Недесятичные системы счисления
Загадочная автобиография
Эту главу позволю себе начать с задачи, которую я придумал когда-то для читателей одного распространенного тогда журнала[59] в качестве «задачи на премию». Вот она:
«В бумагах одного чудака-математика найдена была его автобиография. Она началась следующими строками:
«Я окончил курс университета 44 лет от роду. Спустя год, 100-летним молодым человеком, я женился на 34-летней девушке. Незначительная разница в возрасте - всего 11 лет, - способствовала тому, что мы жили общими интересами и мечтами. Спустя немного лет, у меня была уже и маленькая семья из 10 детей. Жалованья я получал в месяц всего 200 рублей, из которых 1/10 приходилось отдавать сестре, так что мы с детьми жили на 130 руб. в месяц» и т. д.
Чем объяснить странные противоречия в числах этого отрывка?»
Решение задачи подсказывается названием этой главы: недесятичная система счисления - вот единственная причина кажущейся противоречивости приведенных чисел. Напав на эту мысль, нетрудно догадаться, в какой именно системе счисления изображены числа чудаком-математиком. Секрет выдается фразой: «спустя год (после 44-летнего возраста), 100-летним молодым человеком…» Если от прибавления одной единицы число 44 преображается в 100, то, значит, цифра 4 - наибольшая в этой системе (как 9 - в десятичной), а следовательно, основанием системы является 5. Чудаку-математику пришла фантазия написать все числа своей биографии по пятиричной системе счисления, т. е. по такой, в которой единица высшего разряда не в 10, а в 5 раз больше единицы низшего; на первом справа месте стоят в ней простые единицы (не свыше четырех), на втором - не десятки, а пятерки; на третьем не сотни, а «двадцатипятерки» и т. д. Поэтому число, изображенное в тексте записки «44», означает не 4 x 10 + 4, как в десятичной системе, а 4 x 5 + 4, т. е. двадцать четыре. Точно так же число «100» в автобиографии означает одну единицу третьего разряда в пятиричной системе, т. е. 25. Остальные числа записки соответственно означают:
Восстановив истинный смысл чисел записки, мы видим, что в ней никаких противоречий нет.
Я окончил курс 24 лет от роду. Спустя год, 25-летним молодым человеком, я женился на 19-летней девушке. Незначительная разница в возрасте - всего 6 лет - способствовала тому, что мы жили общими интересами и мечтами. Спустя немного лет у меня была уже и маленькая семья из 5 детей. Жалованья я получал 50 рублей, из которых 1/5 приходилось отдавать сестре, так что мы с детьми жили на 40 рублей».
Трудно ли изображать числа в других системах счисления? Нисколько. Положим, вы желаете число 119 изобразить в пятиричной системе. Делите 119 на 5, чтобы узнать, сколько в нем единиц первого разряда:
119: 5 = 23, остаток 4.
Значит, число простых единиц будет 4. Далее, 23 пятерки не могут стоять все во втором разряде, так как высшая цифра в пятиричной системе - 4, и больше 4 единиц ни в одном разряде быть не должно. Делим поэтому 23 на 5:
23: 5 = 4, остаток 3.
Это показывает, что во втором разряде («пятерок») будет цифра 3, а в третьем («двадцатипятерок») - 4.
Итак, 119 = 4 x 25 + 3 x 5 + 4, или в пятиричной системе «434».
Сделанные действия для удобства располагают так:
Курсивные цифры (при письме можно их подчеркивать) выписывают справа налево, и сразу получают искомое изображение числа в иной системе.
Приведем еще примеры.
Изобразить 47 в третичной системе:
Ответ: «1202». Поверка: 1 x 27 + 2 x 9 + 0 x 9 + 2 = 47.
Число 200 изобразить в семиричной системе.
Ответ: «404». Поверка: 4 x 49 + 0 x 7 + 4 = 200.
Число 163 изобразить в 12-ричной системе.
Ответ: «117». Поверка: 1 x 144 + 1 x 12 + 7 = 163.
Думаем, что теперь читатель не затруднится изобразить любое число в какой угодно системе счисления. Единственная помеха может возникнуть лишь вследствие того, что в некоторых случаях не будет доставать изображений для цифр. В самом деле: при изображении числа в системах с основанием более десяти (например в двенадцатиричной) может явиться надобность в цифрах «десять» и «одиннадцать». Из этого затруднения нетрудно выйти, избрав для этих новых цифр какие-нибудь условные знаки или буквы, - хоты бы, например, буквы К и Л, стоящие в русском алфавите на 10-м и 11-м месте. Так, число 1579 в двенадцатиричной системе изобразится следующим образом:
Поверка: 10 x 144 + 11 x 12 + 7 = 1579.
Выразить число 1926 в двенадцатиричной системе[60].
Выразить число 273 в двадцатиричной системе[61].
Простейшая система счисления
Вообще нетрудно сообразить, что в каждой системе высшая цифра, какая может понадобиться, равна основанию этой системы без единицы. Например, в 10-ичной системе высшая цифра 9, в 6-ричной - 5, в троичной - 2, в 15-ричной - 14, и т. д.
Самая простая система счисления, конечно, та, для которой требуется меньше всего цифр. В десятичной системе нужны 10 цифр (считая и 0), в пятиричной - 5 цифр, в троичной - 3 цифры (1, 2 и 0), в двоичной - только 2 цифры (1 и 0). Существует ли и «единичная» система? Конечно: это система, в которой единицы высшего разряда в один раз больше единицы низшего, т е. равны ей; другими словами, «единичной» можно назвать такую систему, в которой единицы всех разрядов имеют одинаковое значение. Это самая примитивная «система»; ею пользуется первобытный человек, делая на дереве зарубки по числу сосчитываемых предметов. Но между нею и всеми другими системами счета есть громадная разница: она лишена главного преимущества нашей нумерации - так называемого поместного значения цифр. Действительно: в «единичной» системе знак, стоящий на 3-м или 5-м месте, имеет то же значение, что и стоящий на первом месте. Между тем даже в двоичной системе единица на 3-м месте (справа) уже в 4 раза (2 x 2) больше, чем на первом, а на 5-м - в 16 раз больше (2 x 2 x 2 x 2). Поэтому система «единичная» дает очень мало выгоды, так как для изображения какого-нибудь числа по этой системе нужно ровно столько же знаков, сколько было сосчитано предметов: чтобы записать сто предметов нужно сто знаков, в двоичной же - только семь («1100100»), а в пятиричной - всего три («400»).
Вот почему «единичную» систему едва ли можно назвать «системой»; по крайней мере, ее нельзя поставить рядом с остальными, так как она принципиально от них отличается, не давая никакой экономии в изображении чисел. Если же ее откинуть, то простейшей системой счисления нужно признать систему двоичную, в которой употребляются всего две цифры: 1 и 0. При помощи 1-цы и 0 можно изобразить все бесконечное множество чисел! На практике система эта мало удобна - получаются слишком длинные числа[62]; но теоретически она имеет все права считаться простейшей. Она обладает некоторыми любопытными особенностями, присущими только ей одной; особенностями этими, между прочим, можно воспользоваться для выполнения ряда эффектных математических фокусов, о которых мы скоро побеседуем подробно в главе «Фокусы без обмана».
Необычайная арифметика
К арифметическим действиям мы привыкли настолько, что выполняем их автоматически, почти не думая о том, что мы делаем. Но те же действия потребуют от нас немалого напряжения, если мы пожелаем применить их к числам, написанным не по десятичной системе. Попробуйте, например, выполнить сложение следующих двух чисел, написанных по пятиричной системе:
Складываем по разрядам, начиная с единиц, т. е. справа: 3 + 2 равно пяти; но мы не можем записать 5, потому что такой цифры в пятиричной системе не существует: пять есть уже единица высшего разряда. Значит, в сумме вовсе нет единиц; пишем 0, а пять, т. е. 1-цу следующего разряда, удерживаем в уме. Далее, 0 + 3 = 3, да еще 1-ца, удержанная в уме, - всего 4 единицы второго разряда. В третьем разряде получаем 2 + 1 = 3. В четвертом 4 + 2 равно шести, т. е. 5 + 1; пишем 1, а 5, т. е. 1-цу высшего разряда, относим далее влево. Искомая сумма - 11340.
Предоставляем читателю проверить это сложение, предварительно переведя изображенные в кавычках числа в 10-ичную систему и выполнив то же действие.
Точно так же выполняются и другие действия. Для упражнения приводим далее ряд примеров, число которых читатель, при желании, может увеличить самостоятельно:
Ответы:
При выполнении этих действий мы сначала мысленно изображаем написанные числа в привычной нам десятичной системе, а получив результат, снова изображаем его в требуемой недесятичной системе. Но можно поступать и иначе: составить «таблицу сложения» и «таблицу умножения» в тех же системах, в которых даны нам числа, и пользоваться ими непосредственно. Например, таблица сложения в пятиричной системе такова:
С помощью этой таблички мы могли бы сложить числа «4203» и «2132», написанные в пятиричной системе, гораздо менее напрягая внимание, чем при способе, примененном раньше.
Упрощается, как легко понять, также выполнение вычитания.
Составим и таблицу умножения («Пифагорову») для пятиричной системы.
Имея эту табличку перед глазами, вы опять-таки можете облегчить себе труд умножения (и деления) чисел в пятиричной системе, - как легко убедиться, применив ее к приведенным выше примерам. Например, при умножении
рассуждаем так: трижды три «14» (из таблицы); 4 пишем, 1 - в уме. Один на 3 дает 3, да еще один, - пишем 4. Дважды три = «11»; 1 - пишем, 1 - переносим влево. Получаем в результате «1144».
Чем меньше основание системы, тем меньше и соответствующие таблицы сложения и умножения. Например, для троичной системы обе таблицы таковы:
Таблица сложения для 3-ной системы.
Пифагорова таблица для 3-ной системы:
Их можно было бы сразу же запомнить и пользоваться ими для выполнения действий. Самые маленькие таблицы сложения и вычитания получаются для двоичной системы:
Таблица сложения для двоичной системы:
Таблица умножения для двоичной системы:
При помощи таких-то простых «таблиц» можно выполнять в двоичной системе все четыре действия! Ум - ножения в этой системе, в сущности, как бы и вовсе нет: ведь умножить на единицу значит оставить число без изменения: умножение же на «10», 100», «1000» (т. е. на 2, на 4, на 8) сводится к простому приписыванию справа соответствующего числа нулей. Что же касается сложения, то для выполнения его нужно помнить только одно - что в двоичной системе 1 + 1 = 10. Не правда ли, мы с полным основанием назвали раньше двоичную систему самой простой из всех возможных? Длинота чисел этой своеобразной арифметики искупается простотой выполнения над ними всех арифметических действий. Пусть требуется, например, умножить:
Выполнение действия сводится только к переписыванию данных чисел в надлежащем расположении: это требует несравненно меньших умственных усилий, чем умножение тех же чисел в десятичной системе (605 x 37 = 22385). Если бы у нас была принята двоичная система, изучение письменного счисления требовало бы наименьшего напряжения мысли (зато - наибольшего количества бумаги и чернил). Однако в устном счете двоичная арифметика по удобству выполнения действий значительно уступает нашей десятичной.
Чет или нечет?
Не видя числа, трудно, конечно, угадать, какое оно - четное или нечетное. Но не думайте, что вы всегда сможете сказать это, едва увидите задаваемое число. Скажите, например, четное или нечетное число 16?
Если вам известно, что оно написано по десятичной системе, то, без сомнения, можно утверждать, что число это - четное. Но когда оно написано по какой-либо другой системе - можно ли быть уверенным, что оно изображает непременно четное число?
Оказывается, нет. Если основание, например, семь, то «16» означает 7 + 6 = 13, число нечетное. То же будет и для всякого нечетного основания (потому что всякое нечетное число + 6 = нечетному числу).
Отсюда вывод, что знакомый нам признак делимости на два (последняя цифра четная) безусловно пригоден только для 10-тичной системы счисления, для других же - не всегда. А именно, он верен только для систем счисления с четным основанием: 6-ричной, 8-ричной и т. п. Каков же признак делимости на 2 для систем с нечетным основанием? Достаточно краткого размышления, чтобы установить его: сумма цифр должна быть четной. Например, число «136» четное во всякой системе счисления, даже и с нечетным основанием: действительно, в последнем случае имеем: нечетные числа[63] + нечетное число + четное = четному числу.
С такою же осторожностью надо отнестись к задаче: всегда ли число 25 делится на 5? В 7-ричной или в 8-ричной системе число, так изображенное, на 5 не делится (потому что оно равно девятнадцати или двадцати одному). Точно так же общеизвестный признак делимости на 9 (сумма цифр…) правилен только для десятичной системы. Напротив, в пятиричной системе тот же признак применим для делимости на 4, а, например, в семиричной - на 6. Так, число «323» в пятиричной системе делится на 4, потому что 3 + 2 + 3 = 8, а число «51» в семиричной - на 6 (легко убедиться, переведя числа в десятичную систему: получим соответственно 88 и 36). Почему это так, читатель сам сможет сообразить, если вникнет хорошенько в вывод признака делимости на 9 и приложит те же рассуждения, соответственно измененные, например, к семиричной системе для вывода признака делимости на 6.
Труднее доказать чисто арифметическим путем справедливость следующих положений:
Знакомые с начатками алгебры легко найдут основание, объясняющее свойство этих равенств. Остальные читатели могут проверить их рядом проб для разных систем счисления.
Дроби без знаменателя
Мы привыкли к тому, что без знаменателя пишутся только десятичные дроби. Поэтому с первого взгляда кажется, что написать прямо без знаменателя дробь 2/7 или 1/3 нельзя. Дело представится нам, однако, иначе, если вспомним, что дроби без знаменателя возможны и в других системах счисления. Что, например, означает дробь «0,4» в пятиричной системе? Конечно, 4/5. Дробь «1,2» в семиричной системе означает 1 2/7. А что означает в той же семиричной системе дробь «0,33»? Здесь результат сложнее: 3/7 + 3/49 = 24/49.
Рассмотрим еще несколько недесятичных дробей без знаменателя. Чему равны
a) «2,121» в троичной системе?
b) «1,011» в двоичной системе?
c) «3,431» в пятиричной системе?
d) «2,(5)» в семиричной системе?
a) 2 + 1/3 + 2/9 + 1/27 = 2 16/27
b) 1 + 1/4 + 1/8 = 1 3/8
c) 3 + 4/5 + 3/25 + 1/125 = 3 116/125
d) 2 + 5/7 + 5/49 + 5/343 = 2 285/343 = 2 5/6.
В правильности последнего равенства читатель легко может убедиться, если попробует применить к данному случаю, с соответствующим видоизменением, рассуждения, относящиеся к превращению десятичных периодических дробей в простые.
В заключение рассмотрим еще две задачи особого рода:
По какой системе счисления выполнено следующее сложение:
По какой системе счисления выполнено деление:
Ответы:
Напишите число сто тринадцать во всех системах счисления до девятиричной включительно.
(Решение см. на стр. 231.)
Чему равно число «123», если считать его написанным во всех системах счисления до девятиричной включительно? Возможно ли, что оно написано по двоичной системе? А по троичной? Если оно написано по пятиричной системе, то можете ли вы узнать, не переписывая его по десятичной системе, делится ли оно без остатка на два? Если оно написано по семиричной системе, то делится ли оно без остатка на шесть? Если оно написано по девятиричной системе, то делится ли оно без остатка на четыре?
(Решение см. на стр. 256.)