Миссис Бомонт зашла в булочную и купила две банки сливок для взбивания по 80 пенсов каждая и три кекса с вишенкой по 32 пенса каждый. Сколько всего она потратила?
Получается выражение: 2 × 80 + 3 × 32. Если просто выполнять операции по очереди, то сперва мы вычислим 2 × 80 = 160, затем 160 + 3 = 163 и наконец 163 × 32 = 5216, или 52 фунта и 16 пенсов. За две банки сливок и три кекса это о-го-го как много! Где же ошибка?
Нужно выполнять умножение и деление до сложения и вычитания.
Поэтому в выражении 2 × 80 + 3 × 32 сначала нужно умножить 2 на 80 и 3 на 32, что даст 160 + 96. После сложения становится ясно, что миссис Бомонт потратила 256 пенсов, или 2 фунта и 56 пенсов.
Теперь миссис Бомонт должна позаботиться о костюмах для четырех своих подруг. Каждой из них нужно леопардовое трико за 17 фунтов, две упаковки серпантина и красная шляпа. Кроме того, миссис Бомонт хочет купить себе за 6 фунтов волшебную палочку, как у феи. Еще у миссис Бомонт как у постоянного клиента есть три талона на скидку по 5 фунтов каждый. Сколько же денег ей предстоит потратить?
Сначала выясним, сколько денег понадобится для каждой из четырех подруг:
трико: 17 фунтов;
серпантин: 2 × 3 фунта;
шляпа: 8 фунтов.
Мы можем записать это как 17 + 2 × 3 + 8. А раз эта сумма нужна для каждой из подруг, заключим выражение в скобки: (17 + 2 × 3 + 8).
Подруг всего четверо, стало быть, и полученное выражение следует умножить на 4. Запишем это так: 4(17 + 2 × 3 + 8). Когда перед открывающей скобкой стоит число, это означает, что все находящееся в скобках нужно на него умножить. Еще миссис Бомонт хочет волшебную палочку, тогда получается 4(17 + 2 × 3 + 8) + 6. Обратите внимание, число 6 стоит за скобками, ведь его умножать на 4 не нужно. И наконец, учитываем и три талона на скидку по 5 фунтов, то есть всего (3 × 5). Эту сумму нужно отнять от стоимости покупок, поэтому ставим перед скобкой минус. В итоге у нас выходит: 4(17 + 2 × 3 +8) + 6 − (3 × 5).
Всегда начинайте вычисления с выражений в скобках!
Начинаем с первой пары скобок: умножаем 2 × 3, что дает (17 + 6 + 8), а затем складываем числа, получается 31. Результат умножения во второй паре скобок (3 × 5) составит 15. Теперь все выражение выглядит так: 4(31) + 6 − (15).
Вспоминаем, что 4 — это множитель для содержимого скобок и умножение нужно выполнить прежде, чем от них избавляться. Получаем 124 + 6 – 15. Следовательно, миссис Бомонт потратит 115 фунтов.
Остался последний вопрос: если ее подруги идут на вечеринку в леопардовых трико и красных шляпах, что же наденет сама миссис Бомонт? Ответ прост: себе костюм она купила в булочной.
ГРУБЫЙ ПОДСЧЕТ
Прежде чем приступать к расчетам, связанным с большими числами, имеет смысл сделать грубую прикидку результата. Особенно это важно при использовании калькулятора, ведь нажать не ту кнопку проще простого.
На футбольном матче в Йорке6 присутствовали 38 452 зрителя, каждый из них заплатил за вход 27,50 фунта (эти данные позаимствованы из снов футбольного менеджера). Четверо контролеров (по одному на каждый вход) решили выяснить, какой должна быть общая выручка, и посчитали на калькуляторах: 38 452 × 27,50.
Увы, у них получилось четыре разных ответа:
а)-105 930 фунтов
б)-1 057 430 фунтов
в)-3 847 950 фунтов
г)-105 734 000 фунтов
Как думаете, кто посчитал правильно?
Округление
Во-первых, упростим числа, сделав их более удобными для вычислений, и для этого их грубо округлим. Оставим только первую цифру каждого числа, а остальные заменим нулями: например 38 452 превратится в 30 000. Однако чтобы приблизительный результат вышел точнее, будем прибавлять к первой цифре 1, если вторая цифра равна или больше пяти. В данном случае вторая цифра 8, поэтому округлим 38 452 до 40 000. Представив эти числа отмеченными на линейке, мы убедимся, что 38 452 и впрямь ближе к 40 000, чем к 30 000:
27,50 фунта можно было бы округлить до 20, но 7 больше 5, поэтому округляем до 30.
Годится. Теперь умножим 40 000 × 30. По сути, это 4 × 3 плюс общее количество нулей. Всего нулей пять, и наш приблизительный ответ равен 1 200 000. Ближе всего к этому числу вариант б) 1 057 430, так что, скорее всего, именно он правильный.
А вот где ошиблись остальные три контролера: а) пропущена цифра 4, в) вместо кнопки × на калькуляторе нажата кнопка +, г) в числе 27,50 пропущена запятая.
Начиная с этого момента некоторые сложные выражения будут отмечаться таким значком с подсказкой, как можно грубо оценить результат.
ДРОБИ
В главе, посвященной делению, мы либо использовали числа, которые делятся полностью, либо оставляли неразделенный остаток. Когда числа необходимо делить на части без остатка, все становится гораздо любопытнее. В таком случае понадобятся дроби, простые или десятичные. Иногда лучше иметь дело с одним видом дробей, иногда с другим — все зависит от ситуации.
Простая дробь — это непосчитанная операция деления. Например, выражение 4 ÷ 7 можно записать как 4/7 (четыре седьмых). У этого подхода есть как приятная сторона — не надо выполнять деление, так и неприятная — вместо одного числа придется иметь дело с двумя.
Сокращение дробей
Предположим, у вас есть пицца с пепперони, разрезанная на восемь частей. Это можно записать как 1 ÷ 8, то есть каждая часть составляет 1/8 (одну восьмую) от всей пиццы. Если вы съедите шесть кусков, получится, что вы съели 6/8 (шесть восьмых) пиццы.
6/8 — вполне нормальная дробь, но вы вряд ли где-нибудь ее встретите, и вот почему:
Из рисунка следует, что 6/8 — то же самое, что и 3/4, поскольку две восьмые вместе составляют одну четверть, а значит, шесть восьмых составят три четверти.
Если у вас под рукой нет пиццы, посмотрим, как это происходит с числами. Начнем с дроби 6/8 и постараемся отыскать число, на которое делятся обе ее части, верхняя и нижняя.
Если умножить или разделить верхнюю и нижнюю часть дроби на одно и то же число, значение дроби не изменится.
Звучит немного странно, однако все, что мы сейчас сделали, — это разделили верхнее и нижнее число дроби на одно и то же число 2, превратив 6/8 в 3/4. Если же вы решите умножить верхнее и нижнее число дроби, скажем на 6, по какой-то непонятной причине (скоро мы увидим, в чем она заключается), то получится 3/4 = 18/24.
И это совершенно нормально, ведь если ваша пицца разрезана на 24 куска и вы съедите 18, количество съеденного все равно останется тем же, просто куски стали гораздо меньше.
Уменьшение чисел в обеих частях дроби называется сокращением и, как правило, улучшает вашу жизнь. Предположим, у вас есть вегетарианская пицца, и какой-то маньяк искромсал ее на 84 куска. Вы съели 70, это сколько от общего количества? Получается дробь 70/84, которая не укладывается у вас в голове, поэтому снова ищем число, чтобы поделить на него верх и низ дроби. Поскольку числа вверху и внизу дроби четные, они делятся на 2. Получив 35/42, мы видим, что оба числа делятся на 7, и теперь нам становится ясно, что вы съели 5/6 вегетарианской пиццы.
И наконец, главный вопрос: какой пиццы вам досталось больше?
Сравнение, сложение и вычитание дробей
Итак, хотелось бы знать, что больше — 3/4 или 5/6?
(Числа тут довольно простые, так что ответ для вас может быть очевиден. От пиццы с пепперони осталась четверть, а от вегетарианской пиццы — одна шестая. Одна шестая меньше, чем четверть, так что вегетарианской пиццы вы съели больше.)
Если хотите, чтобы все соответствовало математическим правилам, тогда нужно сделать так, чтобы у обеих дробей, 3/4 и 5/6, внизу стояло одно и то же число. Самый надежный способ — взять каждую дробь и умножить ее верхнее и нижнее число на нижнее число другой дроби. (Если придерживаться терминов, то верхнее число дроби называется числителем, а нижнее — знаменателем.)
Итак, мы выяснили, что 3/4 = 18/24 и 5/6 = 20/24. Следовательно, 5/6 больше, чем 3/4. (Еще дроби можно сравнивать, преобразуя их из простых в десятичные, см. раздел «Десятичные дроби».)
Другой вопрос, который может вас заинтересовать, — сколько пиццы вы съели в общей сложности? Если это 3/4 пиццы с пепперони и 5/6 вегетарианской, значит, нужно сложить 3/4 и 5/6.
Так делать НЕЛЬЗЯ:
Здравый смысл подсказывает, что вы съели большую часть как одной, так и другой пиццы, а из ответа следует, что вам досталось меньше, чем целая пицца!
Проблема в том, что четвертые и шестые части — не одно и то же, поэтому так запросто их складывать нельзя. Нужно преобразовать их в дроби с одинаковым знаменателем. К счастью, мы это уже сделали, выяснив, что 3/4 = 18/24 и 5/6 = 20/24. Когда знаменатели одинаковы, числители можно сложить так, как будто мы порезали каждую пиццу на 24 куска.
Обратите внимание: когда мы закончили перекладывать куски пиццы, 38/24 превратились в 1 и 7/12. Подозрительно, не правда ли? Уверен, вы не помните, чтобы ели ровно 7 каких-либо частей и уж точно не 12-х, но тем не менее это правильный ответ.
Вычитание дробей производится аналогичным образом. Вот чему равно 2/3 – 3/5 на примере все тех же двух пицц.
Смешанные числа и неправильные дроби
Смешанное число — это целое число с дробью, например .
Неправильной называют дробь, числитель которой больше знаменателя, например 13/2 (кстати, = ).
Чтобы преобразовать смешанное число в неправильную дробь, умножьте его целую часть на знаменатель и прибавьте результат к числителю. Запутались? Пора снова браться за пиццы...
Чтобы преобразовать неправильную дробь обратно в смешанное число, относитесь к ней как к операции деления. Конвертируем 7/3: 7 ÷ 3 = 2 и 1 в остатке. В ответ идет 2 целых, а 1 остается над тройкой, что дает 2 .
Преобразование смешанных чисел в неправильные дроби обычно облегчает их умножение и деление, в