Легче всего извлекать квадратные корни из квадратов целых чисел, таких как 1, 4, 9, 16 и 25, поскольку в этом случае получаются целые значения. С другими числами все куда сложнее. Например, 19 не является квадратом целого числа; тогда какой будет длина каждой стороны квадрата площадью 19 квадратных метров?
Ответ: √19, но сколько это? Мы знаем, что √16 = 4 и √25 = 5, следовательно, квадратный корень из 19 должен дать значение где-то между 4 и 5.
Вычисление корня с помощью карандаша и бумаги требует определенной умственной гимнастики, так что вполне простительно вооружиться калькулятором. Нажимаем клавиши <19 √> и получаем 4,3588989… Это десятичная, бесконечно тянущаяся дробь без повторяющихся сочетаний цифр. Такие числа называют иррациональными. Все квадратные корни, которые не являются целыми числами, иррациональны.
Другие степени и корни
Степени могут быть любыми. Помимо квадратов вы еще, скорее всего, столкнетесь только с кубами, например 63 = шесть в степени три = 6 × 6 × 6 = 216. Кубы используют в основном при вычислении объемов, в простейшем случае — объема кубического сосуда (все стенки которого — квадраты).
Процесс, обратный возведению в куб, называется извлечением кубического корня и обозначается так же, как извлечение корня квадратного, но рядом со значком корня ставится маленькая цифра 3, так, как здесь:
Стало быть, если нам известно, что объем кубического сосуда — 216 кубических метров, то длина каждой его стороны равна кубическому корню из 216, то есть 6 метрам.
Если степень отрицательна, на число под степенью нужно делить. Например, 10−3 — десять в степени минус три. Это то же самое, что и
Отрицательные степени часто используют при работе с очень большими или крайне малыми числами, и об этом мы поговорим в следующем разделе.
Нормальная форма
Масса Земли примерно равна 6 000 000 000 000 000 000 000 000 кг.
Официальное название этого числа — шесть септильонов, хотя «шесть с двадцатью четырьмя нулями на конце» звучит понятнее. Можно выразить это не словами, а числами так:
Масса Земли составляет примерно 6 × 1024 кг
Предположим, нам нужно вычислить, сколько будет 6 × 103. Это то же самое, что и 6 × 1000, поэтому сдвинем 6 на три знака влево и получим 6000. Аналогично 6 × 1024 означает 6 с 24 нулями на конце.
Если вы хотите выразить вес точнее, вместо одной цифры, такой как 6, следует взять десятичную дробь с одним знаком перед запятой и умножить на степень десятки, вот так:
Масса Земли равна 5,9736 × 1024 кг
Это называют записью числа в нормальной форме. Хотя в десятичной дроби гораздо больше цифр, чем одна, множитель × 1024 остался прежним. Умножая на 1024, мы все так же сдвигаем цифры на 24 знака влево, заполняя пустоты нулями. Поскольку цифры 9736 уже занимают четыре знака, просто добавим 20 нулей и получим массу: 5 973 600 000 000 000 000 000 000 кг.
Нормальную форму можно также использовать для очень маленьких чисел.
Масса одного атома водорода равна 1,67 × 10–27 кг
На первый взгляд кажется, что масса атома водорода больше массы Земли. Но это не так. И все благодаря крошечному знаку «минус», из-за которого мы делим, а не умножаем. Поэтому × 10 −27 — это то же самое, что и ÷ 1027, а значит, нужно передвинуть все цифры на 27 знаков вправо.
Большинство калькуляторов используют нормальную форму, чтобы отображать числа, которые не помещаются на экране. Но вместо 1,67 × 10−27 калькулятор, скорее всего, покажет вам 1,67 E−27. («Е» обозначает «экспоненту», иначе говоря, степень.)
СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ
Средние значения часто фигурируют в новостях, особенно когда нужно шокировать зрителей статистическими показателями, скажем, такими как рост средних глобальных температур, или средняя продолжительность необходимого школьникам сна, или среднее количество личных автомобилей у футболистов. На самом деле есть три разновидности средних значений — среднее арифметическое, мода и медиана7. Но когда люди говорят о «среднем значении», обычно они имеют в виду среднее арифметическое.
Среднее арифметическое
Расчет средних значений поможет вам спрогнозировать ситуацию в будущем. Например, если в прошлом году вы 7 дней отдыхали в Браунпуле и истратили за это время 350 фунтов, то среднее арифметическое ваших ежедневных расходов составит 350 ÷ 7 = 50 фунтов. Допустим, в этом году вы планируете поехать туда уже на 10 дней. Значит, на этот раз вам понадобится около 50 × 10 = 500 фунтов. А теперь посмотрим, как расчет среднего арифметического может помочь серьезному деловому человеку...
В прошлую субботу Лэрди припарковал свой фургончик с пирогами у ограды санатория. Сорок его обитателей ухитрились, дотянувшись через заграждение из колючей проволоки, купить у Лэрди пироги. Один человек купил всего один пирог, пятнадцать — по два пирога и т. д. Вот результаты.
Чтобы узнать среднее количество пирогов, приходящееся на одного человека, нужно вычислить такое выражение:
всего продано пирогов ÷ всего покупателей
Чтобы подсчитать общее количество проданных пирогов, сложим значения из нижней строки таблицы и получим 136 пирогов, а сложив значения из второй строки, узнаем общее число покупателей — 40.
136 ÷ 40 = 3,4
Таким образом, в среднем на человека приходится 3,4 пирога. Теперь, зная среднее арифметическое, Лэрди может примерно подсчитать, сколько пирогов привезти в следующий раз. Предположим, он надеется обслужить 1000 человек прежде, чем его застукают и арестуют, тогда он может рассчитывать на продажу примерно 3,4 × 1000 = 3400 пирогов.
Мода и медиана
Мода — это число, которое наиболее часто встречается в данной совокупности. Большинство покупателей приобрели по два пирога, значит, мода равна 2. Если остановить случайного человека, ковыляющего от ограды санатория к жилому корпусу, и спросить, сколько он купил пирогов, наиболее вероятным ответом будет 2.
Медиана — это число, находящееся в середине ранжированного ряда, и его можно использовать в качестве приблизительного значения среднего арифметического. Если число всех значений нечетное, медиану найти очень просто. Лэрди записал возраст первых пяти покупателей, расположив числа в порядке возрастания:
Медиана в этом случае равна 31.
Если же число всех значений четное, надо взять два значения, стоящие посередине, и вычислить их среднее арифметическое. Лэрди узнал вес восьми своих постоянных покупателей и расположил числа в порядке возрастания.
Посередине находятся числа 73 и 78, поэтому медиана веса восьми постоянных покупателей равна 75,5 кг.
АЛГЕБРА
Даже если вы, изучая в школе математику, все же совладали с делением больших чисел и десятичными дробями, то знакомство с алгеброй наверняка стало последней каплей, заставившей вас с диким воплем кинуться прочь, к пожарному выходу. И вас можно понять. Вычисление выражений, состоящих из чисел, кажется логичным, для того числа и придуманы. Но вычисление выражений с буквами? Какая-то бессмыслица… или нет?
Зачем все это?
Алгебра напоминает язык вроде русского или английского. Это быстрый способ описать и систематизировать задачу и, после того как вы усвоите основные правила, без лишней суеты найти ее решение. Представьте, что вы, будучи заграницей, хотите узнать у прохожих, где находится ближайшее вегетарианское кафе. Вы можете потратить не один час, пытаясь жестами изобразить морковку, а можете получить ответ за пару секунд, если знаете язык страны.
Что же касается букв, то ими просто обозначены числа, которые пока неизвестны. Чуть позже мы рассмотрим выражение для расчета стоимости чашки кофе, где искомая цена для краткости обозначена буквой c, чтобы не писать каждый раз «цена чашки кофе».
Мы даже не будем трогать буквы поначалу, а просто поглядим, как взаимодействуют между собой числа, чтобы прояснить основные правила.
Знаки «плюс», «минус» и «равно»
В середине этого простого выражения стоит знак равенства, поэтому оно называется уравнением: 7 – 2 = 4 + 1
Результат вычитания с левой стороны идентичен сумме чисел с правой стороны; оба равны 5. Суть алгебры в том, чтобы расположить определенным образом числа и буквы в уравнении и получить ответ.
Каждое число может быть либо положительным, либо отрицательным.
Перед отрицательными числами обязательно нужно ставить знак «–». Перед положительными числами тоже положено ставить знак «+», но делать мы это будем не всегда.
Уравнение можно представить себе в виде доски-качалки, где знак «равно» — точка опоры. Положительные числа — это грузы, прижимающие доску к земле, а отрицательные — воздушные шары, тянущие ее вверх.
7 – 2 = 4 + 1
Если хотите переместить числа с места на место на одном конце доски, их знаки нужно перемещать вместе с ними. Поменяв местами числа с левой стороны, получим: –2 + 7 = 4 + 1
Знак «минус» должен оставаться перед числом 2, иначе уравнение станет неверным. Перед 7 появился знак «плюс» как напоминание, что оно положительное. Предположим, что нам нужно оставить в левой части уравнения только число +7. Существует всего одно золотое правило.
С уравнением можно делать все что угодно8 при условии, что с его обеими частями производятся одни и те же действия.
Чтобы в левой части осталось только +7, нужно избавиться от –2. Для этого добавим +2; однако, согласно правилу, это число нужно добавить к обеим частям уравнения.
–2 +7 +2 = 4 + 1 + 2
–2 и +2 с левой стороны уравнения взаимоуничтожатся, то есть дадут 0. С правой же стороны +2 останется, и мы получим: 7 = 4 + 1 + 2