Покажем теперь, как следует производить действия над такими приближенными числами.
Сложение и вычитание. Пусть требуется к длине 422 метра прибавить 6,75 м. Если сложить эти числа как точные, получится 428,75. Но оба числа — приближенные. «422 метра» не означает ровно 422 метра, а 422 метра и еще несколько неизвестных десятых, сотых и т. д. долей метра, которыми при измерении пренебрегли. Значит, мы можем изобразить приближенное число 422 так
422,???
где знаки??? означают неизвестные цифры десятых, сотых и т. д. долей. Точно так же и приближенное число 6,75 можно изобразить так
6,75?.
Если мы сложим эти числа в таком изображении, т. е. напишем
то результат получится такой:
428,???.
(Надо иметь в виду, что? + 5 =? т. е. неизвестная цифра + 5 есть, конечно, неизвестная цифра. Точно так же? + 7 =?. Но так как эта цифра заведомо больше 7, то, отбрасывая ее, мы должны предыдущую цифру увеличить.)
Итак, в результате сложения мы получили 429 целых и неизвестное число десятых, сотых и т. д. долей. Это значит, что сумма приближенных чисел 422 и 6,75 есть приближенное число 429.
Вообще правило сложения приближенных чисел таково: надо сохранять в результате всего столько цифр после запятой, сколько их имеется в данном числе с наименьшим числом цифр после запятой. В нашем случае у одного слагаемого совсем нет цифр после запятой; поэтому и в результате надо откинуть все цифры после запятой. То же правило относится и к вычитанию. Приведем несколько примеров применения этого правила.
Умножение и деление. Пусть нам нужно найти площадь прямоугольника, стороны которого 22,4 метра и 4,3 метра. Перемножая эти числа как точные, мы получили бы 96,32 кв. метра. Но мы знаем, что оба числа приближенные и что после 4-х десятых долей в первом числе и после 3-х десятых во втором имеются еще неизвестные цифры. Написав эти числа в виде 22,4? и 4,3? и перемножая их, получаем:
Мы видим, что верных цифр в этом произведении всего две и что результат умножения есть не 96,32, а приближенное число 96.
Общее правило умножения приближенных чисел таково: в результате сохраняют всего столько цифр, сколько их имеется в том из данных чисел, у которого число цифр меньше.
То же правило относится и к действию деления. (При подсчете числа цифр не принимаются во внимание нули, стоящие впереди и в конце числа, т. е. 0,018 считается за двузначное, 3240 — за трехзначное.)
Приведем примеры:
76,3 × 1,6= 120,
2,31 × 2 = 4,6,
3,445 × 2,3 = 7,9,
82: 3,25 = 25.
Степени и корни. При возвышении во вторую и третью степень, а также и при извлечении корня второй и третьей степени в результате сохраняют столько же цифр, сколько их в данном числе (т. е. в возвышаемом числе или в подкоренном).
К этим правилам прибавим еще два правила:
1) Когда результат какого-нибудь действия не окончательный (т. е. когда с ним предстоит еще производить другие действия), то сохраняют одной цифрой больше, чем требуют предыдущие правила.
2) Когда приходится перемножать два числа, состоящие не из одинакового числа цифр, то более длинное число можно округлить, оставив только одну лишнюю цифру. То же правило относится и к действию деления. Например, взамен умножения
3,44 × 5 умножают 3,4 × 5; взамен деления 3,3: 76,65 делят 3,3:76,6.
История одной игрыВильгельм Аренс[35]
I
Около полувека назад — в конце 70-х годов — вынырнула в Соединенных Штатах одна игра, «игра в 15»; она быстро распространилась по всему цивилизованному миру и, благодаря несчетному числу усердных игроков, которых она заполонила, превратилась в настоящее общественное бедствие, в истинный бич человечества. Заглавный рисунок, заимствуемый из одного американского сочинения, изображает эту игру: коробку с 15 шашками, перенумерованными от 1 до 15, и одним свободным полем. Перед ящиком мы видим жертву игорной страсти, одного из многочисленных одержимых этой манией; в разгар полевых работ он, поддавшись внезапно приступу игорной лихорадки, кинулся на колени перед демоном, которому поклонялся. Растерянность видна во всей его фигуре, во всех его чертах; лицо искажено отчаянием; правая рука нервно сжата в кулак; левая рука и наморщенный лоб охвачены судорогой. Кожа головы, после ряда усилий, скинула шляпу; волосы дико растрепаны. Забыт труд, покинуты лошадь и плуг; на нем уселась пара птиц; даже заяц, обычно столь пугливый, сознает, что этот потерянный для мира маньяк, всецело погруженный в 15 шашек своей коробки, не представляет для него ни малейшей опасности.
То же наблюдалось и по эту сторону океана, в Европе. Здесь можно было даже в конках видеть коробочки с 15 шашками в суетливых руках, передвигавших шашки по разным направлениям. В конторах и торговых помещениях хозяева приходили в отчаяние от игорного увлечения своих служащих и вынуждены были строгими угрозами воспретить им игру в часы занятий и торговли. Оборотливые содержатели увеселительных заведений ловко использовали эту манию и устраивали у себя большие игорные турниры. Так описывает гамбургский математик Г. Шуберт зарождение игорной эпидемии в его городе.
Даже в торжественные залы германского рейхстага сумел проникнуть змий-искуситель. «Эта вещица поистине околдовывала. Как сейчас вижу я в рейхстаге седовласых людей, сосредоточенно рассматривающих в своих руках квадратную коробочку», — рассказывал, спустя десятилетия, известный географ и математик Зигмунд Гюнтер, бывший в годы игорной эпидемии депутатом рейхстага.
В Париже опасная игра нашла себе приют под открытым небом, на бульварах, и быстро распространилась из столицы по всей провинции.[36] Вскоре, говорят французские источники, не было в провинции ни одного уединенного сельского домика, где не угнездился бы этот паук, подстерегая жертву, готовую запутаться в его сетях. Настоящий бич человечества, вот какой рисуется эта игра одному французскому автору. «Бедствие, более страшное, чем табак и алкоголь!» — восклицает он в комическом отчаянии.
В 1880 г. игорная лихорадка достигла, по-видимому, своей высшей точки. Вся пестрая, разноязычная литература, порожденная этой игрой, относится к немногим годам между 1879 и 1883.
Вскоре после этого демон, тиранивший стольких людей, был повержен и побежден. Математика — вот его победительница, и победа не была для нее особенно трудной, между тем как «демон алкоголя и табака» никогда, конечно, не будет следовать за ее триумфальной колесницей, сколько бы славы ни сулила победа над ним.
Когда демон был оружием математики повержен во прах, источник мучений столь многих и многих стал ясен для всех. Математическая теория игры обнаружила, что из многочисленных задач, которые могут быть предложены, только половина разрешима, между тем как другая не разрешима никакими ухищрениями.
Стало ясно, почему иные задачи не поддавались самым упорным усилиям; стало ясно, почему устроители турниров отваживались назначать огромные премии за разрешения некоторых задач, и ни один из многочисленных соревнователей не смог овладеть ими.
В этом отношении всех превзошел сам изобретатель игры, предложивший издателю нью-йоркской газеты для воскресного прибавления неразрешимую задачу с премией в 1000 долларов за ее разрешение; и так как издатель колебался, то изобретатель выразил полную готовность внести названную сумму из собственного кармана.
Мы до сих пор не назвали имени изобретателя:
Самуэль (Сэм) Лойд. Он родился в городе Филадельфии. В шахматных кругах он приобрел широкую известность как составитель остроумных задач; кроме того, им придумано множество иных головоломок. Мы воспроизводим здесь портрет
этого изобретательного человека. Любопытно, что ему не удалось получить в Америке патента на придуманную им игру. Хотя Лойд не мог предусмотреть чудовищного успеха своего изобретения и совершенно не ожидал его, он подал заявление о патенте. Согласно инструкции, он должен был представить «рабочую модель» для исполнения пробной партии; он предложил чиновнику патентного бюро неразрешимую задачу, и когда последний осведомился, разрешима ли она, изобретатель должен был ответить: «Нет, это математически невозможно». — «В таком случае, — последовало возражение, — раз задача не разрешима, то не может быть и рабочей модели, а без модели нет и патента». Странным образом Лойд удовлетворился этой мнимой логикой и этой удивительной резолюцией, — но, вероятно, был бы более настойчив, если бы хоть отчасти предвидел неслыханный успех своего изобретения.
II
Изобретенная в Америке, игра эта получила там и первую свою математическую теорию — в трудах американских математиков Вулсей Джонсона и Вильяма Сторн. Впрочем, независимо от них и вскоре вслед за ними развил основания этой теории также ряд других математиков в различных странах Европы.
Сейчас мы набросаем очерк этой теории, по крайней мере, в главных ее чертах. Задача игры состоит обыкновенно в том, чтобы посредством последовательных передвижений, допускаемых наличием одного свободного поля, перевести любое начальное расположение 15 шашек в нормальное, т. е. в такое, при котором шашки идут в порядке своих чисел: в верхнем левом углу 1, направо — 2, затем 3, потом в верхнем правом углу 4; в следующем ряду слева направо: 5, 6, 7, 8, и т. д. Такое нормальное конечное расположение мы даем здесь на чертеже (схема I).
Вообразите теперь любое начальное расположение шашек, т. е. такое, при котором 15 шашек размещены в пестром беспорядке. Нетрудно убедиться, что рядом передвижений всегда можно привести шашку № 1 на место, занимаемое ею на чертеже. Точно так же возможно, не трогая шашки 1, привести шашку 2 на место рядом с ней, которое она занимает на схеме I.
Схема I