Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров — страница 31 из 66

N(-3) = 0,004431846678 * ((1,330274429 * 0,5899963639 ^ 5) -

- (-1,821255978 * 0,5899963639^ 4) + + (1,781477937 * 0,5899963639^3) -

- (0,356563782 * 0,589996363^ 2) + + (0,31938153 * 0,5899963639)) = 0,004431846678 * ((1,330274429 * 0,07149022693) -

- (1,821255978 * 0,1211706) + (1,781477937 * 0,2053752) -

- (0,356563782 * 0,3480957094) + (0,31938153 * 0,5899963639)) = 0,004431846678 * (0,09510162081- 0,2206826796+ 0,3658713876 -

-0,1241183226 + 0,1884339414) =0,004431846678*0,3046059476 =0,001349966857

Отметьте, если Z имеет отрицательное значение (Z = -3), нам не надо менять N(Z) на N(Z) = 1 - N(Z). Теперь для каждого значения в столбце стандартных значений будут соот­ветствующие значения в столбце ассоциированных P&L и в столбце ассоции­рованной вероятности. Это показано в следующей таблице. После того как вы заполните эти три столбца, можно начать поиск оптимального f и его побоч­ных продуктов.


Стандартное значениеАссоциированные P&LАссоциированная вероятностьАссоциированное значение HPR при f= 0,01
-3,0($4899,57)0,0013500,9999864325
-2,9($4725,24)0,0018660,9999819179
-2,8($4550,92)0,0025550,9999761557
-2,7($4376,60)0,0034670,9999688918
-2,6($4202,27)0,0046610,9999598499
-2,5($4027,95)0,0062100,9999487404
-2,4($3853,63)0,0081980,9999352717
-2,3($3679,30)0,0107240,9999191675
-2,2($3504,98)0,0139030,9999001875

Продолжение
Стандартное значениеАссоциированные P&LАссоциированная вероятностьАссоциированное значение HPR при f= 0,01
-2,1($3330,66)0,0178640,9998781535
-2,0($3156,33)0,0227500,9998529794
-1,9($2982,01)0,0287160,9998247051
-1,8($2807,69)0,0359300,9997935316
-1,7($2633,37)0,0445650,9997598578
-1,6($2459,04)0,0547990,9997243139
-1,5($2284,72)0,0668070,9996877915
-1,4($2110,40)0,0807570,9996514657
-1,3($1936,07)0,0968000,9996168071
-1,2($1761,75)0,1150700,9995855817
-1,1($1587,43)0,1356660,999559835
-1,0($1413,10)0,1586550,9995418607
-0,9($1238,78)0,1840600,9995341524
-0,8($1064,46)0,2118550,9995393392
-0,7($890,13)0,2419630,999560108
-0,6($715,81)0,2742530,9995991135
-0,5($541,49)0,3085370,9996588827
-0,4($367,16)0,3445780,9997417168
-0,3($192,84)0,3820880,9998495968
-0,2($18,52)0,4207400,9999840984
-0,1$155,810,4601721,0001463216
0,0$330,130,5000001,0003368389
0,1$504,450,4601721,0004736542
0,2$678,780,4207401,00058265
0,3$853,100,3820881,0006649234
0,4$1027,420,3445781,0007220715
0,5$1201,750,3085371,0007561259

Продолжение
Стандартное значениеАссоциированные P&LАссоциированная вероятностьАссоциированное значение HPR при f= 0,01
0,6$1376,070,2742531,0007694689
0,7$1,550,390,2419631,0007647383
0,8$1724,710,2118551,0007447264
0,9$1899,040,1840601,0007122776
1,0$2073,360,1586551,0006701921
1,1$2247,680,1356661,0006211392
1,2$2422,010,1150701,0005675842
1,3$2596,330,0968001,0005117319
1,4$2770,650,0807571,0004554875
1,5$2944,980,0668071,0004004351
1,6$3119,300,0547991,0003478328
1,7$3293,620,0445651,0002986228
1,8$3,467,950,0359301,0002534528
1,9$3642,270,0287161,0002127072
2,0$3816,590,0227501,0001765438
2,1$3990,920,0178641,000144934
2,2$4165,240,0139031,0001177033
2,3$4339,560,0107241,0000945697
2,4$4513,890,0081981,0000751794
2,5$4688,210,0062101,0000591373
2,6$4862,530,0046611,0000460328
2,7$5036,860,0034671,0000354603
2,8$5211,180,0025551,0000270338
2,9$5385,500,0018661,0000203976
3,0$5559,830,0013501,0000152327

Побочные продукты при f= 0,01:

TWR= 1,0053555695

Сумма вероятностей = 7,9791232176

Среднее геометрическое = 1,0006696309

GAT = $328,09 доллара.

Оптимальное f надо искать следующим образом. Сначала вы должны опреде­литься с методом поиска f. Можно просто перебрать числа от 0 до 1 с определен­ным шагом (например 0,01), используя итерационный метод, или применить метод параболической интерполяции, описанный в книге «Формулы управле­ния портфелем». Вам следует определить, какое значение f (между 0 и 1) позволит получить наибольшее среднее геометрическое. После того как вы определитесь с методом поиска, следует найти ассоциированное P&L наихудшего случая. В нашем при­мере это значение P&L, соответствующее -3 стандартным единицам, то есть -4899,57.

Для того чтобы найти средние геометрические для значений f, которые вы бу­дете перебирать в поиске оптимального, нужно преобразовать каждое значение ассоциированных P&L и вероятность в HPR. Уравнение (3.30) позволяет рассчи­тать HPR:

где L = ассоциированное значение P&L;

W = ассоциированное значение P&L наихудшего случая (это всегда отрицательное значение);

f= тестируемое значение f;

Р = ассоциированная вероятность.

Для f=0,01 найдем ассоциированное HPR при стандартном значении-3. Ассо­циированное P&L наихудшего случая составляет -4899,57. Поэтому HPR равно:

HPR = (1 + (-4899,57 / (-4899,57 / (-0,01))))^ 0,001349966857 = (1 + (-4899,57/489957))^ 0,001349966857 = (1 + (-0,01))^ 0,00139966857 = 0,99^ 0,001349966857 = 0,9999864325

После того как мы найдем ассоциированные HPR для тестируемого f (0,01 в на­шем примере), можно рассчитать TWR. TWR — это произведение всех HPR для данного значения f:

где N = общее число равноотстоящих точек данных;

HPR = HPR из уравнения (3.30), соответствующее точке данных i. Поэтому для нашего тестируемого значения f= 0,01 TWR равно:

TWR = 0,9999864325 * 0,9999819179 * ... * 1,0000152327 = 1,0053555695

Мы можем легко преобразовать TWR в среднее геометрическое, возведя TWR в сте­пень, равную единице, поделенной на сумму всех ассоциированных вероятностей.

где N == число равноотстоящих точек данных;

R = ассоциированная вероятность точки данных i.

Если мы просуммируем значения столбца, который включает 61 ассоциирован­ную вероятность, получим 7,979105. Поэтому среднее геометрическое при f= 0,01 равно:

G = 1,0053555695 ^ (1/7,979105) = 1,00535555695 ^ 0,1253273393 = 1,00066963

Мы можем также рассчитать среднюю геометрическую сделку (GAT). Это сумма, которую вы бы заработали в среднем на контракт за сделку, если бы торговали при этом распределении результатов и при данном значении f.

где G(f) = среднее геометрическое для данного значения f;

W = ассоциированное P&L наихудшего случая.

GAT = (1,00066963 - 1) * (-4899,57 / (-0,01)) = 0,00066963 * 489957 = 328,09

Таким образом, в среднем на контракт можно ожидать выигрыша в 328,09 доллара. Теперь перейдем к следующему значению f, которое должно те­стироваться в соответствии с выбранной процедурой поиска оптимального f. В нашем случае мы проверяем значения f от 0 до 1 с шагом 0,01, так что следую­щим тестируемым значением f будет 0,02. Рассчитаем новый столбец ассоции­рованных HPR, а также найдем TWR и среднее геометрическое. Значение f, ко­торое в результате даст наивысшее среднее геометрическое, является оптималь­ным (для вводных параметров, которые мы использовали). Если бы для данного примера мы продолжили поиск оптимального f, то получили бы f= 0,744 (при расчете оптимального f используется шаг 0,001). Среднее геометрическое в этом случае равно 1,0265. Соответствующая средняя геометрическая сделка составит 174,45 доллара.