Умножение на пальцах
Таблица умножения для числа 9 — одна из самых сложных, но в наши дни почти каждому школьнику знаком изящный способ запоминания.
Поднимите ладони перед собой и представьте, что пальцы пронумерованы от 1 до 10 слева направо. Согните палец, соответствующий числу, которое вы хотите умножить на 9. Посчитайте, сколько пальцев находится слева и справа от согнутого пальца. Это и будет ответ (см. рисунок).
Но есть трюки и похитрее…
Зная таблицу умножения вплоть до 5 × 5, вы можете посчитать на пальцах любое произведение от 6 × 6 до 10 × 10. Сперва представьте, что пальцы каждой руки пронумерованы как 6, 7, 8, 9, 10.
Умножение больших чисел
Вы проехали 693 мили, чтобы устроить палаточный лагерь где-то у черта на куличках, и по возвращении домой обнаружили, что нет ключей от входной двери, которые вы, скорее всего, выронили, когда разбирали тент. Съездив за ними обратно, вы в итоге проехали по одной и той же дороге четыре раза. Сколько всего миль вы преодолели?
Честно говоря, после таких приключений вряд ли кому-то захочется садиться за подсчеты, но если вы все же решитесь, окажется, что числа выходят далеко за пределы таблицы умножения. Хитрость в том, чтобы умножать небольшими частями, к тому же (о радость!) вам ничего не придется умножать больше чем на 9. Рассмотрим по пунктам, как умножить 693 на 4.
Запишем выражение так:
Умножим на 4 сначала 3, затем 9 и наконец 6, следя за тем, чтобы результаты были записаны в нужных местах. Начнем справа, с единиц. Считаем: 3 × 4 = 12. Пишем 2 под 4 и ставим маленькую единичку над пустым местом слева.
Теперь умножаем 9 × 4 = 36 и, прибавив маленькую единичку, получаем 37. Пишем 7 в ответ, а маленькую тройку ставим над следующим пустым местом.
И наконец, считаем 6 × 4 = 24. Прибавив маленькую тройку, получаем 27. Больше умножать нечего, так что пишем внизу 27 и получаем ответ! Вышло довольно изящно. (Надеюсь, это поднимет вам настроение после неурядиц с ключами.)
Теперь перейдем к умножению больших чисел. Допустим, нужно умножить 517 на 38. Традиционный способ — умножить 517 на 30, затем 517 на 8 и сложить оба полученных числа. Пусть и неуклюже, но зато работает.
Запишем выражение так, как показано, и проведем внизу несколько дополнительных линий. Сначала умножим 517 на 30. Запишем 0 под 8 для того, чтобы остальная часть ответа оказалась в правильном месте.
Теперь умножаем 517 на 3. Начнем с 7 × 3 = 21. Единицу записываем в тот столбец, где стоит 3, а маленькую двойку добавляем в следующий столбец. Обратите внимание, дальше нужно считать 1 × 3 = 3! (По невнимательности легко пропустить цифру.) Прибавляем 2 к 3 и, получив 5, записываем 5 в ответ. Наконец, 5 × 3 = 15: пишем это число спереди.
Теперь вычисляем 517 × 8, записывая ответ линией ниже. При умножении 7 × 8 = 56 шестерка попадает в тот столбец, где стоит 8.
Выяснив, сколько будет 517 × 30 и 517 × 8, складываем оба результата. Получается 15 510 + 4136 = 19 646. Это и есть окончательный ответ!
Надежный способ умножения
Хотя этот способ требует большей подготовки, чем традиционный, зато он гарантирует, что все нужные числа будут перемножены, а ответ окажется в правильных столбцах.
Чтобы вычислить, сколько будет 517 × 38, нарисуем сетку, через клетки которой проходят диагональные линии. Запишем числа, которые нужно перемножить: одно вдоль верхней стороны, другое сверху вниз вдоль боковой.
Заполняем каждую ячейку, умножая число над ней на число сбоку. Например, чтобы заполнить верхнюю левую ячейку, посчитаем: 5 × 3 = 15. Записываем результат: 1 над диагональю, 5 под ней.
Если при умножении получается одноразрядное число (например, 1 × 3 = 3), пишем его как 03 — 0 над диагональю, 3 под ней.
После того как заполним все ячейки, просто сложим числа вдоль диагоналей. (Обратите внимание: 8 + 5 + 1 = 14, поэтому пишем внизу 4 и добавляем маленькую единичку в следующую колонку.)
Возможно, приверженцам традиционного подхода милее старый способ, но и они, пожалуй, согласятся, что с ним легко запутаться при умножении неудобных десятичных дробей1, например 64,29 × 27,3. С новым же способом все просто.
Чтобы узнать, где в ответе поставить запятую, ищем место пересечения линий, идущих от запятых в перемножаемых числах, и двигаемся оттуда по диагонали до самого низа.
Если запятая есть только в одном из чисел, записываем его справа и смотрим, куда приходит диагональ, начинающаяся возле этой запятой, у самого края сетки.
Умножение сотен и тысяч
Сколько будет 3000 × 900? Все просто: перемножаем числа, стоящие спереди (3 × 9 = 27), а затем складываем количество нулей в конце обоих чисел и приписываем их в конец ответа. Поскольку здесь нулей пять, получаем 2 700 000.
Но вычисляя, сколько будет 7500 × 80, надо быть чуть осторожнее. Сперва перемножаем 75 × 8 = 600. Теперь добавляем еще три нуля, по числу нулей в обоих первоначальных числах. Ответ: 600 000.
Чтобы 1030 умножить на 50, сперва берем 103 × 5 = 515. Затем добавляем два нуля и получаем 51 500. Ноль между 1 и 3 в числе 1030 учитывать не надо, он уже сыграл свою роль при умножении 103 на 5.
Умножение отрицательных чисел
Если только одно из перемножаемых чисел отрицательное, ответ будет отрицательным. Если отрицательные оба числа, ответ будет положительным.
3 × 2 = 6
3 × −2 = −6
−3 × 2 = −6
−3 × −2 = +6
Почему отрицательное × отрицательное = положительное?
Проще всего объяснить это на наглядном примере… Представьте, что на улице густой туман и вы бежите к дому от автобусной остановки. Ваша скорость: +3 мили/ч. Это положительная скорость, поэтому через час вы приблизитесь к дому на 3 мили.
Допустим, что вы бежите со скоростью 3 мили/ч, но в противоположную сторону. Это отрицательная скорость –3 мили/ч, и через час вы окажетесь на 3 мили дальше от дома.
Теперь вы опять стартуете от автобусной остановки, но на этот раз решаете бежать вдвое быстрее. Если вы бежите в сторону дома, ваша скорость: 3 × 2 = 6 миль/ч, если — в противоположную, то –3 × 2 = –6 миль/ч.
Давайте в последний раз устроим забег от остановки, но поскольку — внимание! — на улице до сих пор густой туман, вам приходит в голову, что, возможно, вы бежите не в ту сторону. Поэтому вы решаете не только удвоить скорость, но и бежать задом наперед. Это соответствует умножению вашей скорости на –2. Если вы смотрите в сторону дома, то будете удаляться от него с удвоенной скоростью: 3 × –2 = –6 миль/ч. А если смотрите в противоположном от дома направлении, то скорость составит –3 × –2 = +6 миль/ч. Фактически вы будете приближаться к дому вдвое быстрее!
(Итак, только что мы доказали, что смотреть в сторону, противоположную цели, и бежать задом наперед ничуть не хуже, чем смотреть в правильную сторону и бежать вперед. Однако это лишь математический пример. Автор и издатель не несут ответственности за травмы, полученные при… В общем, вы поняли.)
Отрицательные знаки отменяют друг друга не только в математических расчетах. Порой в газетных заметках содержится столько отрицаний, что и не поймешь, о чем речь. Вот пример:
Миссис Бомонт отрицает, что она отказалась опротестовать апелляцию против отмены запрета футболистам срывать с себя футболки.
Так нравятся миссис Бомонт голые по пояс футболисты или нет? Я подскажу: она хранит свой сезонный абонемент на футбол в той же сумочке, что и бинокль.
Три фокуса с калькулятором
Возьмите калькулятор и введите 12345679 (цифру 8 пропускаете). Теперь умножьте это число на любое число из таблицы умножения для числа 9 (например, 9, 18 или 27...).
Возьмите любое число от 100 до 999 и введите его в калькулятор. Теперь умножайте его, нажимая на следующие кнопки: × 7 × 11 × 13 =
Возьмите любое число от 10 до 99 и введите его в калькулятор. Теперь нажимайте кнопки × 3 × 7 × 13 × 37 =
А если вы знаете лишь таблицу умножения на два...
Невероятно, но факт! Вы можете перемножить два любых числа исключительно путем умножения и деления на 2! Этот способ называют «русским народным умножением», хотя его также использовали древние египтяне, и он до сих пор применяется в некоторых компьютерных системах, а уж инопланетные формы жизни, как известно, вообще жить без него не могут. Вот как умножить 326 на 28, пользуясь только таблицей умножения на два.
Записываем числа, которые нужно перемножить (326 и 28), вверху листа бумаги и проводим между ними вертикальную линию.
Делим первое число (326) на 2, игнорируя остаток (если он есть), и записываем ответ ниже. Продолжаем делить на 2 и записывать числа сверху вниз, пока наконец не получим 1.
Теперь последовательно умножаем второе число (28) на 2, записывая ответы рядом с ответами в первой колонке, пока не дойдем до 1.
Вычеркиваем из второй колонки числа, стоящие напротив четных чисел в первой колонке.
Складываем оставшиеся во второй колонке числа.
Готово!
ДЕЛЕНИЕ
Без деления математические задачи были бы куда проще. Если взять два числа и применить к ним операции +, − и ×, а затем ÷, станет ясно, почему. Давайте возьмем числа 9 и 7.
9 + 7 = 16… легко! 9 − 7 = 2 … проще простого!
9 × 7 = 63… не проблема.
Однако на вопрос, сколько будет 9 ÷ 7, можно дать как минимум три ответа:
9 ÷ 7 = 1 и 2 в остатке;
9 ÷ 7 = 1 (а иногда годится и просто 9/7);
9 ÷ 7 = 1,2857142857... брррр!
Делим поровну
Не будем пока связываться с дробями и десятичной запятой и начнем с целых чисел, а затем, убедившись, что все поняли, постепенно перейдем и к дробям.
Представим, что на день рождения пришли 8 ребят, а на столе лежат 24 булочки. Сколько булочек достанется каждому? То есть сколько раз по 8 даст в сумме 24? Слова «восемь» и «раз» подсказывают, что нужно за