Выдающийся математический логик Уиллард Ван Орман Куайн, предпринявший много безуспешных попыток упростить «Основания математики» Рассела и Уайтхеда, также выразил желание (по крайней мере, заявил о нем сравнительно недавно) воспользоваться как критерием математических результатов физической истинностью следующих из них выводов. В работе 1958 г., опубликованной в серии «Философское значение современной логики» Куайн утверждал:
Теорию множеств и всю математику разумнее представлять себе так, как мы представляем теоретические разделы естественных наук, — состоящими из истин, или гипотез, правильность которых подтверждается не столько сиянием безупречной логики, сколько косвенным систематическим вкладом, который они вносят в организацию эмпирических данных в естественных науках.
Джон фон Нейман, внесший весомый вклад в развитие формализма и теории множеств, охотно воспользовался тем же выходом из тупика, в котором оказалась современная математика. В знаменитой статье «Математик» (1947) фон Нейман, в частности, попытался объяснить, почему большинство математиков продолжают пользоваться классической математикой, хотя ни одной из нескольких школ в основаниях математики не удалось убедительно обосновать ее:
В конце концов именно классическая математика позволяет получать результаты, которые как полезны, так и красивы, и хотя прежней уверенности в ее надежности не стало, классическая математика все же покоится на столь же прочном основании, как, например, существование электрона. Следовательно, тот, кто принимает естественные науки, не может не принять классическую систему математики.
Итак, статус математики ничем не лучше статуса физики.
Даже Рассел, провозгласивший в 1901 г., что здание математической истины — логической и одновременно физической — останется незыблемым навеки, в работе 1914 г. был вынужден признать, что «наше знание геометрии физического мира носит синтетический, а не априорный характер». Иначе говоря, геометрия не следует из одной лишь логики. Во втором издании «Оснований математики» (1926) Рассел пошел на еще большие уступки. По его словам, в правильность логики и математики так же, как и в правильность уравнений Максвелла, мы «верим потому, что из наблюдений убеждаемся в правильности некоторых логических следствий, к которым они приводят».
Еще более удивительное утверждение высказал в 1950 г. Гёдель:
Роль пресловутых «оснований» сравнима с той функцией, которую в физических теориях выполняют поясняющие что-либо гипотезы… Так называемые логические или теоретико-множественные основания теории чисел или любой другой вполне сформировавшейся математической теории по существу объясняют, а не обосновывают их, так же, как в физике, где истинное предназначение аксиом состоит в объяснении явлений, описываемых физическими теоремами, а не в обосновании этих теорем.
Итак, все эти ведущие ученые, работающие в основаниях математики, сходятся на том, что попытка создать приемлемую для всех, логически безупречную математику провалилась. Математика — одна из разновидностей человеческой деятельности, и она подвержена всем слабостям и порокам, присущим всему человеческому. Любая формальная псевдологическая система не более чем псевдоматематика, фикция, даже легенда, хотя и не лишенная оснований.
Тот же критерий «правильности» математики приняли как рабочую гипотезу и многие другие выдающиеся математики, логики и философы, занятые вопросами оснований математики. Правильность математики достаточно твердо (хотя, возможно, и не абсолютно надежно) гарантируется ее применимостью; даже если время от времени в здание математики приходится вносить кое-какие поправки, то и это ничего не меняет по существу дела. Как сказал Уордсворт, «природной тверди верит ум, что строит навсегда».
Может показаться, что, принимая прагматический критерий применимости математики к естественным наукам, логицисты, формалисты, интуиционисты и представители теоретико-множественного направления в основаниях математики отказались тем самым от своих собственных принципов и убеждений. Но хотели они того или не хотели, принятый ими критерий являлся критерием истинности математики во все времена. Что заставляло верить в свою науку математиков, работавших в длившееся не одно столетие смутное время ее нелогичного развития (гл. V-VIII)? Не подозревая, что предлагаемые доказательства страдают дефектами, они считали, что им удалось получить некие результаты. Им было известно, что ни отрицательные, ни иррациональные, ни комплексные числа, как и покоящиеся на этом шатком основании алгебра и анализ, не имели под собой никакого логического фундамента. Но математики продолжали работать, считая, что применимость полученных ими результатов сама по себе является гарантией их правильности.
Надежда на применимость математики к естественным наукам (можно сказать, к эмпирическим данным) привела к результату, о котором стоит рассказать. Евклидов идеал предполагал, что, начав с аксиом, истинность которых не вызывает сомнений, мы затем станем выводить из них теоремы по раз и навсегда установленным логическим правилам, исключающим любую ошибку в рассуждениях. Полагаясь на применимость к физике, мы обращаем вспять всю концепцию математики. Если полученные на завершающем этапе заключения истинны в силу их применимости, то аксиомы по крайней мере разумны, хотя, возможно, и не единственны (могут существовать другие аксиомы, приводящие к тем же заключениям). Истинность, понимаемая как полезность (или применимость) математики, против течения не поплывет.
Лидерам различных школ в основаниях математики случалось иногда надолго отходить от собственных убеждений. Так, один из основателей интуиционизма Леопольд Кронекер получил превосходные результаты в области алгебры, никак не согласующиеся с его собственными стандартами строгости. Как заметил Пуанкаре, Кронекер предал забвению собственную философию. Брауэр, провозгласив философию интуиционизма в своей диссертации 1907 г., следующее десятилетие посвятил плодотворным исследованиям в области топологии, в которых полностью игнорировал интуиционистские доктрины.
Итогом всей этой бурной и разнообразной деятельности стал вывод о том, что правильная математика должна определяться не основаниями (каковыми бы те ни были), безошибочность которых можно и оспаривать, — о «правильности» математики следует судить по ее применимости к реальному миру. Математика — такая же эмпирическая наука, как и ньютоновская механика. Математика правильна, лишь покуда она действует, а если что-то не срабатывает, то в нее необходимо вводить надлежащие поправки. Математика не свод априорных знаний, каковой ее считали в течение более чем двух тысячелетий; она не абсолютна и не неизменна.
Но коль скоро математику надлежит рассматривать как одну из естественных наук, важно досконально представить себе, как устроены и как работают естественные науки. В любой такой науке производят наблюдения над природными явлениями или ставят специально организованные эксперименты, а затем на основании полученных результатов строят теории — движения, света, звука, теплоты, электричества, химического строения вещества и т.д. Все эти теории созданы человеком, и правильность их оценивается по соответствию сделанных на их основе предсказаний с последующими наблюдениями и экспериментами. Если предсказания подтверждаются (во всяком случае, в пределах ошибки эксперимента), то теория считается верной. Тем не менее впоследствии такая теория может быть опровергнута; поэтому ее всегда надлежит рассматривать как «полуэвристическую» теорию (где, впрочем, доли «теоретичности» и «эвристичности» могут варьироваться в весьма широких пределах), а не как абсолютную истину, входящую неотъемлемой составной частью в структуру физического мира. Мы привыкли к подобному взгляду на естественнонаучные теории, поскольку нам неоднократно приходилось быть свидетелями того, как одни естественнонаучные теории (корпускулярная теория света, флогистон, эфир, в какой-то степени даже ньютонова механика и волновая теория света Гюйгенса) опровергались и уступали место новым теориям.{175} Единственная причина, по которой подобный взгляд не распространялся на математику, состояла, как отметил Милль, в том, что элементарная арифметика и евклидова геометрия сохраняли эффективность на протяжении многих веков и люди ошибочно приняли эту эффективность за абсолютную истинность.{176} Однако не следует упускать из виду, что любая область математики предлагает только такую теорию, которая дееспособна. Покуда она эффективна, мы можем следовать ей, но впоследствии нам, возможно, понадобится более усовершенствованный вариант теории. Математика выполняет миссию посредника между человеком и природой, между внутренним миром человека и тем, что его окружает. Математика — это отличающийся необычайной смелостью линий грандиозный мост между нами и внешним миром. Горько сознавать, что концы его не закреплены ни в реальности, ни в умах людей.
Разум обладает способностью прозревать истину только в том, что строит по собственному плану и, хотя начать построение он может, руководствуясь своими идеями, на более позднем этапе ему необходимо с помощью эксперимента выведать у природы, насколько удачны предложенные им идеи. Вот тогда и наступает время для теории и для проверки ее соответствия реальному миру. В основном математика отличается от естественных наук одной особенностью: в то время как в физике на смену одним теориям приходили другие, радикально новые, в математике значительная часть логики, теории чисел и классического анализа успешно функционировали на протяжении многих веков. Более того, они применимы и поныне. Независимо от того, являются ли названные выше составные части математики абсолютно надежными или нет, они отлично нам служат — у нас нет ни оснований, ни права усомниться в них. Все эти разделы математики можно было бы назвать «квазиэмпирическими», ибо эмпирические их истоки потонули в глубине веков и для нас почти неразличимы.