанализируйте, что произойдет с площадью поверхности и объемом различных прямоугольных параллелепипедов, если увеличить их в разное количество раз.
Объясните и обоснуйте выводы, к которым вы пришли.
Применимы ли эти выводы к другим объемным фигурам, кроме прямоугольного параллелепипеда?
Источник: NRICH (http://nrich.maths.org/6923).
Пример 7.3 — задание из школы Рейлсайд, где учителя впервые поставили ученикам задачи на линейную функцию (они называют их схемами формирования горок), которые отображали определенную форму представления, и предложили им определить, какой будет, скажем, горка № 10.
Как растут эти фигуры?
Можете ли вы определить, какой будет фигура на шаге 100?
Какой будет фигура на шаге n?
Одни группы могли представить ответ на этот вопрос в геометрической форме, другие — в числовой, с помощью таблицы из двух столбцов, а третьи — в алгебраической. После того как ученики рассказывали о своих решениях, учителя задавали вопрос: «Кто-нибудь понял это иначе?»
Позже учителя Рейлсайд начали давать более сложные и интересные задания, в рамках которых предоставлялась не вся необходимая информация и ученикам приходилось вместе работать над воссозданием отсутствующих элементов таблицы, графика, уравнения и геометрического представления закономерности, как показано на рис. 7.5.
Рис. 7.5. Задача CPM
Более подробная информация об этих и других задачах, которые используются в школе Рейлсайд, можно найти в книге, которую написали ее учителя (Nasir et al., 2014). Многие задачи такого рода представлены в модуле курса CPM[18] под названием Connections («Связи»). В свое время учителя Рейлсайд преподавали математику в рамках традиционных методов в группах, сформированных по принципу успеваемости, но многие ученики не справлялись с этим предметом.
Учителя Рейлсайд не считали, что эти неудачи обусловлены недостатками самих учеников, хотя многие дети поступили в школу с объемом знаний по математике на уровне второго класса. Они подали заявку на грант, который позволил им все лето заниматься планированием новой учебной программы и разработкой нового подхода. Эти учителя уже знали о комплексном обучении, поэтому отказались от формирования классов по успеваемости и разработали вводный курс алгебры, который должны были пройти все новички-старшеклассники. Они создали курс алгебры, который был глубже, чем традиционный, чтобы дать увлекательный опыт всем детям, даже уже изучавшим алгебру. Поскольку учителя Рейлсайд были глубоко привержены идее равенства и совместного обучения, они разработали и внедрили программу, которая открывала ряд возможностей для изучения математики. Стандартные учебники обычно организованы вокруг таких математических методов, как построение графиков линейных функций или разложение многочленов на множители. Учителя Рейлсайд организовали свою программу вокруг таких важных концепций, как «Что такое линейная функция?» Они не составляли задачи; они взяли глубокие, концептуальные задачи по математике из опубликованных учебных программ, таких как College Preparatory Mathematics — CPM («подготовительный курс математики для поступления в колледж») и Interactive Mathematics Program — IMP («