енности некоторых усовершенствований в основаниях математики, Пуанкаре не без гордости заметил:
Достигли ли мы абсолютной строгости? Ведь на каждой стадии эволюции наши предки также верили в то, что достигли ее. Если они ошибались, то не ошибаемся ли и мы, подобно им?.. В новейшем анализе — если мы пожелаем взять на себя труд быть строгими — находят место силлогизмы и обращения к этой интуиции чистого числа, единственной интуиции, которая не может обмануть нас. Можно сказать, что ныне достигнута абсолютная строгость.
Пуанкаре повторил эти преисполненные гордости слова в одном из очерков, составивших его книгу «Ценность науки» (1905) [1]. И эта гордость вполне понятна, если учесть, какая проницательность потребовалась, чтобы добиться строгости в различных разделах математики. Наконец-то математика обрела основания, которые с радостью приняли все, за исключением нескольких тугодумов. Математикам было чему радоваться.
Один из персонажей «Кандида» Вольтера философ доктор Панглосс даже в ожидании повешения твердит о «лучшем из миров». Так и математики, не ведая, что вскоре их ожидает взрыв ими же заложенного сокрушительного заряда, с энтузиазмом рассуждали о том, что достигли наилучшего из возможных состояний. Между тем тучи уже сгущались, и если бы математики, собравшиеся в 1900 г. на конгресс, не были так поглощены заздравными тостами, то они без труда бы заметили их.
Но и среди участников достопамятного конгресса 1900 г. нашелся человек, который прекрасно понимал, что в основаниях математики разрешены далеко не все проблемы. На этом конгрессе Давид Гильберт выступил с знаменитым докладом, где перечислил 23 проблемы [51], решение которых, по его мнению, девятнадцатое столетие завещало двадцатому. Первая из названных проблем состояла из двух частей. Георг Кантор ввел трансфинитные числа для обозначения мощности (числа элементов) бесконечных множеств. В этой связи Гильберт предложил доказать, что трансфинитное число, выражающее мощность множества всех вещественных чисел, является ближайшим к трансфинитному числу, выражающему мощность множества всех целых чисел. К этой проблеме мы вернемся в гл. IX.
Во второй части первой проблемы Гильберта говорилось о необходимости поиска метода, который позволил бы переупорядочить вещественные числа, чтобы их множество стало вполне упорядоченным. С понятием вполне упорядоченного множества мы подробнее познакомимся в дальнейшем, а пока достаточно лишь сказать, что если множество всех вещественных чисел вполне упорядочено, то в любой извлеченной из него подпоследовательности должен существовать первый элемент. При обычном упорядочении вещественных чисел это требование не выполняется: например, если мы рассмотрим все числа, которые больше, например, 5, то в этом подмножестве первый элемент отсутствует.
Вторая проблема Гильберта была более очевидной и имела более широкое значение. Мы уже упоминали о проблеме непротиворечивости, поднятой в связи с неевклидовыми геометриями, и о доказательствах их непротиворечивости, исходивших из предположения о непротиворечивости евклидовой геометрии. Используя аналитическую геометрию, Гильберт показал, что евклидова геометрия непротиворечива, если непротиворечива арифметика. И содержание второй проблемы Гильберта составляло требование дать доказательство непротиворечивости арифметики.
Обе части первой проблемы Гильберта были известны еще Кантору. Паш, Пеано и Фреге обращали внимание также и на проблему непротиворечивости. Но только Гильберт в своем докладе, 1900 г. в полной мере продемонстрировал фундаментальный, непреходящий характер этих проблем. Большинство математиков, слушавших доклад Гильберта, несомненно, считали проблемы непротиворечивости тривиальными, несущественными, своего рода математическими курьезами и придавали большее значение другим проблемам, сформулированным Гильбертом. Что же касалось непротиворечивости арифметики, то она ни у кого не вызывала сомнений. То, что многие сомневались в непротиворечивости неевклидовой геометрии, вполне понятно, если учесть, сколь необычной и даже противоречащей интуиции была эта геометрия. Но вещественные числа находились в обращении более пяти тысяч лет, и о них было доказано бесчисленное множество теорем. Никаких противоречий при этом обнаружено не было. Аксиомы вещественных чисел приводили к хорошо известным теоремам. Как же система аксиом вещественных чисел могла быть противоречивой?
Но всякие сомнения в том, насколько мудро поступил Гильберт, включив названные выше проблемы в число 23 наиболее важных проблем и, более того, отведя им почетные первые места, вскоре рассеялись. Тучи, собравшиеся над математикой, закрыли теперь весь горизонт. Началась гроза, и некоторые математики услышали раскаты грома. Но даже Гильберт не мог предвидеть все неистовство бури, обрушившейся на здание математики.
IXИзгнание из рая: новый кризис оснований математики
В математике нет настоящих противоречий.
Логика — это искусство уверенно совершать ошибки.
Итак, после многовековых блужданий в тумане математикам как будто бы удалось к началу XX в. придать своей науке ту идеальную структуру, которая была декларирована Аристотелем и, казалось, осуществлена Евклидом в его «Началах». Математики наконец-то полностью осознали необходимость неопределяемых понятий; определения были очищены от неясных или вызывавших какие-либо возражения терминов; некоторые области математики были построены на строгой аксиоматической основе; на смену умозаключениям, опиравшимся на интуитивные соображения или эмпирические данные, пришли надежные, строгие, дедуктивные доказательства. Даже законы логики были расширены настолько, что охватывали теперь те типы рассуждений, которые ранее математики использовали неформально и порой неявно, хотя, как показывал опыт, эти рассуждения всегда приводили к правильным результатам. Как уже говорилось, в начале XX в. у математиков были поводы торжествовать. Но пока они праздновали свои победы, уже назревали события, которые в дальнейшем лишили математиков покоя в гораздо большей степени, чем создание неевклидовой геометрии и кватернионов в первой половине XIX в. По меткому замечанию Фреге, «едва здание было достроено, как фундамент рухнул».
Случившееся нельзя было считать полной неожиданностью: еще Гильберт обратил внимание математиков на то, что некоторые проблемы в основаниях математики оставались нерешенными (гл. VIII). Самой важной из этих проблем, по мнению Гильберта, была проблема установления непротиворечивости тех или иных аксиоматизируемых разделов математики. Гильберт отчетливо понимал, что аксиоматический метод базируется на исходном списке неопределяемых понятий, а также аксиом, которым эти понятия должны удовлетворять. Интуитивно смысл всех фигурирующих в математической теории понятий и аксиом был вполне ясен. Такие математические понятия, как точка, прямая и плоскость, имеют вполне конкретные физические аналоги, а аксиомы евклидовой геометрии содержат некоторые физически ясные утверждения, касающиеся этих понятий. Тем не менее, как подчеркивал Гильберт, абстрактная, чисто логическая схема евклидовой геометрии не требует, чтобы понятия точки, прямой и плоскости были привязаны к какой-то одной, например «физической», интерпретации. Что же касается аксиом, то их формулируют, вкладывая в них как можно меньше, с тем чтобы извлечь из них возможно больше. И хотя аксиомы принято формулировать так, чтобы их физический смысл не вызывал сомнений, тем не менее существует опасность, что сформулированные даже самым тщательным образом аксиомы могут оказаться противоречивыми, т.е. привести к противоречию. Паш, Пеано и Фреге сознавали эту опасность, и в своем докладе на II Международном математическом конгрессе 1900 г. Гильберт также обратил внимание математиков на это обстоятельство.
Слабости абстрактной формулировки понятий, отношений и фактов, заимствованных из физической реальности, можно проиллюстрировать на таком примере, конечно весьма грубо отражающем суть дела. Представим себе, что было совершено какое-то преступление (многие, возможно, согласились бы с тем, что математика — это преступление). Следователь, которому поручено раскрыть преступление, располагает неопределяемыми понятиями: преступник, время совершения преступления и т.д. Все обнаруживаемые в ходе следствия факты следователь скрупулезно записывает. Это его аксиомы. Затем следователь начинает делать логические выводы в надежде, что это позволит ему выдвинуть какие-то версии. Весьма вероятно, что его выводы, хотя они и основаны на правдоподобных предположениях относительно происходивших событий, окажутся противоречивыми, так как исходные предположения либо не соответствуют подлинным событиям, либо недостаточно точно их отражают. В реальной же (физической) ситуации никаких противоречий нет и быть не может. Было совершено преступление, был преступник. Но логические выводы могут привести следователя, скажем, к заключению, что преступник одновременно и низкого роста (около 1,5 м), как следует из анализа следов преступления, и высокого роста (около 1,8 м), как показывает кто-то из свидетелей.
Вряд ли математики сочли бы ключевой проблемой доказательство непротиворечивости нескольких аксиоматических структур, если бы не дальнейшее развитие событий. К началу XX в. математики отчетливо сознавали, что в вопросах непротиворечивости они не могут полагаться на «физическую реализуемость» математики. Ранее, когда евклидова геометрия считалась геометрией реального физического пространства, мысль о том, что непрерывная дедуктивная цепочка теорем может когда-нибудь привести к противоречию, казалась дикой. Но к началу XX в. стало ясно, что евклидова геометрия представляет собой лишь логическую структуру, возведенную на фундаменте из примерно двадцати аксиом, не данных нам богом или природой, а сформулированных человеком. В такой системе вполне могли быть и противоречащие друг другу теоремы. Подобное открытие обесценивало многое из того, что было достигнуто ранее: достаточно было где-нибудь оказаться двум взаимно исключающим теоремам, как их могли использовать для доказательства новых противоречий и полученные в таком случае новые теоремы не имели бы смысла. Гильберт отверг столь страшную возможность, доказав, что евклидова геометрия непротиворечива, если непротиворечива логическая структура арифметики, т.е. система вещественных чисел. Предложенное Гильбертом доказательство в тот период еще не вызывалось насущной необходимостью и потому не привлекло особого внимания математиков (гл. VIII).