рыночного дня и каждой дискретной цены между - 3 и + 3 стандартными отклонениями. Можно использовать 4, 5, 6 или больше стандартных отклонений, но ответ от этого не станет значительно точнее. Не следует также сокращать ценовое окно до 2 или 1 стандартного отклонения. Выбор 3 стандартньк отклонений, конечно, не является твердым правилом, но в большинстве случаев оно приемлемо. Если мы используем модель Блэка-Шоулса или модель опционов на фьючерсы Блэка, то можно узнать, какому изменению цены базового инструмента U соответствует 1 стандартное отклонение:
где U = текущая цена базового инструмента;
V = годовая волатильность базового инструмента;
Т = доля года, выраженная десятичной дробью, прошедшая с тех пор. когда опцион был приобретен;
ЕХР() = экспоненциальная функция.
Отметьте, что стандартное отклонение является функцией времени, прошедшего с момента открытия позиции.
Для точки, которая на Х стандартных отклонений выше текущей цены базового инструмента, получаем:
Для точки, которая на Х стандартных отклонений ниже текущей цены базового инструмента, получаем:
где U =текущая цена базового инструмента;
V =годовая волатильность базового инструмента;
Т =доля года, выраженная десятичной дробью, прошедшая с тех пор, когда опцион был приобретен;
EXPQ = экспоненциальная функция;
Х =число стандартных отклонений от среднего, для которых вы хо тите определить вероятности.
Далее следует описание процедуры поиска оптимального f для данного опциона.
Шаг 1. Решите, закроете ли вы позицию по опциону в какой-то конкретный день. Если нет, тогда в дальнейших расчетах используйте дату истечения срока опциона.
Шаг 2. Определите, сколько дней вы будете удерживать позицию. Затем преобразуйте это число дней в долю года, выраженную десятичной дробью.
Шаг 3. Для дня из шага 1 рассчитайте точки, которые находятся между +3 и -3 стандартными отклонениями.
Шаг 4. Преобразуйте диапазоны цен из шага 3 в дискретные значения. Другими словами, используя приращения по 1 тику, определите все возможные цены диапазона, включая крайние значения.
Шаг 5. Для каждого из полученных результатов рассчитайте Z(T, U - Y) и Р(Т, U), то есть рассчитайте теоретическую цену опциона, а также вероятность того, что базовый инструмент к рассматриваемым датам будет равен определенной цене.
Шаг 6. После того, как вы выполните шаг 5, у вас будут все входные данные, необходимые для расчета взвешенного по вероятности HPR.
где f = тестируемое значение f;
S = текущая цена опциона;
Z(T, U - Y) = теоретическая цена опциона, когда цена базового инструмента равна U - Y, а время, оставшееся до срока истечения, равно Т. Эту цену можно определить с помощью любой модели ценообразования, которую пользователь посчитает подходящей;
Р(Т, U) = 1-хвостая вероятность того, что цена базового инструмента равна U, когда время, оставшееся до истечения срока исполнения, равно Т. Это значение можно определить из любой формы распределения, которую пользователь посчитает подходящей;
Y = разность между арифметическим математическим ожиданием базового инструмента (согласно уравнению (5.10)) и текущей ценой.
Необходимо отметить, что форма распределения, используемого для Р(Т, U), не обязательно должна быть такой же, как и в модели ценообразования, применяемой для определения значений Z(T, U - Y). Например, вы используете модель фондовых опционов Блэка-Шоулса для определения значений Z(T, U - Y). Эта модель предполагает логарифмически нормальное распределение изменений цены, однако для определения соответствующего Р(Т, U) вы можете использовать другую форму распределения.
Шаг 7. Теперь мы можем начать поиск оптимального f с помощью метода итераций, перебирая все возможные значения f между 0 и 1, или с помощью метода параболической интерполяции, или любого другого одномерного алгоритма поиска. Подставляя тестируемые значения f в HPR (у вас уже есть HPR для каждого из возможных приращений цены между + 3 и - 3 стандартными отклонениями на дату истечения срока или указанную дату выхода), вы можете найти среднее геометрическое для данного тестируемого значения f. Для этого надо перемножить все HPR, и полученное произведение возвести в степень единицы, деленной на сумма вероятностей:
поэтому
где G(f, T) = среднее геометрическое HPR для данного тестируемого значения f;
f = тестируемое значение f;
S = текущая цена опциона;
Z(T, U - Y) = теоретическая цена опциона, когда цена базового инструмента равна U - Y, а время, оставшееся до срока истечения, равно Т. Эту цену можно определить с помощью любой модели ценообразования, которую пользователь посчитает подходящей;
Р(Т, U) = вероятность того, что базовый инструмент равен U, когда время, оставшееся до истечения срока исполнения, равно Т. Это значение можно определить из любой формы распределения, которую пользователь посчитает подходящей;
Y = разность между арифметическим математическим ожиданием базового инструмента (согласно уравнению (5.10)) и текущей ценой.
Значение f, которое в результате даст наибольшее среднее геометрическое, является оптимальным.
Мы можем оптимизировать f, определив оптимальную дату выхода. Другими словами, мы можем найти значение оптимального f для данного опциона на каждый день между текущим днем и днем истечения. Запишем оптимальные f и средние геометрические для каждой указанной даты выхода. Когда мы завершим эту процедуру, мы сможем найти ту дату выхода, которая даст наивысшее среднее геометрическое. Таким образом, мы получим день, когда должны выйти из позиции по опциону для того, чтобы математическое ожидание было наивысшим (т.е. среднее геометрическое было наивысшим). Мы также узнаем, какое оптимальное количество контрактов следует купить.
Теперь у нас есть математический метод, с помощью которого можно выходить из позиции по опциону и покупать опцион при положительном математическом ожидании. Если мы выйдем из позиции в день, когда среднее геометрическое максимально и оно больше 1,0, то следует покупать число контрактов, исходя из оптимального f, которое соответствует наивысшему среднему геометрическому. Математическое ожидание, о котором мы говорим, — это геометрическое ожидание. Другими словами, среднее геометрическое (минус 1,0) является математическим ожиданием, когда вы реинвестируете прибыли (арифметическое положительное математическое ожидание будет, конечно же, выше, чем геометрическое).
После того как вы найдете оптимальное f для данного опциона, можно преобразовать полученное значение в число контрактов, которое следует покупать:
(5.19) K=INT(E/(S/f)),
где К = оптимальное число опционных контрактов для покупки;
f= значение оптимального Г(от 0 до 1);
S = текущая цена опциона;
Е = общий баланс счета;
1NT() = функция целой части.
Для расчета TWR следует знать, сколько раз мы хотели бы воспроизвести эту же сделку в будущем. Другими словами, если наше среднее геометрическое составляет 1,001 и необходимо найти TWR, которое соответствует этой же игре 100 раз подряд, то TWR будет 1,001^100 = 1,105115698. Поэтому можно ожидать заработка в 10,5115698%, если провести эту сделку 100 раз. Формула для преобразования среднего геометрического в TWR задается уравнением (4.18):
(4.18) TWR = Среднее геометрическое ^ X,
где TWR = относительный конечный капитал;
Х = число раз, которое мы «повторяем» эту игру.
Мы можем определить и другие побочные продукты, например, геометрическое математическое ожидание (среднее геометрическое минус 1). Если мы возьмем наибольший возможный проигрыш (стоимость самого опциона), разделим его на оптимальное f и умножим на геометрическое математическое ожидание, то получим среднюю геометрическую сделку. Как вы уже заметили, при использовании метода оптимального f в торговле опционами появляется еще один побочный продукт — оптимальная дата выхода. Мы рассматривали позиции по опционам при отсутствии направленного движения цены базового инструмента. Для указанной даты выхода точки, смещенные на 3 стандартных отклонения выше и ниже, рассчитываются из текущей цены, таким образом, мы ничего не знаем о будущем направлении цены базового инструмента. В соответствии с математическими моделями ценообразования мы не получим положительное арифметическое математическое ожидание, если будем удерживать позицию по опциону до срока истечения. Однако, как мы уже видели, можно достичь положительного геометрического математического ожидания, если закрыть позицию в определенный день до срока истечения.
Если вы предполагаете определенное изменение цены базового инструмента, его можно учесть. Допустим, мы рассматриваем опционы на базовый инструмент, который в настоящее время стоит 100. Далее предположим, что на основе анализа рынка выявлен тренд, который предполагает цену 105 к дате истечения, и эта дата отстоит на 40 рыночных дней от сегодняшней даты. Мы ожидаем, что цена повысится на 5 пунктов за 40 дней. Если исходить из линейного изменения цены, то цена должна расти в среднем на 0,125 пунктов в день. Поэтому для завтрашнего дня (как дня выхода) мы возьмем значение U, равное 100,125. Для следующей даты выхода возьмем U, равное 100,25. К тому времени, когда указанная дата выхода станет датой истечения срока опциона, U будет равно 105. Если базовым инструментом является акция, то вы должны вычесть дивиденды из U, воспользовавшись уравнением (5.04). Тренд можно учитывать, если изменять каждый день значение U, исходя из сделанного прогноза. Так как уравнения (5.17а) и (5.176) изменятся, значения U повлияют на оптимальные f и побочные продукты. Отметьте, что в уравнениях (5.17а) и (5.176) используются новые значения U, т.е. происходит автоматическое приведение данных, следовательно, полученные оптимальные f будут основаны на данных, приведенных к текущей цене.