[27]. Такое распределение спутников называют законом Дермотта.
Расстояния, связанные степенным законом, представляют собой более общую закономерность, в которую входит и хорошая аппроксимация закона Тициуса — Боде. В 1994 году Беранжер Дюбрюль и Франсуа Гране, применив два общих принципа, вывели степенной закон распределения расстояний для типичных коллапсирующих солнечных туманностей. Оба принципа основаны на симметрии. Облако обладает осевой симметрией; кроме того, распределение вещества в нем примерно одинаково на всех масштабах измерения — это масштабная симметрия. Осевая симметрия динамически обоснована, потому что асимметричное облако непременно либо разорвется, либо станет со временем более симметричным. Масштабная симметрия типична для важных процессов, влияющих, по мнению ученых, на формирование планет, таких как турбулентные потоки внутри солнечной туманности.
Сегодня мы в состоянии выглянуть за пределы нашей Солнечной системы. А там такое начинается! Орбиты известных экзопланет — планет у других звезд — расположены на самых разных расстояниях, в большинстве своем совершенно непохожих на те, что мы наблюдаем у себя в Солнечной системе. С другой стороны, известные экзопланеты всего лишь непредставительная выборка из множества всех существующих планет; часто мы видим у звезды только одну планету, хотя там, вероятно, присутствуют и другие. К тому же методы, имеющиеся у нас на данный момент, обнаруживают прежде всего крупные планеты, обращающиеся близко к своему центральному телу.
До тех пор пока мы не получим полные планы планетных систем множества звезд, мы не сможем по-настоящему понять, что представляют собой экзопланетные системы. Однако в 2013 году Тимоти Бовэ и Чарльз Лайнуивер, рассмотрев 69 экзопланетных систем, в которых достоверно имеется не менее четырех планет, выяснили, что 66 из них подчиняются степенным законам. Исследователи попытались также при помощи полученных степенных зависимостей осторожно предсказать «недостающие» планеты, то есть повторить в экзосистемах историю с Церерой. Из 97 планет, предсказанных таким образом, пока удалось обнаружить лишь пять. Даже с учетом сложностей, связанных с обнаружением небольших планет, результат не оправдал надежд.
Все это достаточно неопределенно, поэтому внимание ученых переместилось на другие принципы, которые могли бы объяснить, как устроены планетные системы. Эти принципы опираются на тонкие особенности нелинейной динамики и не являются совсем уж эмпирическими. Однако числовой характер этих закономерностей менее очевиден. В частности, Майкл Делниц математически показал, что поле тяготения Юпитера, судя по всему, организовало все остальные планеты в единую взаимосвязанную систему, соединенную природными «трубками». Эти трубки, которые можно распознать только при помощи их математических характеристик, представляют собой естественные низкоэнергетические пути между разными мирами. Эту идею и связанные с ней вопросы мы обсудим в главе 10, куда они впишутся более естественно.
Был ли он совпадением или нет, но закон Тициуса — Боде вдохновил ученых на некоторые важные открытия.
Как известно, невооруженным глазом с Земли можно увидеть только пять классических планет: Меркурий, Венеру, Марс, Юпитер и Сатурн. Плюс Земля, если вы хотите проявить дотошность, но от нее в данный конкретный момент можно увидеть лишь маленький кусочек. С изобретением телескопа астрономы получили возможность наблюдать звезды, слишком слабые для невооруженного глаза, а также другие небесные объекты, такие как кометы, туманности и спутники. Астрономы работали на пределе тогдашних технических возможностей, и зачастую им проще было обнаружить на небе какой-то новый объект, чем понять, что он собой представляет.
Именно с этой проблемой столкнулся Уильям Гершель в 1781 году, когда направил телескоп, сооруженный в саду его дома в Бате, на созвездие Тельца и заметил слабую точку света возле звезды ζ Тельца; поначалу он подумал, что это либо «какая-то туманная звезда, либо, возможно, комета». Четырьмя ночами позже он записал в дневнике, что «выяснил, что это комета, ибо она изменила свое положение». Примерно пять недель спустя, докладывая о своем открытии Королевскому обществу, он все еще описывал это явление как комету. Если рассматривать звезду через линзы с разным увеличением, она остается точкой даже при самом большом увеличении, но этот новый объект при большем увеличении, казалось, увеличивался — «как это делают планеты», заметил астроном. Но это же можно сказать и о кометах, и Гершель был убежден, что открыл новую комету.
По мере поступления новой информации некоторые астрономы, в том числе Королевский астроном Невил Маскелайн, Андерс Лексель и Боде, начали сомневаться и попросили уточнить природу нового объекта. К 1783 году астрономы сошлись во мнении, что это планета, и решили, что ей необходимо название. Когда-то король Георг III назначил Гершелю содержание в 200 фунтов в год при условии, что тот переедет поближе к Виндзорскому замку, чтобы королевская семья имела возможность смотреть в его телескопы. Гершель, желавший отблагодарить монарха, хотел назвать новую планету Georgium Sidus — «Звезда Георга». Боде предложил название Uranus — латинский вариант записи имени греческого небесного бога Урана. И это название победило, несмотря на то что Уран — единственная планета, названная в честь греческого божества, а не римского.
Лаплас рассчитал орбиту Урана в 1783 году. Оказалось, что период обращения этой планеты составляет 84 года, а среднее расстояние от Солнца примерно равно 19 а.е., или 3 миллиарда километров. Орбита Урана, хотя и близка к круговой, обладает большим эксцентриситетом, чем орбита любой другой известной планеты, ее радиус варьируется от 18 до 20 а.е. Через несколько лет, с появлением более совершенных телескопов, появилась возможность измерить период вращения планеты вокруг оси, который составил 17 часов 14 минут, и выяснить, что вращается она не в том же направлении, что все остальные, а в противоположном. Ось вращения Урана наклонена больше чем на 90° и почти лежит в плоскости эклиптики Солнечной системы, вместо того чтобы быть к ней приблизительно перпендикулярной. В результате на Уране наблюдается крайняя форма полярного дня: на каждом из полюсов планеты 42 земных года длится день и 42 года — ночь, причем когда один полюс погружен во тьму, на другом светит солнце.
Очевидно, в Уране есть что-то странное. С другой стороны, его орбита точно укладывается в закон Тициуса — Боде.
Когда орбита новой планеты была установлена и появилась возможность связать с ней давние наблюдения, стало ясно, что этот далекий мир астрономам случалось наблюдать и раньше, но его всегда ошибочно принимали за звезду или комету. На самом деле Уран едва-едва виден человеку с хорошим зрением; вероятно, он числился в качестве «звезды» еще в каталоге Гиппарха в 128 году до нашей эры и позже в Птолемеевом «Альмагесте». Джон Флемстид шесть раз наблюдал Уран в 1690 году и считал звездой; он даже присвоил ей регулярное обозначение 34 Тельца. Пьер Лемонье наблюдал его 12 раз между 1750 и 1769 годами. Хотя Уран — планета, движется он так медленно, что изменение его положения на небе нелегко заметить.
До этого момента роль математики в исследовании Солнечной системы была в основном описательной; математика позволяла свести длинную серию наблюдений к простой эллиптической орбите. Единственным предсказанием, которое делалось на основе математики, тогда было предсказание положения планеты на небе в определенные моменты времени в будущем. Но время шло, данные о наблюдениях накапливались, и Уран все более и более оказывался не там, где надо. Ученик Лапласа Алексис Бувар провел множество высокоточных наблюдений Юпитера, Сатурна и Урана, а также открыл восемь комет. Его таблицы движения Юпитера и Сатурна оказались очень точными, а вот Уран стабильно уходил от предсказанных для него точек. Бувар предположил, что орбиту Урана, возможно, возмущает какая-то еще более отдаленная планета.
Под «возмущением» здесь подразумевается просто воздействие. Если бы было можно выразить это действие математически как зависимость от параметров орбиты предполагаемой новой планеты, то удалось бы обратным ходом определить и саму эту орбиту. Тогда астрономы знали бы, куда смотреть, и если бы предсказание оправдалось, то они смогли бы обнаружить ту самую новую планету. Главная загвоздка при таком подходе состоит в том, что на движение Урана существенно влияют Солнце, Юпитер и Сатурн. Остальными телами Солнечной системы, пожалуй, можно пренебречь, но и без того разбираться придется по крайней мере с пятью телами. Точные формулы неизвестны даже для системы из трех тел; с пятью все намного сложнее.
К счастью, математики того времени успели уже придумать хитроумный способ обойти эти сложности. Математически возмущение — это новый эффект, изменяющий решения уравнений этой системы. К примеру, движение маятника под действием гравитации в вакууме имеет элегантное решение: маятник совершает одни и те же колебательные движения раз за разом, до бесконечности. Однако, если в системе присутствует сопротивление воздуха, уравнение движения изменяется, чтобы включить в себя эту дополнительную силу сопротивления. Для модели маятника эта сила — возмущение, она разрушает периодические колебания. В воздухе, в отличие от вакуума, колебания затухают, и маятник со временем останавливается.
Возмущения приводят к более сложным уравнениям, решать которые, как правило, труднее. Но иногда можно использовать само возмущение, чтобы понять, как меняются решения. Для этого мы записываем уравнения для разности между невозмущенным и возмущенным решениями. Если возмущение невелико, мы можем вывести приближенные формулы для искомой разности, отбросив при этом те члены уравнений, которые намного меньше возмущения. Этот прием упрощает уравнения в достаточной мере, чтобы их можно было решить в явном виде. Полученное в результате решение не является точным, но зачастую достаточно хорошо для практических целей.