Выполнив подсчеты, вы убедитесь, что 7 и вправду равняется 4 + 1 + 2. При этом мы продемонстрировали маленькую хитрость.
При переносе числа через знак равенства меняется его знак! То есть «–» меняется на «+», а «+» на «–».
Вот еще одна вещь, которую можно показать на примере доски-качалки: вы можете менять две части уравнения местами: 4 + 1 + 2 = 7
Скобки
Давайте пока остановимся на варианте 7 = 4 + 1 + 2. Предположим, что нам нужно знать, чему равно число 14. Для этого умножаем 7 на 2, но умножать также следует и другую часть уравнения. Поскольку с правой стороны стоят три числа, каждое из них необходимо умножить на 2 вот так: 2 × 7 = 2(4 + 1 + 2)
Как видите, мы заключили все числа с правой стороны в скобки. Можно было записать это иначе: 2 × 4 + 2 × 1 + 2 × 2, но со скобками получается короче и удобнее. Число 2 перед скобкой называется коэффициентом.
Если перед открывающей скобкой стоит число, то на него умножается все, что находится внутри скобок.
Добавляем буквы
Наверное, вам уже не терпится перейти к решению хитроумных дифференциальных уравнений, однако начнем с малого.
Прогуливаясь по улице, вы неожиданно встречаете Малькольма, который пребывает в легком шоке. Он только что водил маму в кофейню Barstucks, где они выпили по чашке кофе, и в результате из 10 фунтов, которые он брал с собой, осталось всего 1,20 фунта. Сколько же стоила каждая чашка? Вот что нам известно: 10 фунтов минус цена двух чашек кофе = 1,20 фунта
Мы сэкономим массу типографской краски, если обозначим цену одной чашки кофе буквой c. Из этого следует, что цена двух чашек кофе составит 2 × c, но для удобства мы просто напишем 2c.
Что ж, давайте составим уравнение и посмотрим, как быть дальше.
10 – 2c = 1,20
Нам нужно, чтобы слева от знака равенства была только буква c. Для начала перенесем 10 фунтов на другую сторону, поменяв знак на минус: –2c = 1,20 – 10
Минус перед 2c выглядит не слишком привлекательно, поэтому избавимся от него, умножив обе части уравнения на (–1). В результате каждый знак «+» поменяется на «–», а каждый знак «–» на «+»: 2c = 10 – 1,20
Теперь подсчитаем 10 – 1,20 = 8,80, тогда
2с = 8,80
Поскольку нам нужна только одна с, разделим обе части на 2, и ответ готов: с = 4,40 фунта
4,40 фунта за чашку кофе? Неудивительно, что Малькольм был в шоке!
Что можно и чего нельзя
В алгебре есть еще несколько на первый взгляд странных правил, поэтому, чтобы они стали понятнее, представим себе множество одинаковых коробков спичек. В каждом содержится m спичек, так что если мы отложим в сторону три коробка, общее количество спичек в них составит 3 × m, или просто 3m. Число 3 здесь — коэффициент при m.
Теперь, разобравшись с коробками, перейдем к правилам и выясним, как их применять к нашим спичкам.
1.-Коэффициент можно умножать на число
Если добавить еще одну стопку из трех коробков...
… то 2 стопки по 3m в сумме дадут 6m.
2.-Прибавлять число к коэффициенту нельзя
Если вы где-то нашли три спички...
Видите, теперь у нас 6m + 3 спички. Нельзя прибавлять 3 к 6, чтобы получить 9m!
3.-Коэффициенты можно складывать, если при них одна и та же буква
Если взять еще два коробка...
Как видите, складывать 6m и 2m, чтобы получить 8m, можно, но 3 прибавить к 8m по-прежнему нельзя.
Вот еще три правила. Не волнуйтесь, если сейчас они покажутся вам непонятными, чуть позже мы их применим, и все прояснится.
4.-Когда знак «минус» стоит перед скобками, избавляясь от них, надо поменять все знаки внутри скобок на противоположные
В выражении вроде 3 − (2x − 4) все, что внутри скобок, следует умножить на –1. Избавившись от скобок, вы получите 3 − 2x + 4. Вместо +2х стало –2х, а вместо –4 стало +4.
5.-Если умножить букву на саму себя, получается буква в квадрате
Таким образом, y × y превратится в y2 (что такое числа в квадрате, мы обсуждали в разделе «Квадраты и квадратные корни»), а 4y × 3y — в 12y2. Коэффициенты перемножаются, а у буквы появляется знак квадрата.
6.-При перемножении разных чисел и букв числа умножаются, а буквы пишутся вместе
Поэтому 2x × 4y = 8xy. Такие ситуации часто возникают при умножении содержимого скобок, например: 3p(7q − 2p) = 21pq − 6p2.
Итак, давайте посмотрим, как это все может нам пригодиться.
Разгадка тайн математики с помощью алгебры
Алгебра бывает крайне полезна при решении задач и головоломок. Вот вам кое-что для начала.
Земельная афера
Бэтчап Билдингз решил приобрести надел земли у фермера Шарпа. Обе стороны сошлись на том, что это должен быть квадратный участок 20 м × 20 м, то есть площадью 400 квадратных метров, или м2. Однако приехав осмотреть землю, Бэтчап увидел, что участок имеет прямоугольную, а не квадратную форму!
Честно ли поступает фермер?
Хотя мы не знаем, на сколько метров стороны участка длиннее или короче, нам известно, что это одна и та же величина, давайте назовем ее x. Нарисуем схему участка.
Серым цветом показано, как бы выглядел участок, будь это квадрат 20 м × 20 м. Размеры же прямоугольника: (20 – x) в северном направлении и (20 + x) в восточном. Чтобы узнать его площадь, перемножим эти значения и получим (20 − x) × (20 + x); знак умножения обычно не пишется: (20 − x)(20 + x).
При перемножении двух выражений в скобках все, что находится внутри одной пары скобок, умножается на все, что находится внутри другой пары.
Для этого раскрываем первые скобки и умножаем каждый элемент в них на вторые скобки. Получаем: (20 − x)(20 + x) = 20(20 + x) − x(20 + x) =
= 400 + 20x − 20x − x2 =
= 400 − x2
Как видите, раскрывая −x(20 + x), мы первым делом умножаем −x × 20 = −20x. Обратите внимание, знак «минус» никуда не исчезает. И наконец, умножаем −x × x, что дает −x2. В следующей строке +20x и −20x взаимоуничтожаются, и мы получаем любопытный результат: 400 − x2. О чем это говорит?
Будь участок квадратным, Бэтчап приобрел бы обещанные 400 квадратных метров земли. Однако после изменения формы участка его площадь уменьшилась на x2. И чем больше значение x, тем больше земли теряет Бэтчап. (Помните, буква x обозначает, насколько стороны длиннее/короче одна другой.) Если участок на 5 метров длиннее в одном направлении и на 5 метров короче в другом, тогда x = 5. Мы можем вычислить площадь такого участка двумя способами. Во-первых, взяв полученный ранее ответ 400 − x2 и подставив вместо x число 5. Площадь составит 400 − 52, то есть 400 − 25 = 375. Во-вторых, просто перемножив длины сторон прямоугольника. В северном направлении это 20 − 5 = 15, а в восточном — 20 + 5 = 25. Тогда площадь равна 15 × 25 = 375. Оба ответа совпадают, стало быть, алгебра работает как надо!
Разность квадратов
Допустим, у вас есть квадратный блок почтовых марок размером 6 × 6. Кто-то оторвал от него несколько марок, оставив вам квадрат 4 × 4. Сколько марок забрали?
Нам нужно вычислить 62 − 42. Вычитание квадрата одного числа из квадрата другого называется разностью квадратов. В данном случае все просто, поскольку числа небольшие. Получаем 36 − 16 = 20. Однако есть более быстрый способ подсчета, который подходит для квадратов любых чисел.
Разность квадратов двух чисел равняется сумме этих чисел, умноженной на их разность.
Звучит довольно странно, однако вот что это означает: чтобы вычислить 62 − 42, сначала нужно узнать сумму двух чисел: 6 + 4 = 10. Кроме того, понадобится их разность: 6 − 4 = 2. Теперь умножаем сумму на разность: 10 × 2 = 20. Такой же ответ мы получили раньше.
Вместо того чтобы рассуждать об этом на словах, проще записать правило разности квадратов в виде алгебраического уравнения. Обозначим буквой a первое число и буквой b второе, тогда наше правило будет иметь следующий вид: a2 – b2 = (a + b)(a – b)
Мы уже наблюдали, как это работает для a = 6 и b = 4, однако данное уравнение подходит для любых a и b. Если вы думаете, что разность квадратов вам никогда не пригодится в жизни, представьте, что a = 20 и b = x, и посмотрите на уравнения из задачки о земельной афере. Там у нас (20 − x)(20 + x) = 400 − x2, тот же самый результат!
Объяснение загадки с тремя числами
Помните подраздел «Фокус с тремя числами», размещенный в начале книги? Там я объяснял, что какими бы ни были три последовательно идущих числа, если умножить большее из них на меньшее, результат всегда будет на единицу меньше второго числа, возведенного в квадрат. Например, возьмем 12, 13 и 14. Результат умножения 12 × 14 = 168, что на единицу меньше, чем 132 = 169.
Опять воспользуемся уравнением для разности квадратов, подставив вместо b единицу. Вот что получится: a2 – 12 = (a + 1)(a – 1)
Вспоминаем, что 12 = 1 × 1 = 1, поэтому выходит
a2 – 1 = (a + 1)(a – 1)
Теперь предположим, что