IСтановление математических истин
Трижды счастливы души, которым дано
Подняться до истин подобных и звездное небо измерить!
Взорам их без помех дальние звезды открылись,
В цепи прочные мысли своей ширь эфира они заковали.
Так люди достигли небес — не как встарь,
В тщетной гордыне взгромоздивши горы на горы.
Любая цивилизация, достойная так называться, занимается поиском истин. Мыслящие люди не могли не пытаться понять многообразие явлений природы, разгадать тайну появления на Земле человека, постичь смысл жизни и выяснить предназначение человека. Во всех древних цивилизациях, кроме одной, ответы на эти вопросы давались религиозными лидерами и принимались всеми. Единственным исключением была цивилизация, созданная древними греками. Греки совершили открытие, величайшее из когда-либо совершенных человеком: они открыли могущество разума. Именно греки классического периода, достигшего наивысшего расцвета в период VI-III вв. до н.э., поняли, что человек наделен способностью мыслить, наделен разумом, который, опираясь на наблюдение или опыт, способен открывать истины.
Нелегко ответить на вопрос о том, что привело греков к их открытию. Первые попытки осмыслить окружающий человека мир были сделаны в Ионии, греческих поселениях в Малой Азии, и многие историки пытались объяснить это сложившейся в Ионии общественно-политической обстановкой. Так, в Ионии была более свободная, чем в европейской Греции, политическая структура, что повлекло за собой определенное пренебрежение к традиционным религиозным верованиям. Однако наше знание греческой истории до VI в. до н.э. носит настолько фрагментарный характер, что невозможно дать сколько-нибудь исчерпывающее объяснение отмеченному феномену.
Со временем греки принялись размышлять над политическими системами, этикой, юриспруденцией, рациональными путями воспитания молодежи и многими другими видами человеческой деятельности. Их главный вклад, оказавший решающее влияние на всю последующую культуру, состоял в том, что они взялись за изучение законов природы. Прежде и греческая, и другие цивилизации древности рассматривали природу как нечто хаотичное, капризное и даже устрашающее. Все происходящее в природе было необъяснимо или приписывалось воле богов, умилостивить которых можно было молитвами, жертвоприношениями и другими ритуалами. Древние вавилоняне и египтяне, создавшие великие цивилизации за 3000 лет до н.э., заметили периодичность в движениях Солнца и Луны и даже разработали на этой основе календари, но не придавали своим открытиям особого значения. И эти исключительные по глубине и важности наблюдения не оказали решающего влияния на отношение людей к природе.
Греки осмелились взглянуть природе в лицо. Древнегреческие мыслители отвергли традиционные доктрины, веру в сверхъестественные силы, догму, сбросив путы, сдерживающие мысль. Греки первыми начали изучать разнообразные загадочные и сложные явления природы и предприняли попытку понять их. Свой разум они противопоставили хаосу на первый взгляд случайных явлений природы и вознамерились пролить на них свет.
Обладая беспредельной любознательностью и незаурядным мужеством, греки ставили вопросы (и находили ответы на них), которые служили пищей для серьезных размышлений и решались мыслителями высочайшего ранга. Лежит ли в основе всего, что происходит во Вселенной, некий единый план? Обязаны ли растения, животные, люди, планеты, свет, звук и т.д. своим появлением игре случая или же они являются частью какого-либо грандиозного плана? Обладая богатым воображением — что способствовало созданию нового взгляда на мир, — греки выработали концепцию Вселенной, ставшую основной на всех последующих этапах развития европейской мысли.
Греческие мыслители стали по-новому относиться к природе. Их отношение было рациональным, критическим и нерелигиозным. Греки отказались от мифов, равно как и от веры в богов, по своей прихоти правящих человеком и всем миром. Постепенно греческие мыслители создали учение об упорядоченной природе, бесперебойно функционирующей по единому плану. Все явления, доступные нашим органам чувств, — от движения планет до трепетания листьев на дереве — грекам удалось уложить в четкую, согласованную в деталях, понятную картину. Короче говоря, оказалось, что природа устроена рационально, и единый план, лежащий в ее основе, хотя и не поддается воздействию со стороны человека, вполне постижим.
Греки не только первыми принялись за поиск закона и порядка в природе, но и были первыми гениальными открывателями сокровенных схем, которым, как показывали наблюдения, следует природа. Так, греки дерзнули заняться поиском схемы, таящейся за грандиознейшими зрелищами, открытыми взору человека, — движением ослепительно сверкающего Солнца, сменой фаз Луны, чей лик являет богатейшую гамму оттенков, яркостью планет, бескрайней панорамой звездного неба, загадочными солнечными и лунными затмениями.
Первые попытки дать рациональное объяснение природы и устройства Вселенной предприняли ионийские философы в VI в. до н.э. Каждый из знаменитых философов этой эпохи: Фалес, Анаксимандр, Анаксимен, Гераклит и Анаксагор — пытался объяснить устройство Вселенной, принимая за основу какую-нибудь одну субстанцию. Фалес считал, например, что все состоит из воды, находящейся в газообразном, жидком или твердом состоянии. Объяснение многих явлений Фалес связывал с водой. Выбор его не столь неразумен, если учесть, что облака, туман, роса, дождь и град — различные состояния воды и что без воды нет жизни: она питает посевы и является основой органической жизни. Даже тело человека, как известно, на 90% состоит из воды.
Натурфилософия ионийцев представляла собой скорее набор дерзких умозаключений, хитроумных догадок и блестящих интуитивных прозрений, чем результат обширных и тщательно проведенных научных исследований. Философы ионийской школы так страстно стремились увидеть картину мира в целом, что обратились к широким обобщениям, минуя промежуточные этапы. Но вместе с тем они порвали с прежними представлениями, имевшими в основном мифологический характер, и предложили материалистическое, согласующееся с наблюдениями объяснение мироздания и природных явлений. Фантастические представления о природе ионийцы заменили рациональным подходом. Ионийцы дерзнули объять разумом Вселенную, перестав полагаться на богов, духов, призраков, демонов, ангелов и другие мистические силы, якобы управляющие явлениями природы. Квинтэссенцию воззрений ионийцев как нельзя лучше отражают слова Анаксагора: «Разум правит миром».
Решающим шагом, позволившим рассеять ореол таинственности и мистицизма, окружавший явления природы, и «навести порядок» в их кажущемся хаосе, стало применение математики. Этот шаг потребовал от греков не меньшей прозорливости, интуиции и глубины, чем вера в силу человеческого разума. План, по которому построена Вселенная, имеет математический характер — и только математика позволяет человеку открыть этот план.
Первой научной школой, предложившей свой вариант «математизированного плана» строения Вселенной, были пифагорейцы, возглавляемые Пифагором Самосским (около 585-500 гг. до н.э.). Пифагорийцы жили на юге Италии. Они черпали вдохновение и заимствовали свои взгляды из религиозных представлений греков, в которых центральное место отводилось очищению души и ее освобождению от скверны и узилища тела. Натурфилософия пифагорейцев носила ярко выраженный рациональный характер. Пифагорейцев поразило, что весьма различные в качественном отношении явления обладают одинаковыми математическими свойствами. Значит, решили пифагорейцы, именно математические свойства выражают сущность явлений. Если говорить более точно, то пифагорейцы видели сущность явлений в числе и числовых отношениях. В их объяснении природы числу отводилась роль начала начал. Пифагорейцы считали, что все тела состоят из фундаментальных частиц, «единиц бытия», которые в тех или иных комбинациях соответствуют различным геометрическим фигурам. В сумме эти единицы представляют материальный объект. Число было материей и формой Вселенной. Отсюда и основной тезис учения пифагорейцев: «Все вещи суть числа». А поскольку число выражало «сущность» всего, то объяснять явления следовало только с помощью чисел.
Учение пифагорейцев может показаться нам странным, потому что для нас числа — абстрактные понятия, а вещи — физические, или материальные, объекты. Привычное нам понятие числа возникло в результате абстрагирования — а ранним пифагорейцам эта абстракция была чужда. Для них числа были точками или частицами. Говоря о треугольных, квадратных, пятиугольных и других числах, которые мы сегодня называем фигурными, пифагорейцы имели в виду наборы точек, камешков, или других мелких предметов, расположенных в форме треугольников, квадратов и других геометрических фигур (рис. 1.1-1.4).
Рис. 1.1. Треугольные числа.
Рис. 1.2. Квадратные числа.
Рис. 1.3. Пятиугольные числа.
Рис. 1.4. Шестиугольные числа.
Хотя дошедшие до нас фрагменты исторических документов не позволяют установить точную хронологию событий, не вызывает сомнения, что пифагорейцы, развив и усовершенствовав свои учения, начали рассматривать числа как абстрактные понятия, а объекты — как конкретные реализации чисел. Именно в смысле такого более позднего различия, по-видимому, надлежит понимать высказывание знаменитого пифагорейца V в. до н.э. Филолая: «Если бы ни число и его природа, ничто существующее нельзя было бы постичь ни само по себе, ни в его отношении к другим вещам… Мощь чисел проявляется, как нетрудно заметить… во всех деяниях и помыслах людей, во всех ремеслах и музыке».
Свести музыку к простым отношениям чисел пифагорейцам удалось после того, как они совершили два открытия: во-первых, что высота тона, издаваемого колеблющейся струной, зависит от ее длины и, во-вторых, что гармонические созвучия издают одинаково натянутые струны, длины которых относятся между собой как целые числа ([5], с. 393-434). Например, гармоническое созвучие издают две одинаково натянутые струны, из которых одна вдвое длиннее другой. На современном языке интервал между тонами, издаваемыми такими двумя струнами, называется