x кусочков = 1/4 фунта
…а затем применить метод перекрестного умножения и получить x = 9/4.
У взрослых, которым ставили эту задачу, возникали трудности с созданием модели и составлением выражения. На уроках алгебры дети почти не получают опыта интерпретации ситуаций и создания моделей. Их учат перемещать переменные на странице и решать множество примеров, но они редко занимаются постановкой задач, а это и есть важный аспект того, о чем говорит Вольфрам: создания модели.
Моделированием могут заниматься люди всех возрастов. Например, ученикам подготовительного класса начальной школы можно предложить составить схему размещения детей в классе, чтобы все они могли поместиться на ковре. Ученики могут представить каждого ребенка в виде какой-нибудь фигуры и найти подходящий способ их размещения на ковре. Это пример моделирования ситуации, в данном случае с помощью фигур или предметов, символизирующих более сложные объекты (маленьких детей!): YouCubed at Stanford University, 2015b; www.youcubed.org/task/moving-colors.
Математические модели часто отличаются большей простотой по сравнению с реальными ситуациями. В примере с подготовительным классом фигуры, символизирующие детей, не учитывают их размер или движения. В примере с кусочками индюшки подразумевается, что все они имеют одинаковый размер и вес и между ними нет никаких различий.
Эта задача помещена в нереальный контекст, но он позволяет ученикам проанализировать разные аспекты реальной ситуации и использовать их в своих размышлениях. Вероятно, ученики захотят определить площадь участка, по которому должен ходить козлик. Либо сами ученики, либо учитель может предложить оградить участок забором. Отличное расширение этой задачи состоит в том, чтобы предложить ученикам определить, как они разместят 60 планок шириной 30 см, чтобы максимально увеличить дополнительную площадь. Это замечательная, содержательная задача, о которой шла речь в главе 5. Размышляя о посадке дерева, ученики могут задать себе вопрос: что будет, если козлик съест саженец? Какое дерево лучше всего посадить? Где его лучше посадить, чтобы козлик его не съел, но мог быть в тени?
Хорошая задача на моделирование, над которой могут работать ученики средних и старших классов, — известная задача о привязанном козлике. Ее расширенный вариант, представленный в примере 9.8, составила Кэти Уильямс.
Представьте себе козлика, привязанного веревкой в углу затененного участка площадью 1 × 2 м. Длина веревки равна 2 м.
Что еще нужно знать об этой ситуации?
Представьте эту ситуацию в виде рисунка.
Какие вопросы у вас возникли?
Солнце восходит на востоке затененного участка и садится на западе. Козлик хотел бы оставаться в тени. Где лучше посадить дерево? Какое дерево вы посадили бы?
В этой ситуации есть много возможностей для того, чтобы ученики задавали содержательные вопросы и искали на них ответы. Им понадобилось бы смоделировать эту ситуацию и представить ее в разных формах, то есть применить два важных математических подхода (рис. 9.11).
Рис. 9.11. Модель ситуации с привязанным козликом
Один из замечательных способов использовать реальные данные — предложить ученикам поработать с реальными числами и данными из журналов, газет и интернета. Например, мне очень нравится знакомить детей с вопросами социальной справедливости, предлагая им сформировать в классе группы, соответствующие разным континентам. Затем ученики анализируют, сколько печенья получит их группа, если оно символизирует долю мирового богатства, которая приходится на их континент (пример 9.9). Работая над этой задачей, ученики будут создавать модели, рассуждать и применять знания, а также изучать реальную и важную информацию об этом мире и о способах распределения богатства, что для них особенно актуально в пересчете на печенье, которое они смогут съесть. Поскольку ученики в некоторых частях мира получают совсем мало печенья, лучше сделать запас, чтобы выравнять потребление в будущем!
1. Определите процент населения, живущего на каждом континенте, от общей численности населения мира.
2. Вычислите количество учеников нашего класса, соответствующих найденным процентам.
3. Вычислите процент мирового богатства, которое приходится на каждый континент.
4. Вычислите богатство каждого континента в количестве печенья.
Таблица 9.1. Данные о мировом богатстве
Источник: данные о численности населения получены на основании информации Справочной службы по вопросам народонаселения (Population Reference Bureau, prb.org). Данные о мировом богатстве получены на основании информации Международного валютного фонда.
Таблица 9.2. Данные, полученные в классе
Количество учеников в классе _____
Общее количество печенья _____
Источник: предоставлено Шармейн Мэнгем.
Данные об Олимпийских играх и других спортивных соревнованиях открывают множество возможностей для математических изысканий и размышлений. Работая со спортивными данными, важно помнить о гендерном равенстве. В примере 9.10 представлен мой любимый вопрос, который также подразумевает создание математической модели.
Если вы футбольный вратарь, а нападающий команды противника оторвался от остальных и бежит к вам, какую позицию вам лучше занять? Попытайтесь определить разные позиции в зависимости от местоположения нападающего в момент, когда он сделает удар.
Чтобы привнести элемент реальности в учебные аудитории, я советую использовать подлинные данные и ситуации, давая контекст только тогда, когда он нужен. Убедитесь, что это не заставит учеников отказаться от осмысления происходящего и ухода в Страну математики.
Группа PISA при ОЭСР провела интересный и полезный анализ сильных и слабых сторон, которые продемонстрировали американские ученики в ходе международных тестов PISA по математике. По результатам этого анализа исследователи пришли к выводу, что низкий уровень знаний американских школьников связан с искусственным контекстом, который используется на уроках и не знакомит учеников с принципами применения переменных из реального мира, а учит игнорировать их. Ниже приведены полезные рекомендации PISA в части способов вовлечения учеников и создания условий для успешного изучения математики.
Создается впечатление, что американские школьники особенно сильны в применении математических навыков и способностей, менее требовательных в когнитивном плане, таких как выделение отдельных значений на диаграммах и операции с хорошо структурированными формулами. Но у них слабо развиты когнитивные навыки и способности, необходимые для того, чтобы тщательно анализировать реальные ситуации, переводить их в математические категории и интерпретировать математические аспекты в задачах реального мира. Хорошо известная поверхностная учебная стратегия «Не обращайте внимания на контекст, возьмите из текста числа и выполните очевидные действия» обречена на провал. Она широко применяется во всем мире и часто помогает учащимся справляться с математикой в школе и сдавать экзамены. Но в процессе выполнения типичного задания теста PISA на математическую грамотность учащиеся должны использовать знания, опирающиеся на прочный фундамент. Очевидно, что у американских школьников возникают большие трудности с такими задачами. <…> Что касается последствий, тут есть одна четкая рекомендация: уделять гораздо больше внимания видам деятельности более высокого порядка, таким как математическое моделирование (осмысление ситуаций из реального мира, их перенос на математические модели и интерпретация математических результатов), без ущерба для базовых навыков, необходимых для этих видов деятельности (Organisation for Economic Co-operation and Development [OECD], 2013).
Команда PISA обнаружила феномен, проистекающий из недостатков заданий, которые дают ученикам в США. Члены команды обратили внимание на то, что склонность учеников игнорировать контекст и просто использовать числа приводит к тому, что они не справляются с заданиями. Это отражает низкое качество заданий с искусственным контекстом, которые используются в учебниках в США. К сожалению, стратегии, которые обычно изучают американские школьники на уроках, не принесут им пользы и после вступления в трудовую жизнь. На уроках математики ученики должны работать над заданиями, которые требуют изучения реальной ситуации, использования переменных из реального мира и анализа подлинных данных. Им необходимо научиться создавать математические модели на основе реальных ситуаций и решать задачи. Это увлекательный процесс, чрезвычайно важный для будущего учеников.
Стимулируйте учеников ставить вопросы, рассуждать, обосновывать свои выводы и быть скептиками
Математик должен сразу поставить интересный вопрос. Этот метод практически не применяется на уроках, хотя и играет важнейшую роль в математической работе. Ник Фут — замечательный учитель третьего класса и друг, который учил обеих моих дочерей, что дало нам возможность часто обсуждать вопросы математики. Иногда на своих уроках он описывает ситуацию и предлагает ученикам поставить математические вопросы. Однажды я присутствовала на уроке Ника, когда он дал ученикам такое задание.
Вы хотите купить браслеты из резинок. Для этого вы отправляетесь в магазин и находите там следующие варианты.
Двухцветные браслеты — 0,5 долл. за один браслет или 3 браслета за 1 долл.