идение учителей, чтобы они придавали правильному выполнению заданий меньшее значение, и большее — важности ошибок.
Сэнди Гиллиам — замечательная учительница, за которой я наблюдала много лет. Ее ученики добиваются серьезных успехов и любят математику. Однажды я присутствовала на первом занятии, которое она проводила для учеников старших классов. Когда те работали над заданием, Сэнди заметила, что один ученик сделал ошибку и понял это. Она подошла к мальчику и попросила его показать свою ошибку на доске. Он неуверенно посмотрел на учительницу и сказал: «Но я же получил неправильный ответ». Сэнди ответила, что именно поэтому она хочет, чтобы ученик поделился своим результатом, и это очень полезно. Ведь такую же ошибку могут сделать и другие, поэтому стоит обсудить ее всем классом. Мальчик согласился и записал свой ход мыслей на доске. Со временем рассказы о своих ошибках стали для учеников обычной практикой. Я часто показываю видео с учениками Сэнди, которое помогает учителям и директорам школ понять, чего могут добиться дети при эффективном преподавании математики.
На одном из моих любимых видео показано, как ученики Сэнди пытаются вместе решить на доске сложную задачу. Ученики напряженно работают над решением и слушают друг друга, когда кто-то из них предлагает идею. Они часто ошибаются и выбирают неверный путь, но в итоге общими усилиями добиваются результата. Это яркий пример того, как ученики используют стандартные математические методы и практические задания (в соответствии с рекомендациями CCSS[8]). Они объединяют свои идеи с известными им методами, чтобы решить нестандартную прикладную задачу из тех, с которыми им предстоит столкнуться в реальном мире. Опытные учителя, которые смотрят это видео, часто отмечают, что ученики чувствуют себя комфортно, предлагая различные идеи, и не боятся ошибиться. И вот почему дети способны эффективно выполнять задания, когда им не мешает страх перед ошибками: Сэнди научила их принимать ошибки и подчеркивает их важность в обучении.
Недавно я работала в Стэнфорде над одним исследованием вместе с Кэрол Дуэк, Грегом Уолтоном, Кариссой Ромеро и Дэйвом Паунеску. Именно они предложили множество приемов, которые улучшают мышление учеников и усиливают их чувство принадлежности к школе[9]. В ходе исследования мы провели сеанс воздействия на мышление учителей, объяснив им значение ошибок и ряд идей по поводу преподавания, о которых идет речь в данной главе. Мы быстро выяснили, что у учителей, которые были подвергнуты воздействию, гораздо более развито мышление роста и более положительное отношение к ошибкам в математике. Вдобавок они сообщили о том, что используют во время уроков разные идеи по поводу поощрения ошибок. Есть и другие важные изменения, которые учителя могут внести в свои уроки; они рассмотрены в следующих главах. Пока хочу отметить, что одно из самых важных изменений, которое могут без труда внедрить учителя или родители (и оно принесет ученикам огромную пользу), — корректировка обратной связи об ошибках. В следующей главе я расскажу, как важно изменить сам подход к математике. Необходимо показать ученикам, что истинная математика — не нечто неизменное и основанное на процедурах; это открытый и творческий предмет, суть которого сводится к установлению связей, обучению и развитию.
Глава 3. Творчество и красота в математике
Что же такое математика на самом деле? И почему многие ученики либо ненавидят, либо боятся ее — а то и всё вместе? Математика отличается от других предметов не тем, что в ней, как утверждают многие, могут быть только правильные или неправильные ответы, а тем, что методы ее преподавания отличаются от методов преподавания других предметов и у многих есть предубеждение к ней. Если вы спросите учеников, что они думают о своей задаче на уроках математики, большинство скажут: правильно отвечать на вопросы. Немногие считают, что на уроках математики они могут оценить ее красоту, задать глубокие вопросы, изучать богатый набор связей, которые описывает эта дисциплина, или даже научиться применять ее на практике. Как правило, ученики считают, что на уроках математики они должны только добиваться требуемого результата. Так, шестилетний сын одной из моих коллег (ее зовут Рейчел Ламберт) как-то, придя из школы, заявил, что не любит математику. Когда Рейчел спросила, в чем причина, он ответил: «На уроках мы только отвечаем на вопросы и мало учимся». Вот что чувствуют сами дети с раннего возраста.
Эта проблема во многом обусловлена сформировавшейся в США системой тестирования, которая особенно распространена в математике. Когда в первый же день учебного года ученики шестого класса средней школы местного округа пришли домой и заявили, что у них был тест, речь шла только об одном предмете: математике. Большинство учеников и родителей принимают это. Одна девочка сказала мне так: «Ну, учительница просто выясняла, что мы знаем». Но почему такое происходит только в математике? Почему учителя не считают нужным в первый же школьный день определять уровень знаний учеников по другим предметам? И почему некоторые педагоги не осознают, что постоянное тестирование учеников не только позволяет проверять уровень знаний (что само по себе сопряжено со множеством проблем), но и заставляет учеников думать, будто именно в этом и состоит суть математики: поиске коротких ответов на узкие вопросы в условиях стресса? Неудивительно, что многие ученики решают, будто математика «не для них».
Есть и другие признаки того, что математика отличается от всех прочих дисциплин. Когда мы спрашиваем учеников, что такое математика, они обычно дают описание, которое отличается от описания специалистов. Как правило, ученики говорят, что суть предмета сводится к вычислениям, процедурам или правилам. А вот когда мы спрашиваем математиков, в чем суть их предмета, они говорят, что это изучение закономерностей, эстетичная, творческая и красивая дисциплина (Devlin, 1997). Откуда такая разница? Когда мы спрашиваем людей, изучающих английскую литературу, что представляет собой эта дисциплина, они дают почти то же описание, что и преподаватели.
Мариам Мирзахани — математик из Стэнфордского университета, получившая недавно Филдсовскую премию, высшую награду в области математики. Эта удивительная женщина изучает гиперболические пространства и не так давно разработала теорию, получившую статус теории десятилетия. В статьях о работе Мариам всегда приводятся фотографии, где она делает наброски идей на большом листе бумаги на кухонном столе: ведь почти вся работа Мариам носит визуальный характер. Не так давно я была председателем комиссии по защите докторской диссертации одной из студенток Мариам. Это финальный экзамен для докторантов: они защищают работы, над которыми трудились несколько лет, перед профессорами, входящими в состав специальной комиссии. Мне было интересно, как пройдет защита диссертации, на которой мне предстояло выполнять функции председателя комиссии. Мероприятие проходило в небольшой аудитории, окна которой выходили на бульвар Палм-драйв, ведущий к университету. Там собрались математики, студенты и профессора, которые пришли понаблюдать за защитой диссертации или дать ей оценку. Студенткой Мариам была молодая женщина по имени Женя Сепир. В тот день она ходила по аудитории, увешанной ее рисунками, иллюстрировавшими предположения о взаимосвязях между прямыми и кривыми, и рассказывала о них. Она описывала область, в которой важную роль играют визуальное отображение, творческий подход и связи и которой свойственна неопределенность (рис. 3.1).
Рис. 3.1. Некоторые идеи из докторской диссертации Жени Сепир по математике
Публикуется с разрешения Жени Сепир.
Во время защиты диссертации профессора три или четыре раза задавали вопросы, на которые уверенная в себе молодая женщина отвечала: «Я не знаю». Часто профессор прибавлял, что он тоже не знает. Было необычно слышать «не знаю» на защите докторской диссертации. Некоторые профессора отнеслись бы к этому с неодобрением. Но истинная математика — дисциплина, которой свойственна неопределенность. Ее суть сводится к исследованиям, гипотезам и интерпретациям, а не однозначным ответам. Присутствовавшие на защите профессора сочли вполне обоснованным то, что Женя не знала ответов на некоторые вопросы, поскольку ее работа вступала в область неизведанного. Женя Сепир блестяще защитила диссертацию.
Все это не значит, что математика не дает ответов на вопросы. Многие математические факты известны, и ученикам важно изучить их. Однако по каким-то причинам школьная математика оказалась настолько далека от математики истинной, что если бы в тот день я привела школьников на защиту диссертации, то они не поняли бы, о чем речь. Именно большой разрыв между истинной математикой и школьным предметом стал основой проблем с этой дисциплиной в сфере образования. Я глубоко убеждена, что если бы во время школьных уроков математики учителя раскрывали истинную суть этого предмета, то не было бы ни всеобщей неприязни к нему, ни низкой успеваемости.
Математика — культурный феномен. Это совокупность идей, связей и соотношений, позволяющая человеку осмыслить мир. По сути, это наука о закономерностях. Если взглянуть на мир сквозь призму математики, можно найти закономерности повсюду. И их понимание, полученное в рамках изучения математики, обеспечивает создание новых, эффективных знаний. Выдающийся математик Кит Девлин посвятил книгу этой теме. В своей работе «Математика: наука о закономерностях» он пишет следующее.
Поскольку математика — наука об абстрактных закономерностях, практически не существует аспектов нашей жизни, на которые она не влияет. Ведь абстрактные закономерности определяют суть мышления, коммуникации, вычислений, общества и самой жизни (Devlin, 1997).
Знание математических закономерностей помогает людям покорять океаны, прокладывать маршруты космических полетов, разрабатывать технологии для мобильных телефонов и социальных сетей, а также создавать новые научные и медицинские знания. Однако многие ученики считают, что математика — мертвая наука, не имеющая отношения к их будущему.