Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров — страница 41 из 66

ое решение, в среднем, выиграет в три раза больше, чем белое решение! Вы можете возразить, отметив, что мы не реинвестируем по тому же сцена­рию каждый раз, и можно добиться большего, если всегда выбирать наивыс­шее арифметическое математическое ожидание для каждого представленного набора. Мы будем принимать решение, основываясь на большем арифметическом математическом ожидании, только в том случае, если не собираемся реинвести­ровать вообще. Но так как почти всегда деньги, которыми мы рискуем сегодня, будут снова с риском вложены в будущем, а деньги, выигранные или проигран­ные в прошлом, влияют на то, чем мы можем рисковать сегодня (среда геомет­рических следствий), для максимизации долгосрочного роста капитала мы дол­жны принимать решения, исходя из среднего геометрического. Даже если сце­нарии, которые будут представлены завтра, не будут такими же, как сегодня, используя наибольшее среднее геометрическое, мы всегда максимизируем наши решения. Это аналогично процессу зависимых попыток, например игре в «очко». Каждая раздача изменяет вероятности, поэтому оптимальная ставка из­меняется, чтобы максимизировать долгосрочный рост. Помните, чтобы макси­мизировать долгосрочный рост, мы должны рассматривать текущую игру как неограниченную во времени. Другими словами, следует рассматривать каждую от­дельную ставку, как будто она повторяется бесконечное число раз, если необходи­мо максимизировать рост в течение долгой последовательности ставок в несколь­ких играх. Давайте обобщим все вышесказанное: когда результат события оказывает влияние на результат(ы) последующего события(ий), нам следует выбирать наибольшее геометрическое ожидание. В редких случаях, когда результат не влияет на последующие события, следует выбирать наибольшее арифметичес­кое ожидание. Математическое ожидание (арифметическое) не учитывает за­висимость результатов внутри каждого сценария и поэтому может привести к неверному заключению, когда рассматривается реинвестирование в геометри­ческой среде. Использование предложенного метода в планировании сценария поможет вам правильно выбрать сценарий, оценить его результаты и вероятности их осуществления. Этот метод внутренне более консервативен, чем размещение на основе наибольшего арифметического математического ожидания. Урав­нение (3.05) показывает, что среднее геометрическое никогда не может быть больше среднего арифметического. Таким образом, этот метод никогда не бу­дет более рискованным, чем метод наибольшего арифметического математи­ческого ожидания. В асимптотическом смысле (долгосрочном) это не только лучший метод размещения, так как вы получаете наибольший геометричес­кий рост, он также более безопасен, чем размещение по наибольшему ариф­метическому математическому ожиданию, которое неизменно смещает вас вправо от пика кривойf.

Так как реинвестирование почти всегда имеет место в реальной жизни (до того дня, когда вы уйдете на пенсию),[17] то есть вы снова будете использовать деньги, которые использовали сегодня, мы должны принимать решения, ис­ходя из того, что такая возможность представится тысячи раз, для того чтобы максимизировать рост. Мы должны принимать решения таким образом, чтобы максимизировать геометрическое ожидание. Более того, так как результаты большинства событий влияют на результаты последующих событий, нам сле­дует принимать решения и размещать средства, основываясь на максимальном геометрическом ожидании, что может привести к решениям, которые не все­гда очевидны.

Поиск оптимального f по ячеистым данным

Теперь мы рассмотрим поиск оптимального f и его побочных продуктов по ячеистым данным. Этот подход также является гибридом параметрического и эмпирического метода и аналогичен процессу поиска оптимального f по различным сценариям; только на этот раз мы будем использовать среднюю точку ячейки. Для каждой ячейки у нас будет ассоциированная вероятность, рассчитанная как общее число элементов (сделок) в этой ячейке, деленное на общее число элементов (сделок) во всех ячейках. Для каждой ячейки у нас будет ассоциированный результат, рассчитанный по центральной точке ячейки. Например, у нас есть 3 ячейки и 10 сделок. Первую ячейку мы определим для P&L от -1000 долларов до -100 долларов. В этой ячейке будет два элемента. Следу­ющая ячейка предназначена для сделок от -100 до 100 долларов, она вмещает 5 сделок. Наконец, в третью ячейку попадут 3 сделки, которые имеют P&L от 100 до 1000 долларов.


ЯчейкаЯчейкаСделкиАссоциированнаяАссоциированный
вероятностьрезультат
-1000-10020,2-550
-10010050,50
100100030,3550

Теперь нам нужно решить уравнение (4.16), где каждая ячейка представляет отдельный сценарий. Таким образом, для случая с 3 ячейками оптимальное f составляет 0,2, или 1 контракт на каждые 2750 долларов на счете (наш проигрыш наихудшего случая будет средней точкой первой ячейки, или (-$1000 + -$100) / /2 =-$550). Этот метод можно использовать в реальной торговле, хотя он и недостаточно точен, поскольку допускает, что наибольший проигрыш находится в середине наихудшей ячейки, а это не совсем верно. Часто полезно иметь одну лишнюю ячейку, чтобы включить проигрыш наихудшего случая. Допустим, как и в приме­ре с 3 ячейками, у нас была сделка с проигрышем в 1000 долларов. Такая сделка попадает в ячейку -1000 до -100 долларов и поэтому будет записана как 550 долла­ров (средняя точка ячейки), но мы можем разместить в ячейки те же данные сле­дующим образом:


ЯчейкаЯчейкаСделкиАссоциированная вероятностьАссоциированный результат
-1000-100010,1-1000
-999-10010,1-550
-10010050,50
100100030,3550

Теперь оптимальное f составляет 0,04, или 1 контракт на каждые 25 000 долла­ров на счете. Вы видите, насколько приблизителен этот метод? Поэтому, хотя этот метод даст нам оптимальное f для ячеистых данных, надо понимать, что потеря информации при размещении данных в ячейки может сделать резуль­таты настолько неточными, что они станут бесполезными. Если бы у нас было больше точек данных и больше ячеек, метод был бы намного точнее. Фактически, если бы у нас было бесконечное количество данных и бесконечное чис­ло ячеек, метод был бы абсолютно точным (если бы данные в каждой из ячеек были равны средним точкам соответствующих ячеек, то этот метод также был бы точным). Другой недостаток предлагаемого метода заключается в том, что среднее зна­чение ячейки не обязательно расположено в центре ячейки. В реальности сред­нее значение элементов в ячейке будет ближе к моде всего распределения, чем к средней точке ячейки. Следовательно, полученная дисперсия будет больше, чем есть на самом деле. Существуют способы корректировки, но и они могут быть неточными. Проблему можно было бы преодолеть, и результаты были бы точ­ными при бесконечном количестве элементов (сделок) и бесконечном количе­стве ячеек. Если у вас есть достаточно большое количество сделок и достаточно большое количество ячеек, вы можете использовать этот метод с большей уверенностью. Вы также можете провести тесты «что если», изменяя число элементов в различ­ных ячейках, чтобы получить более точное приближение.

Какое оптимальное f лучше?


Мы знаем, что можно найти оптимальное f, используя эмпирический подход, а также используя некоторые параметрические методы как для ячеистых, так и для неячеистых данных. Мы также знаем, что можно привести данные к текущей цене. Какое оптимальное f действительно оптимально — полученное по приве­денным или неприведенным данным?

Неприведенное эмпирическое оптимальное f рассчитывается на прошлых данных. Эмпирический метод для нахождения оптимального f, описанный в гла­ве 1, даст оптимальное f, которое реализовало бы наивысший геометрический рост по прошлому потоку результатов. Однако нам надо определить, какое значе­ние оптимального f использовать в будущем (особенно в следующей сделке), учи­тывая, что у нас нет достоверной информации об исходе следующей сделки. Мы точно не знаем, будет это прибыль (тогда оптимальное f будет 1) или убыток (тог­да оптимальное f будет 0). Мы можем выразить результат следующей сделки толь­ко распределением вероятности. Лучшим подходом для трейдеров, применяющих механическую систему, будет расчет f путем использования параметрического ме­тода с помощью регулируемой функции распределения, описанной в этой главе, с приведенными или неприведенными данными. Если есть значительное различие в использовании приведенных данных по сравнению с неприведенными, тогда, вероятно, расчеты сделаны по слишком большой истории сделок, или же данных на уровне текущих цен недостаточно. Для несистемных трейдеров лучшим может оказаться подход планирования сценария.

Теперь вы имеете представление как об эмпирических, так и параметри­ческих методах, а также о некоторых гибридных методах поиска оптималь­ного f. В следующей главе мы рассмотрим проблему поиска оптимального f (па­раметрическим способом) для случая, когда одновременно открыто несколько позиций.