Лестница, стена и поверхность земли образуют прямоугольный треугольник. Если вы измерили угол между лестницей и землей (он равен 72°), то можете вычислить, на какой высоте находится желоб, чтобы не теряться, отвечая потом на вопросы работников скорой помощи.
Лестница является гипотенузой треугольника, и она равна 8. Высота, которую мы хотим узнать, – это сторона, противолежащая углу в 72°, так что можем составить простое уравнение:
Умножив обе части уравнения на 8, получим
Чтобы вычислить синус на калькуляторе, введите ‹
sin 72 =Затем умножим это число на 8 – выйдет 7,608. Это и есть высота от земли до желоба в метрах!
Косинус (cos) и тангенс (tg) – это дроби, представляющие отношения других сторон треугольника друг к другу.
И это практически все, что вам нужно знать о тригонометрии…
Логарифм: это что за чертовщина?
Всякий раз, когда разговор заходит о самых мрачных и зловещих тайнах математики, как правило, вспоминают о логарифмах. На многих это слово навевает кошмары, полные бессмысленных чисел и язвительных учителей. Однако теперь, когда школа позади, не пора ли все же разобраться, что это такое? Не будет ни тестов, ни контрольных, ни летающих губок для вытирания доски – чудовище не сможет вам навредить.
Логарифмы в 1645 году изобрел шотландец Джон Непер, и на протяжении 350 лет (пока не изобрели калькуляторы) они были единственным верным средством для быстрого умножения и деления очень больших чисел. Так в чем же суть логарифмов?
Возьмем весьма простое выражение:
Иначе его можно записать как 103 × 102 = 105 – это абсолютно то же самое, однако вместо того, чтобы перемножать большие числа, мы просто сложили степени: 3 + 2 = 5. Джон Непер понял, что любое число можно представить в виде степени числа 10, после чего для умножения или деления чисел достаточно лишь складывать или вычитать их степени.
Но вот незадача: такие степени редко бывают красивыми ровными числами, например 78 = 101,89209. Когда степени становятся затейливыми десятичными дробями, их называют логарифмами. Поскольку 78 = 101,89209, можно сказать, что логарифм от 78 равен 1,89209.
Перевод чисел в логарифмы – крайне утомительный процесс, но соратник Непера по имени Генри Бригс облечил его, разработав для подобных преобразований так называемые логарифмические таблицы. Некоторые из таблиц позволяли получить лишь три знака после запятой: 78 = 101,892. А по наиболее точным таблицам Бригса выходило, что 78 = 101,89209460269048. Соответственно, чем точнее логарифмы, тем точнее результат вычислений. (Исаак Ньютон, изучая движения звезд и планет, дошел в вычислении логарифма до 50 знаков после запятой, но его увлеченность граничила с манией.)
Что ж, опробуем логарифмы в деле.
Точный ответ = 1 198 366 848. Погрешность при вычислении с помощью логарифмов составила примерно 1 миллионную!
Вы можете находить квадратные и кубические корни путем деления логарифма на 2 и 3.
Будь вы Исааком Ньютоном, которому нужно узнать кубический корень из 591, вы бы сначала нашли по логарифмическим таблицам, что 591 = 102,771587. Затем посчитали бы 2,771587 ÷ 3 = 0,923862. И наконец, переведя 100,923862 в обычное число, получили бы ответ: 8,391942. (Если перемножить 8,391942 × 8,391942 × 8,391942, действительно получится 591.)
Мало того что этот ответ точен – логарифмы позволили сэкономить часы, которые бы ушли на мозгодробительные вычисления!
Глоссарий
Существует много слов для обозначения разных математических понятий, однако эта книга и так достаточно информативна. Поэтому я старался, насколько возможно, обходиться без научной терминологии. Однако все же предоставляю краткий справочник по основным математическим терминам.
E – на экране калькулятора обозначает «экспоненциальную запись», когда результат умножается на степень числа 10.
e – особенное число, равное 2,71828183. Применяется при вычислении прироста чего-либо, например урожая. Также используется при расчете банковских процентных ставок.
Градус – единица измерения углов, обозначается символом °. Также в градусах (Кельвина, Цельсия и Фаренгейта) измеряют температуру.
Делимое – при делении это число, которое делят. В выражении 35 ÷ 5 = 7 число 35 является делимым.
Делитель – при делении это число, на которое делят. В выражении 48 ÷ 4 = 12 число 4 является делителем.
Десятичные дроби – числа с десятичной запятой, такие как 0,667 или 365,26.
Диаметр – линия, соединяющая две точки окружности и проходящая через ее центр.
Дуга – участок окружности. Может быть разной величины, от маленького кусочка до почти полной окружности.
Знаменатель – нижнее число в простой дроби. Например, в дроби 4/7 число 7 – это знаменатель.
Иррациональное число – десятичная дробь с бесконечным количеством знаков после запятой, которые не повторяются предсказуемым образом.
Касательная – прямая линия, которая соприкасается с окружностью в одной точке. Если провести к этой точке радиус, он составит с касательной угол в 90°.
Квадрат и квадратный корень. Возведение в квадрат – это умножение числа на само себя, например 7 × 7 = 49. Действие, обратное этому, называется извлечением квадратного корня, например квадратный корень из 49 равен 7.
Квадратное уравнение – алгебраическое уравнение, в которое входит неизвестное значение в квадрате, например x². Обычно у квадратного уравнения есть два разных решения.
Коэффициент – число, на которое умножается другое число (или содержимое скобок). Например, в выражении 3(2x + 7) число 3 – коэффициент при выражении в скобках, а 2 – коэффициент при x.
Медиана – при наличии упорядоченного набора значений медианой будет значение, стоящее посередине совокупности значений.
Множители – целые числа, на которые заданное число делится без остатка. Множители числа 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 и 30. Простые множители – простые числа, которые нужно перемножить, чтобы получить исходное составное число. Простые множители числа 60: 2 × 2 × 3 × 5 = 60.
Мода – при наличии набора значений модой будет то значение, которое встречается в этом наборе чаще всего.
Неравносторонний треугольник – треугольник, у которого все стороны разной длины.
Нечестный официант (см. подраздел «Загадка про нечестного официанта») – забудьте о 30 фунтах! В итоге женщины заплатили 27 фунтов, 25 из которых попали в кассу, а 2 остались у официанта.
Ноль – пожалуй, самое сложное из чисел, ведь некоторые люди даже не уверены, что оно является числом. Если считать его числом, оно порождает множество проблем, особенно при попытке на него делить. А если это не число, то как оно может получиться из других чисел, например 2 − 2 = 0?
Округление – замена неудобного числа более простым числом, близким к нему по значению.
Окружность – замкнутая линия, граница круга.
Острый угол – угол, величина которого меньше 90° (то есть меньше прямого угла).
Перпендикуляр – линия, составляющая прямой угол с другой линией или поверхностью.
Пи (или π) – 3,14159265… Название числа, которое получается в результате деления длины окружности на ее диаметр.
Произведение – результат перемножения двух или более чисел. Произведением чисел 4, 7 и 8 будет 4 × 7 × 8 = 224.
Простая дробь – дробь, где одно число записывается над другим, например 2/3, в отличие от десятичных дробей, таких как 0,618.
Простое число – число, которое делится без остатка лишь на само себя и на 1.
Прямой угол – угол в 90°, например любой угол квадрата. На рисунках обычно помечается квадратиком.
Равнобедренный треугольник – треугольник, две стороны которого имеют одинаковую длину, и, соответственно, два угла тоже равны.
Равносторонний треугольник – треугольник с одинаковой длиной всех сторон. Все углы такого треугольника равны 60°.
Радиус – расстояние от любой точки окружности до ее центра. Радиус всегда вдвое меньше диаметра.
Разложение на множители в алгебре – преобразование сложного алгебраического выражения в виде произведения более простых выражений. Простейший способ разложения – вынесение множителя за скобки. Например, в выражении 6x² + 9x оба слагаемых делятся на 3x, поэтому его можно разложить на множители путем вынесения множителя за скобки: 3x(2x + 3).
Раскрытие скобок в алгебре – избавление от скобок путем умножения коэффициента перед скобками на их содержимое. Если раскрыть скобки в выражении 4y(3 − 2y), получится 12y − 8y².
Рациональная дробь – бесконечная десятичная дробь, в которой цифры после запятой периодически повторяются.
Сегмент – конечный интервал на прямой линии или фигура, которая получится при отсечении части круга прямой линией (см. рис. выше).
Сектор – фигура, похожая на кусок пиццы (см. рис. выше).
Сокращение дробей – деление числителя и знаменателя простой дроби на одно и то же число.
Составное число – любое число, не являющееся простым. Иначе говоря, число, которое делится не только на 1 и на само себя, но и на другие числа