или, что они не способны освоить математику или что эта дисциплина «не для них». Многие преподаватели математики сами боятся этой дисциплины. Результаты исследований, о которых я им рассказала, помогли им избавиться от страха и встать на другой путь. В ходе важного исследования Сайен Бейлок и ее коллеги пришли к выводу о наличии зависимости между уровнем негативных эмоций, которые учителя начальной школы испытывают по отношению к математике, и уровнем успеваемости девочек из их класса, но не мальчиков (Beilock, Gunderson, Ramirez, & Levine, 2009). Вероятно, это гендерное различие объясняется тем, что девочки отождествляют себя с учительницами, особенно в начальной школе. Они быстро подхватывают негативные сигналы в отношении математики, которые учителя зачастую подают из добрых побуждений, например: «Я знаю, что это очень трудно, но давай попробуем» или «Я никогда не любила математику». Кроме того, это исследование подчеркивает связь между сигналами, которые подают учителя, и успеваемостью их учеников.
Каков бы ни был уровень вашего мышления и знаний в этой области, я надеюсь, что представленные в этой книге данные и идеи помогут вам и вашим ученикам воспринимать математику (на любом уровне) как предмет, доступный для понимания и приносящий истинное удовольствие. В главе 2, главе 3, главе 4, главе 5, главе 6, главе 7 и главе 8 приведено много стратегий формирования мышления роста на занятиях математикой в школе и дома, которые я собрала за долгие годы исследований и практической работы в школах. Они помогут вам дать ученикам такой опыт изучения математики, который позволит им развить сильное математическое мышление.
Глава 2. Сила ошибок и трудностей
Я начала проводить семинары о преподавании математики с ориентацией на мышление роста вместе со студентами магистратуры из Стэнфорда (Сарой Селлинг, Кэти Сан и Холли Поуп), после того как директора калифорнийских школ рассказали мне о том, что их учителя прочли книги Кэрол Дуэк и полностью поддерживают изложенные там идеи, но не знают, что все это значит для преподавания математики. Первый семинар состоялся в кампусе Стэнфордского университета, в светлом и просторном центре Ли Ка-Шинга. Одна из самых ярких фраз Кэрол Дуэк поразила учителей: «Каждый раз, когда ученик делает ошибку в математической задаче, у него появляется новый синапс». Все мысленно ахнули. Ведь речь шла о силе и ценности ошибок — хотя большинство учеников считают, что ошибки означают отсутствие у них математических способностей или, того хуже, отсутствие интеллекта. Многие учителя годами говорили ученикам, как полезны ошибки: они свидетельствуют о том, что мы учимся. Но новые данные о мозге и ошибках указывают на нечто гораздо более важное.
Психолог Джейсон Мозер со своей группой изучил нейронные процессы в мозге человека в момент совершения ошибки (Moser et al., 2011). Они обнаружили нечто удивительное. Мозг может отреагировать на ошибку двумя способами. Ответная реакция первого типа под названием «вызванный ошибкой негативный импульс» (error-related negativity, ERN) — повышенная электрическая активность при конфликте между правильным ответом и неверным. И такая активность возникает независимо от того, знает ли человек об ошибке. Ответная реакция второго типа под названием «вызванный ошибкой позитивный импульс» (positivity error, Pe) — сигнал, отражающий осознанное внимание к ошибкам. Такая реакция имеет место, когда человек знает, что совершил ошибку, и уделяет ей осознанное внимание.
Когда я сказала учителям, что ошибки активируют мозг и стимулируют его рост, они отреагировали так: «Конечно, только при условии, что ученики исправляют ошибку, а потом продолжают решать задачу». Но на самом деле это не так. Результаты исследований свидетельствуют о том, что мозг активизируется независимо от того, знаем ли мы об ошибке. Когда учителя спрашивают меня, как это возможно, я говорю, что пока лучшее объяснение таково: мозг активизируется и растет, когда мы делаем ошибки, ведь в это время он напряженно работает.
В ходе исследования Мозер с коллегами проанализировали мышление людей и сопоставили разные его типы с реакцией ERN и Pe при ошибочных ответах на поставленные вопросы. Ученые сделали два важных вывода. Во-первых, электрическая активность мозга учеников в случае реакций ERN и Pe была выше, когда они совершали ошибки, чем когда давали правильные ответы. Во-вторых, в случае ошибок активность мозга участников с мышлением роста оказалась выше активности мозга участников с фиксированным мышлением.
Очень важно то, что наш мозг реагирует на ошибки повышенной активностью. Подробнее об этом чуть позже.
Исследование также показало, что люди с мышлением роста лучше осведомлены об ошибках, чем люди с фиксированным мышлением, поэтому чаще исправляют свои промахи. Это согласуется с результатами других исследований (Mangels, Butterfield, Lamb, Good, & Dweck, 2006), продемонстрировавших, что у учеников с мышлением роста проявляются усиленная реакция мозга и внимание к ошибкам. Все ученики реагировали на ошибки возбуждением синапсов, но у людей с мышлением роста мозг чаще начинал активную работу, показывая осведомленность об ошибке.
Результаты неврологических исследований головного мозга и ошибок крайне важны для нас, учителей математики и родителей. Они свидетельствуют, что ошибки полезны. Когда мы их совершаем (даже если сами того не осознаем), наш мозг активизируется и растет; вдобавок мы учимся. Это важно, поскольку дети и взрослые во всем мире часто испытывают крайне негативные эмоции, когда ошибаются в решении математических задач: ведь они воспитывались в культуре достижений (см. Boaler, 2014b), где ошибки не ценят или того хуже — за них наказывают. Увы, многие задания для работы в классе составлены так, чтобы ученики смогли без проблем выполнить их правильно. Но на самом деле необходимо, чтобы ученики совершали ошибки. Чуть ниже представлены математические задачи, которые увлекают учеников и способствуют росту их мозга, и сигналы, которые должны подавать при этом учителя и родители.
В странах с самым высоким уровнем знаний по математике (например, в Китае) подход к ошибкам совсем иной. Недавно я наблюдала за уроком математики в Шанхае — китайском городе, где ученики демонстрируют самые высокие результаты в стране и в мире. Учитель давал ученикам серьезные концептуальные задачи, а затем устраивал опрос. Пока ученики с удовольствием рассказывали о проделанной работе, переводчик шепнул мне, что учитель выбирает детей, которые сделали ошибки. Те с гордостью рассказывали об ошибках, поскольку учитель придает им большое значение. В главе 9 дано описание короткого и очень интересного эпизода одного из уроков в Китае.
Различные научные исследования не только демонстрируют ценность ошибок для каждого, но и показывают, что ученикам с мышлением роста свойственна более высокая активность мозга, связанная с обнаружением ошибок, чем ученикам с фиксированным мышлением. И именно поэтому мышление роста так полезно для изучения математики и других предметов.
Исследование Мозера, которое показало, что в случае ошибок у участников с мышлением роста активность мозга выше, чем у участников с фиксированным мышлением, позволяет сделать еще один важный вывод. Выходит, что наши представления о себе (в частности, вера в свои силы) меняют работу мозга. Если мы верим, что можем учиться и ошибки важны, наш мозг развивается активнее, когда мы их совершаем. Вот почему нужно верить в себя, особенно когда перед нами встают сложные задачи.
Исследования успешных и неудачливых бизнесменов дали неожиданный результат: их характеризует количество не успехов, а ошибок. Да, более успешные люди совершают больше ошибок. Starbucks — одна из самых именитых компаний в мире, а ее основатель Говард Шульц — один из самых успешных предпринимателей современности. Когда он создал компанию, позже ставшую Starbucks, он использовал в качестве модели итальянские кафе. В США в то время было не так уж много кафе, а Шульц восхищался итальянскими заведениями. В первых кафе Шульца кофе подавали официанты в бабочках, в которых им было не по себе; пока клиенты пили кофе, в зале звучала оперная музыка. В США клиенты не очень хорошо восприняли этот антураж, и команда Шульца начала все с нуля и совершила еще много ошибок, прежде чем в итоге был создан бренд Starbucks.
Журналист New York Times Питер Симс написал много работ о роли ошибок в формировании творческого предпринимательского мышления (Sims, 2011). Он отмечает: «Несовершенство — часть любого творческого процесса и жизни, хотя почему-то мы живем в культуре, для которой характерен парализующий страх перед неудачей, мешающий действовать и усиливающий перфекционизм. Именно такой образ мыслей лишает веры в себя, если человек стремится стать более изобретательным и предприимчивым».
Кроме того, Питер Симс перечисляет основные привычки успешных людей, утверждая, что все они делают следующее.
• Чувствуют себя комфортно, когда ошибаются.
• Пытаются реализовать на первый взгляд безумные идеи.
• Открыты разным типам опыта.
• Играют с идеями, не давая оценок.
• Готовы выступить против традиционных представлений.
• Не сдаются перед лицом трудностей.
В изучении математики эти привычки не менее важны, чем в жизни. Но, как это ни удивительно, они не применяются на уроках математики и во время выполнения домашних заданий по этому предмету. Необходимо, чтобы ученики чувствовали себя свободно, смело пробовали разные идеи и не боялись ошибок, придерживались открытого подхода к изучению математики и были готовы играть с задачами, пытаясь реализовать «на первый взгляд безумные идеи» (см.