Создание позиционной системы счисления является, пожалуй, самым важным научным открытием всех времен. Неслучайно, что научной революции XV века в Европе непосредственно предшествовало широкое распространение на континенте десятеричной индо-арабской позиционной системы счисления (которую мы используем и сегодня). Позиционная система счисления позволяет зафиксировать любое число – вне зависимости от его размера – всего несколькими простыми символами. В египетской и римской системах положение символа не имело глобального значения. Вместо этого значение числа определялось самим символом, а это означало, что обе культуры были логически ограничены в развитии конечным количеством фигур, которые они могли представлять. Однако шумеры могли изобразить любое число на выбор с помощью своего набора из 60 символов. Их развитая позиционная система позволяла им выполнять такие сложные математические действия, как решение квадратных уравнений (которые естественным образом возникают в сельском хозяйстве при распределении земли) и тригонометрических задач.
Возможно, основная причина, по которой шумеры использовали шестидесятеричную систему, заключалась в том, что она значительно облегчала деление и операции с дробями. Число шестьдесят имеет множество делителей: на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 и 60 оно делится ровно, без остатка. Попытка разделить фунт (состоящий из 100 пенсов) или доллар или евро (состоящие из 100 центов) на шестерых вызовет разногласия по поводу того, кто получит оставшиеся четыре пенни. Шумерскую мину, состоящую из 60 сиклей, однако, можно было поровну поделить между 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 или даже 30 людьми ко всеобщему удовлетворению. Шумерское 60-ричное основание также позволяет легко и точно поделить торт, например, на 12 равных кусков. Одна двенадцатая в шестидесятеричной системе составляет всего лишь пять шестидесятых. В шумерской «десятичной» записи – это число выглядело бы красиво и аккуратно – 0,5 (первое число после разделителя показывает количество шестидесятых долей, а не десятых), в отличие от уродливых 0,083333… (8 сотых, 3 тысячных, 3 десятитысячных и т. д.) в нашей десятеричной системе. По этой причине шумерские астрономы разделили купол ночного неба – словно круглый торт – на 360 (то есть 6 × 60) градусов, что серьезно облегчило астрономические прогнозы.
Древние греки, основываясь на шумерской традиции, делили каждый градус на 60 минут (обозначается ‘) и каждую минуту на 60 секунд (обозначается ’’). Вообще, слово «минута» означает чрезвычайно маленькую долю (в нашем случае круга), а слово «секунда» – второй уровень деления градуса. В астрономии до сих пор используется шестидесятеричная система позиционного счисления, позволяющая фиксировать размеры объектов, которые сильно отличаются в ночном небе. Круг – символ, обозначающий геометрический градус (как, например, в выражении 360°), который сегодня используется и для обозначения температуры, имеет астрономические корни: считается, что изначально так изображали солнце. Менее романтическая (и более математическая) версия предполагает, что решение применять надстрочный символ ˚ для градусов появилось естественным путем после того, как для его долей – минут и секунд, были использованы надстрочные символы ‘ и ’’; так была завершена последовательность ˚, ‘, ’’.
Время
Возможно, мы не слишком хорошо знакомы с минутами и секундами, используемыми в астрономии, но есть гораздо более известная шестидесятеричная система, которая регулирует ритмы нашей повседневной жизни: время. С момента, когда мы просыпаемся, до момента, когда мы засыпаем, вольно или невольно мы часто думаем в шестидесятеричной системе. Неслучайно часы, временны́е отрезки каждого нашего дня, разбиты на 60 минут, а каждая минута – на 60 секунд.
Сами часы, однако, собраны в группы по 12. Именно древние египтяне разделили день на 24 сегмента (несмотря на то, что в основном использовали десятеричное основание): 12 дневных и 12 ночных часов, повторяя количество месяцев в солнечном календаре. При дневном свете время фиксировалось с помощью солнечных часов с 10 делениями. Были добавлены два сумеречных часа, по одному в начале и в конце дня – для периодов, когда солнечные часы бесполезны. Ночь была аналогичным образом разделена на 12 частей, привязанных ко времени восхода определенных звезд на небе.
Строгое деление дня на 12 световых часов заставляло египтян менять длительность каждого дневного часа в течение года в зависимости от сезонной освещенности: летом часы было длиннее, зимой – короче. Древние греки поняли, что для точных астрономических вычислений необходимо сделать временны́е отрезки равными, поэтому они разделили сутки на 24 часа равной длины. Однако укоренилась эта идея лишь с появлением первых механических часов в Европе в XIV веке. К началу XIХ века надежные механические часы получили широкое распространение. Большинство городов Европы разделили свой день на два периода по 12 равных часов.
Разделение дня на два 12-часовых периода до сих пор является стандартным почти во всем англоязычном мире. В большинстве стран, однако, используются 24-часовые шкалы, на которых восемь часов утра (08:00) и восемь часов вечера (20:00), например, отображаются иначе, чем в странах с 12-часовой шкалой. США, Мексика, Великобритания и большая часть стран Содружества наций (Австралия, Канада, Египет, Индия и т. д.), однако, все еще используют сокращения a. m. (ante meridiem) и p. m. (post meridiem) или просто «до полудня» и «после полудня», чтобы отличить восемь утра от восьми вечера. Это расхождение иногда вызывает проблемы, особенно у меня.
Когда я был аспирантом, мне предложили посетить коллег в Принстоне. Я немного нервничаю в путешествиях – это наследственное от отца. Каждый раз, когда я отправляюсь из дома в международную поездку, у меня в ушах звучит его озабоченный голос, перечисляющий: «Деньги, билеты, паспорта». Примерно так же мне запомнилась теорема Пифагора о прямоугольных треугольниках: «Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов» – с ирландским акцентом моего школьного учителя математики, мистера Рида.
Неудивительно, что в аэропорт Хитроу я примчался на четыре часа раньше, чем следовало. Почти три часа я слонялся по аэропорту, пока не столкнулся со своим более уравновешенным и опытным руководителем, чей рейс был чуть раньше моего. Мой академический визит был продуктивным, но из-за своей «паранойи путешественника» в последний день пребывания в США я сорвался с экскурсии по Нью-Йорку, чтобы пораньше вернуться в Принстон и полноценно выспаться перед отъездом. В тот вечер, когда сумки были упакованы, комната вычищена, деньги, билеты и паспорта проверены и перепроверены, я поставил будильник на четыре часа утра, чтобы ни в коем случае не опоздать на свой девятичасовой рейс.
Дисциплинированно проснувшись в четыре, я сел на поезд из Принстона. Через два с половиной часа я прибыл в международный аэропорт Ньюарк – но не обнаружил своего рейса на табло вылета. Я проверял его снова и снова, но между рейсом в 8:59 до Сент-Люсии и рейсом в 9:01 до Джексонвилля не было моего. Я подошел к информационной стойке и обратился к сидящей там женщине. «Боюсь, что единственный рейс на Лондон вылетает сегодня вечером, сэр». Я не мог в это поверить. Надо же было так ошибиться! Я так тщательно подготовился, но, похоже, моего рейса вообще не существовало. Потом меня осенило. Я уточнил у диспетчера время вечернего рейса. «Ну как же, самолет вылетает в девять вечера, сэр», – ответила она.
Я перепутал время до полудня и после – a. m. и p. m. В 24-часовой шкале такая ошибка просто невозможна. К счастью, я ошибся в правильном направлении. Я расплатился за нее всего лишь 14-часовым ожиданием, но интернет переполнен историями о тех, кто ошибся «в обратном направлении» и пропустил свой рейс, опоздав на 12 часов, и был вынужден раскошелиться на новый билет. Нет нужды говорить, что этот опыт нисколько не уменьшил мой страх перед путешествиями.
Если уж мне в XXI веке трудно добраться до аэропорта вовремя, я даже боюсь представить, насколько сложной задачей были бы для меня дальние путешествия в запутанной и несинхронизированной системе времени начала XIX века. Несмотря на то что к 1820-м годам большинство стран Европы разделили свой день на 24 часа, текущее время в разных странах континента отличалось настолько, что сравнивать его было почти бессмысленно. Лишь немногим странам удалось ввести единое время по всей своей территории, не говоря уже о координации с соседями. Бристоль на западе Великобритании мог отставать от Парижа на 20 минут, а Лондон на 6 минут опережал Нант, который находится на западе Франции. Причиной расхождений, как правило, было то, что каждый город использовал местное время, определяя его по положению солнца. Поскольку Оксфорд расположен на градус с четвертью к западу от Лондона, солнце проходит там зенит примерно на пять минут позже, что делает местное время на пять минут позже лондонского. Один оборот Земли вокруг своей оси (на 360°) занимает 247 часов, что означает – каждый градус долготы эквивалентен четырем минутам астрономического времени. Бристоль, находящийся в двух с половиной градусах к западу от Лондона, отставал от Оксфорда еще на пять минут.
В конце концов бурный рост железнодорожной сети в Великобритании заставил скоординировать время по всей стране, чтобы избежать путаницы при дальних поездках из-за разницы в местном времени. Она не давала возможность составить единое расписание, а также едва не вызвала несколько серьезных аварий из-за несогласованности между машинистами и стрелочниками. В 1840 году Большая Западная железная дорога ввела по всей своей сети Гринвичское время (GMT). Промышленные Ливерпуль и Манчестер поддержали начинание в 1846 году. С распространением телеграфа Королевская обсерватория в Гринвиче смогла передавать сигналы точного времени по всей стране почти мгновенно, что позволяло городам синхронизировать часы. Однако несмотря на то, что почти вся страна быстро перешла на «железнодорожное» время, некоторые города с особенно сильными религиозными традициями отказывались отречься от своего «Богом данного» солярного времени в пользу бездушного прагматизма, навязанного железными дорогами. Лишь в 1880 году, когда британский парламент наконец принял закон, большинство «солнечных диссидентов» окончательно приняли общий стандарт. Тем не менее колокола Башни Тома – колокольни Крайст-чёрч, одного из крупнейших колледжей Оксфорда, до сих пор звонят через пять минут после наступления каждого часа. Италия, Франция, Ирландия и Германия – все они вскоре перешли на единое время, при этом парижское время на девять минут опережало GMT, а дублинское – на 25 минут отставало от него. А вот в США все было не так просто. Вводить единое время на территории материковой части США, простирающейся на 58 градусов до