Числовые лилипуты
От великанов к карликам
Гулливер в своих странствованиях, покинув карликов-лилипутов, очутился среди великанов. Мы путешествуем в обратном порядке: познакомившись с числовыми исполинами, переходим к миру лилипутов, - к числам, которые во столько же раз меньше 1-цы, во сколько раз единица меньше числового великана.
Разыскать представителей этого мира не составляет никакого труда: для этого достаточно написать ряд чисел, обратных миллиону, миллиарду, биллиону и т. д., т. е. делить 1-цу на эти числа. Получающиеся дроби
есть типичные числовые лилипуты, такие же пигмеи по сравнению с единицей, каким является единица по сравнению с миллионом, миллиардом, биллионом и прочими числовыми исполинами.
Вы видите, что каждому числу-исполину соответствует число-лилипут, и что, следовательно, числовых лилипутов существует не меньше, чем исполинов. Для них также придуман сокращенный способ обозначения. Мы уже упоминали, что весьма большие числа в научных сочинениях (по астрономии, физике) обозначаются так:
Соответственно этому, числовые лилипуты обозначаются следующим образом:
Есть ли, однако, реальная надобность в подобных дробях? Приходится ли когда-нибудь действительно иметь дело со столь мелкими долями единицы?
Об этом интересно побеседовать подробнее.
Лилипуты времени
Секунда, по обычному представлению, есть настолько малый промежуток времени, что с весьма мелкими частями ее не приходится иметь дела ни при каких обстоятельствах. Легко написать - 1/1000 секунды, - но это чисто бумажная величина, потому что ничего не может произойти в такой ничтожный промежуток времени.
Так думают многие, - но ошибаются, потому что в тысячную долю секунды могут успеть совершиться весьма различные явления. Поезд, проходящий 36 километров в час, делает в секунду 10 метров, и, следовательно, в течение 1000-й доли секунды успевает продвинуться на один сантиметр. Звук в воздухе переносится в течение 1000-й доли секунды на 33 сантиметра, а пуля, покидающая ружейный ствол со скоростью 700-800 метров в секунду, переносится за тот же промежуток времени на 70 сантиметров. Земной шар перемещается каждую 1000-ю долю секунды, в своем обращении вокруг солнца, на 30 метров. Струна, издающая высокий тон, делает в 1000-ю долю секунды 2-4 и более полных колебаний; даже комар успевает в это время взмахнуть вверх или вниз своими крылышками. Молния длится гораздо меньше 1000-й доли секунды: в течение этого промежутка времени успевает возникнуть и прекратиться столь грозное явление природы (молния простирается в длину на целые километры).
Но - возразите вы, - 1000-я доля секунды еще не подлинный лилипут, как никто не назовет тысячу числовым гигантом. Если взять миллионную долю секунды, то уж наверное можно утверждать, что это - величина нереальная, промежуток времени, в течение которого ничего произойти не может. Ошибаетесь: даже и одна миллионная доля секунды - для современного физика, например, - вовсе не чрезмерно маленький промежуток. В области явлений световых (и электрических) ученому сплошь и рядом приходится иметь дело с гораздо более мелкими частями секунды. Напомним прежде всего, что световой луч пробегает ежесекундно (в пустоте) 300.000 километров; следовательно, в 1.000.000-ю долю секунды свет успевает перенестись на расстояние 300 метров - примерно на столько же, на сколько переносится в воздухе звук в течение целой секунды.
Далее: свет есть явление волнообразное, и число световых волн, проносящихся ежесекундно через точку пространства, исчисляется сотнями биллионов. Те световые волны, которые, действуя на наш глаз, вызывают ощущение красного света, имеют частоту колебаний 400 биллионов в секунду; это значит, что в течение одной 1.000.000-й доли секунды в наш глаз вступает 400.000.000 волн, а одна волна вступает в глаз в течение 400 000 000 000 000-й доли секунды. Вот подлинный числовой лилипут!
Но этот несомненный, реально существующий лилипут является истинным великаном по сравнению с еще более мелкими долями секунды, с которыми физик встречается при изучении Рентгеновых лучей. Эти удивительные лучи, обладающие свойством проникать через многие непрозрачные тела, представляют собою, как и видимые лучи, то же волнообразное явление, но частота колебаний у них значительно больше, чем у видимых: она достигает 25000 биллионов в секунду! Волны следуют тут одна за другой в 60 раз чаще, чем в лучах видимого красного света. Лучи «гамма» и недавно открытые «космические» лучи Гесса обладают частотою еще большею, чем лучи Рентгена. Значит, и в мире лилипутов существуют свои великаны и карлики. Гулливер был выше лилипутов всего в дюжину раз и казался им великаном. Здесь же один лилипут больше другого лилипута в пять дюжин раз и, следовательно, имеет все права именоваться по отношению к нему исполином.
Лилипуты пространства
Интересно рассмотреть теперь, какие наименьшие расстояния приходится отмеривать и оценивать современным исследователям природы.
В метрической системе мер наименьшая единица длины для обиходного употребления - миллиметр; она примерно вдвое меньше толщины спички. Чтобы измерять предметы, видимые простым глазом, такая единица длины достаточно мелка. Но для измерения бактерий и других мелких объектов, различимых только в сильные микроскопы, миллиметр чересчур крупен. Ученые обращаются для таких измерений к более мелкой единице - микрону, который в 1000 раз меньше миллиметра. Так называемые красные кровяные тельца, которые насчитываются десятками миллионов в каждой капельке нашей крови, имеют в длину 7 микронов и в толщину 2 микрона. Стопка из 1000 таких телец имеет толщину спички.
Как ни мелок кажется нам микрон, он все же оказывается чрезмерно крупен для расстояний, которые приходится измерять современному физику. Мельчайшие, недоступные даже микроскопу частицы, молекулы, из которых состоит вещество всех тел природы, и слагающие их еще более мелкие атомы имеют размеры от одной 10000-й до одной 1000-й доли микрона. Если остановиться на последней, наибольшей величине, то и тогда окажется, что миллион таких крупинок (а мы уже знаем, как велик миллион), будучи расположен на одной прямой, вплотную друг к другу, занял бы всего лишь один миллиметр!
Чтобы представить себе наглядно чрезвычайную малость атомов, обратимся к такой картине. Вообразите, что все предметы на земном шаре увеличились в миллион раз. Эйфелева башня (300 м высоты) уходила бы тогда своей верхушкой на 300000 км в мировое пространство и находилась бы в недалеком соседстве от орбиты Луны. Люди были бы высотой с большую гору - в 1 1/2 км; один шаг такого человека-гиганта унес бы его на 600-700 км. Мельчайшие красные тельца, миллиардами плавающие в его крови, имели бы каждый более 7 м в поперечнике. Волос имел бы 100 м в толщину. Мышь достигала бы 100 км в длину, муха - 8 км. Каких же размеров будет при таком чудовищном увеличении атом вещества?
Положительно не верится: его размеры предстанут перед вами в виде… типографской точки шрифта этой книги!
Достигаем ли мы здесь крайних пределов пространственной малости, за которые не приходится переступать даже физику с его изощренными приемами измерений? Еще не особенно давно думали так; но теперь известно, что атом - целый мир, состоящий из гораздо более мелких частей и являющийся ареною действия могущественных сил. Атом, например, водорода состоит из центрального «ядра» и быстро обращающегося вокруг него «электрона». Не входя в другие подробности, расскажем только о размерах этих составных частей атома. Поперечник электрона измеряется биллионными долями миллиметра, а ядра - тысячебиллионными долями. Другими словами, поперечник электрона почти в миллион раз, а ядро - в миллиард раз меньше поперечника атома. Если вы пожелаете сравнить размеры электрона с размерами пылинки, то расчет покажет вам, что электрон меньше пылинки примерно во столько же раз, во сколько раз пылинка меньше - чего бы вы думали? Земного шара!
Вы видите, что атом, - лилипут среди лилипутов, - является в то же время настоящим исполином по сравнению с электроном, входящим в его состав - таким же исполином, каким вся солнечная система является по отношению к земному шару.
Можно составить следующую поучительную лестницу, в которой каждая ступень является исполином по отношению к предыдущей ступени и лилипутом по отношению к последующей:
электрон
атом
пылинка
дом
земной шар
солнечная система
расстояние до Полярной звезды.
Каждый член этого ряда примерно в четверть миллиона раз[93] больше предыдущего и во столько же раз меньше последующего. Ничто не доказывает так красноречиво всю относительность понятий «большой» и «малый», как эта табличка. В природе нет безусловно большого или безусловно малого предмета. Каждая вещь может быть названа и подавляюще огромной и исчезающе малой в зависимости от того, как на нее взглянуть, с чем ее сравнить. «Время и пространство, - закончим мы словами одного английского физика[94], - понятия чисто относительные. Если бы сегодня в полночь все предметы - в том числе и мы сами и наши измерительные приборы, - уменьшились в 1000 раз, мы совершенно не заметили бы этого изменения. Не было бы никакого указания на то, что произошло такое уменьшение. Точно так же, если бы все события и все часы получили ускорение хода в одинаковом отношении, то мы равным образом ничего не подозревали бы об этой перемене».
Сверх-исполин и сверх-лилипут
Наши беседы о великанах и карликах из мира чисел были бы не полны, если бы мы не рассказали читателю об одной изумительной диковинке этого рода, - диковинке, правда, не новой, но стуящей дюжины новинок. Чтобы подойти к ней, начнем со следующей, на вид весьма незамысловатой задачи:
Какое самое большое число можно написать тремя цифрами, не употребляя никаких знаков действий?
Хочется ответить: 999, - но, вероятно, вы уже подозреваете, что ответ другой, иначе задача была бы чересчур проста. И действительно, правильный ответ пишется так:
Выражение это означает: «девять в степени девять в девятой степени». Другими словами: нужно составить произведение из стольких девяток, сколько единиц в результате умножения:
9х9х9х9х9х9х9х9х9.
Достаточно только начать вычисление, чтобы ощутить огромность предстоящего результата. Если у вас хватит терпения выполнить перемножение девяти девяток, вы получите число:
387420489.
Главная работа только начинается: теперь нужно найти
т. е. произведение 387420489 девяток. Придется сделать круглым счетом 400 миллионов умножений…
У вас, конечно, не будет времени довести до конца подобное вычисление. Но я лишен возможности сообщить вам готовый результат - по трем причинам, которые нельзя не признать уважительными. Во-первых, число это никогда и никем еще не было вычислено (известен только приближенный результат). Во-вторых, если бы даже оно и было вычислено, то, чтобы напечатать его, понадобилось бы не менее тысячи таких книг, как эта, потому что число наше состоит из 369 693 100 цифр; набранное обыкновенным шрифтом, оно имело бы в длину 1000 км… Наконец, если бы меня снабдили достаточным количеством бумаги и чернил, я и тогда не мог бы удовлетворить вашего любопытства. Вы легко можете сообразить почему: если я способен писать, скажем, без перерыва по две цифры в секунду, то в час я напишу 7200 цифр, а в сутки, работая непрерывно день и ночь, - не более 172800 цифр. Отсюда следует, что не отрываясь ни на секунду от пера, трудясь круглые сутки изо дня в день без отдыха, я просидел бы за работой не менее 7 лет, прежде чем написал бы это число…
Могу сообщить вам об этом числе только следующее: оно начинается цифрами 428124773175747048036987118 и кончается 89. Что находится между этим началом и концом - неизвестно. А ведь там 369693071 цифра!…
Вы видите, что уже число цифр нашего результата невообразимо огромно. Как же велико само число, выражаемое этим длиннейшим рядом цифр? Трудно дать хотя бы приблизительное представление о его громадности, потому что такого множества отдельных вещей, считая даже каждый электрон за отдельную вещь - нет в целой вселенной!
Архимед вычислил некогда, сколько песчинок заключал бы в себе мир, если бы весь он, до неподвижных звезд, был наполнен тончайшим песком. У него получился результат, не превышающий 1-цы с 63 нулями. Наше число состоит не из 64-х, а из 370 миллионов цифр - следовательно, оно неизмеримо превышает огромное число Архимеда.
Поступим же по примеру Архимеда, но вместо «исчисления песчинок» произведем «исчисление электронов». Вы уже знаете, что электрон меньше песчинки примерно во столько же раз, во сколько раз песчинка меньше земного шара. Для радиуса видимой вселенной примем расстояние в миллиард световых лет. Так как свет пробегает в секунду 300000 км, а в году 31 миллион секунд, то можно сосчитать, что «световой год» равен круглым счетом 10 биллионам км (гнаться за большой точностью здесь бесполезно). Значит, для радиуса всей известной нам вселенной получаем величину
10 миллиардов биллионов км
или - прибегая к способу изображения числовых великанов, объясненному на стр. 279, -
1022 км.
Объем шара такого радиуса можно вычислить по правилам геометрии: он равен (с округлением) 4 х 1066 куб. км. Умножив это число на число куб. сантиметров в куб. километре (1015), получим для объема видимой вселенной величину
1081 куб. см[95].
Теперь представим себе, что весь этот объем сплошь заполнен самыми тяжелыми из известных нам атомов - атомами элемента урана, которых идет на грамм около 1022 штук. Их поместилось бы в шаре указанного объема 10103 штук. Известно, что в каждом атоме урана содержится 92 электрона. Округлив это число до 100, узнаем, что во всей доступной нашему исследованию вселенной могло бы поместиться не более
10105 электронов.
Число, состоящее «всего лишь» из 106 цифр… Как это мизерно по сравнению с нашим числовым великаном из 369 миллионов цифр!
Вы видите, что, наполняя всю вселенную - величайшее, что мы знаем - сплошь электронами, т. е. мельчайшим из того, что нам известно, - мы не исчерпали бы и небольшой доли того исполинского числа, которое скромно скрывается под изображением:
Познакомившись с этим замаскированным гигантом, обратимся к его противоположности.
Соответствующий числовой лилипут получится, если разделим 1-цу на это число. Будем иметь:
что равно:
Мы имеем здесь знакомое нам огромное число в знаменателе. Сверх-великан превратился в сверх-лилипута.