ффективной границе, так как его координаты (AHPR, V) максимизируют следующую функцию:
(7.0 la) Касательный портфель = MAX{(AHPR - (1 + RFR)) / SD},
где МАХ{} = максимальное значение;
AHPR =арифметическое среднее HPR, т. е. координата Е данного портфеля на эффективной границе;
SD = стандартное отклонение HPR, т. е. координата V данного портфеля на эффективной границе;
RFR== безрисковая ставка (risk-free rate).
В уравнении (7.0la) формула внутри скобок ({}) представляет собой отношение Шарпа. Отношение Шарпа для портфеля — это отношение ожидаемых избыточных значений прибыли к стандартному отклонению. Портфель с наибольшим отношением Шарпа является портфелем, где линия CML касается эффективной границы при данном значении RFR.
Следующая таблица показывает, как использовать уравнение (7.01а). В первых двух столбцах указаны координаты различных портфелей на эффективной границе. Координаты даны в формате (AHPR, SD), что соответствует осям Y и Х рисунка 7-1. В третьем столбце представлены данные, полученные из уравнения (7.01а), при безрисковой ставке 1,5% (AHPR= 1,015). Мы исходим из того, что HPR имеют квартальные значения, таким образом, квартальная безрисковая ставка 1,5% примерно равна годовой безрисковой ставке 6%. Например, для третьего набора координат (1,002; 0,00013) получим:
Проведем данный расчет для каждой точки на эффективной границе. Максимальное значение уравнения (7.01а) 0,502265 соответствует координатам (1,03;
0,02986), они задают точку, которая соответствует точке В на рисунке 7-1, где линия CML касается эффективной границы. Точка касания соответствует определенному портфелю на эффективной границе. Отношение Шарпа определяет наклон CML, причем самым крутым наклоном обладает касательная к эффективной границе.
| Продолжение | ||||
| AHPR | Эффективная граница SD Уравнение (7.01а) | Линия CML Процент AHPR | ||
| 1,00500 | 0,00083 | -12,0543 | 2,78% | 1,0154 |
| 1,00600 | 0,00119 | -7,53397 | 4,00% | 1,0156 |
| 1,00700 | 0,00163 | -4,92014 | 5,45% | 1,0158 |
| 1,00800 | 0,00212 | -3,29611 | 7,11% | 1,0161 |
| 1,00900 | 0,00269 | -2,23228 | 9,00% | 1,0164 |
| 1,01000 | 0,00332 | -1,50679 | 11,11% | 1,0167 |
| 1,01100 | 0,00402 | -0,99622 | 13,45% | 1,0170 |
| 1,01200 | 0,00478 | -0,62783 | 16,00% | 1,0174 |
| 1,01300 | 0,00561 | -0,35663 | 18,78% | 1,0178 |
| 1,01400 | 0,00650 | -0,15375 | 21,78% | 1,0183 |
| 1,01500 | 0,00747 | 0 | 25,00% | 1,0188 |
| 1,01600 | 0,00849 | 0,117718 | 28,45% | 1,0193 |
| 1,01700 | 0,00959 | 0,208552 | 32,12% | 1,0198 |
| 1,01800 | 0,01075 | 0,279036 | 36,01% | 1,0204 |
| 1,01900 | 0,01198 | 0,333916 | 40,12% | 1,0210 |
| 1,02000 | 0,01327 | 0,376698 | 44,45% | 1,0217 |
| 1,02100 | 0,01463 | 0,410012 | 49,01% | 1,0224 |
| 1,02200 | 0,01606 | 0,435850 | 53,79% | 1,0231 |
| 1,02300 | 0,01755 | 0,455741 | 58,79% | 1,0238 |
| 1,02400 | 0,01911 | 0,470873 | 64,01% | 1,0246 |
| 1,02500 | 0,02074 | 0,482174 | 69,46% | 1,0254 |
| 1,02600 | 0,02243 | 0,490377 | 75,12% | 1,0263 |
| 1,02700 | 0,02419 | 0,496064 | 81,01% | 1,0272 |
| 1,02800 | 0,02602 | 0,499702 | 87,12% | 1,0281 |
| 1,02900 | 0,02791 | 0,501667 | 93,46% | 1,0290 |
| 1,03000 | 0,02986 | 0,502265 (пик) | 100,02% | 1,0300 |
| 1,03100 | 0,03189 | 0,501742 | 106,79% | 1,0310 |
| Продолжение | ||||
| AHPR | Эффективная граница SD | Уравнение (7.01а) | Линия CML Процент AHPR | |
| 1,03200 | 0,03398 | 0,500303 | 113,80% | 1,0321 |
| 1,03300 | 0,03614 | 0,498114 | 121,02% | 1,0332 |
| 1,03400 | 0,03836 | 0,495313 | 128,46% | 1,0343 |
| 1,03500 | 0,04065 | 0,492014 | 136,13% | 1,0354 |
| 1,03600 | 0,04301 | 0,488313 | 144,02% | 1,0366 |
| 1,03700 | 0,04543 | 0,484287 | 152,13% | 1,0378 |
| 1,03800 | 0,04792 | 0,480004 | 160,47% | 1,0391 |
| 1,03900 | 0,05047 | 0,475517 | 169,03% | 1,0404 |
| 1,04000 | 0,05309 | 0,470873 | 177,81% | 1,0417 |
| 1,04100 | 0,05578 | 0,466111 | 186,81% | 1,0430 |
| 1,04200 | 0,05853 | 0,461264 | 196,03% | 1,0444 |
| 1,04300 | 0,06136 | 0,456357 | 205,48% | 1,0458 |
| 1,04400 | 0,06424 | 0,451416 | 215,14% | 1,0473 |
| 1,04500 | 0,06720 | 0,446458 | 225,04% | 1,0488 |
| 1,04600 | 0,07022 | 0,441499 | 235,15% | 1,0503 |
| 1,04700 | 0,07330 | 0,436554 | 245,48% | 1,0518 |
| 1,04800 | 0,07645 | 0,431634 | 256,04% | 1,0534 |
| 1,04900 | 0,07967 | 0,426747 | 266,82% | 1,0550 |
| 1,05000 | 0,08296 | 0,421902 | 277,82% | 1,0567 |
Следующий столбец «Процент» отражает процент активов, которые необходимо инвестировать в касательный портфель, если вы находитесь на линии CML при определенном значении стандартного отклонения. Другими словами, последняя строка в таблице (при стандартном отклонении 0,08296) соответствует наличию 277,82% ваших активов в касательном портфеле (основная сумма инвестиций и заем еще 1,7782 доллара на каждый инвестированный доллар для дальнейшего инвестирования). Процентное значение можно рассчитать, если знать стандартное отклонение касательного портфеля:
(7.02) P=SX/ST,
где SX = координата стандартного отклонения определенной точки на линии CML;
ST = координата стандартного отклонения касательного портфеля;
Р= процент активов, которые необходимо инвестировать в касательный портфель, чтобы быть на линии CML для данного значения SX.
Таким образом, если значение стандартного отклонения точки на линии CML (0,08296) из последней строки таблицы разделить на значение стандартного отклонения касательного портфеля (0,02986), мы получим 2,7782, что соответствует 277,82%.
В последнем столбце таблицы показано AHPR линии CML при данной координате стандартного отклонения. Оно рассчитывается следующим образом:
где ACML = AHPR линии CML при данной координате риска, или соответствующем проценте, рассчитанном из (7.02);
AT =значение AHPR касательной точки, полученное из (7.01а);
Р= процент в касательном портфеле, рассчитанный из (7.02);
RFR= безрисковая ставка.
Стандартное отклонение определенной точки на линии CML для данного AHPR рассчитывается следующим образом:
(7.04) SD=P*ST,
где SD = стандартное отклонение в данной точке на линии CML при определенном проценте Р, соответствующем данному AHPR;
Р = процент в касательном портфеле, рассчитанный из (7.02);
ST = значение стандартного отклонения касательного портфеля.
Геометрическая эффективная граница
Особенность рисунка 7-1 состоит в том, что он отображает арифметическое среднее HPR. Если прибыли реинвестируются, то для координаты эффективной границы по оси Y правильнее рассматривать геометрическое среднее HPR. Такой
подход многое меняет. Формула для преобразования точки на эффективной границе из арифметического HPR в геометрическое такова:
где GHPR = геометрическое среднее HPR;
AHPR = арифметическое среднее HPR;
V= координата дисперсии (она равна координате стандартного отклонения в квадрате).
Рисунок 7-2 Эффективная граница с реинвестированием и без реинвестирования
На рисунке 7-2 показана эффективная граница, соответствующая арифметическим средним HPR, и граница, соответствующая геометрическим средним HPR. Посмотрите, что происходит с эффективной границей при реинвестировании.
Построив линию GHPR, можно определить, какой портфель является геометрически оптимальным (наивысшая точка на линии GHPR). Вы можете найти этот портфель, преобразовав AHPR и V каждого портфеля на эффективной границе AHPR в GHPR с помощью уравнения (7.05) и выбрав максимальное значение GHPR. Однако, зная AHPR и V портфелей, лежащих на эффективной границе AHPR, можно еще проще определить геометрический оптимальный портфель, он должен удовлетворять следующему уравнению:
(7.06a) AHPR-1-V=0,
где АН PR = арифметическое среднее HPR, т.е. координата Е данного портфеля на эффективной границе;
V= дисперсия HPR, т.е. координата V данного портфеля на эффективной границе. Она равна стандартному отклонению в квадрате.
Уравнение (7.06a) также можно представить следующим образом: