Для подтверждения своей гипотезы в 1796 году Дженнер провел новаторский эксперимент по профилактике заболеваний, который сегодня считался бы дико неэтичным [163]. Он втер гной из язвочки на руке доярки, зараженной коровьей оспой, в порез на руке восьмилетнего мальчика Джеймса Фиппса. У мальчика быстро появились высыпания и развилась лихорадка, но через десять дней он встал на ноги, здоровый, как и до прививки. Как будто одного раза было недостаточно, два месяца спустя Фиппс снова попал в руки Дженнера – на сей раз врач привил мальчику более опасный штамм человеческой оспы. Прошло несколько дней, но Фиппс не демонстрировал никаких симптомов заболевания, и Дженнер пришел к выводу, что у того выработался иммунитет. Дженнер назвал свой защитный процесс вакцинацией, от латинского слова vaccas – корова. В 1801 году он зафиксировал надежды первооткрывателя, записав, что «конечным результатом этой практики должно стать уничтожение оспы, самого страшного бича рода человеческого». В конце концов, почти 200 лет спустя, в 1977 году, благодаря напряженной работе по вакцинации, предпринятой Всемирной организацией здравоохранения, мечта Дженнера стала реальностью.
История изобретения вакцинации иллюстрирует неразрывную связь между оспой и историей современной профилактики инфекционных заболеваний. Корни математической эпидемиологии также лежат в попытке побороть оспу, но происхождением своим эта наука обязана далеко не только Дженнеру.
Задолго до того, как Дженнеру в голову пришла идея вакцинации, в отчаянной попытке спастись от неумолимой оспы народы Индии и Китая практиковали вариоляцию. В отличие от вакцинации, вариоляция подразумевает контакт с небольшим объемом материала, связанного непосредственно с самой болезнью. Для предотвращения оспы люди вдыхали через нос перетертые в пыль струпья переболевших или вводили их гной в порез на руке. Целью было спровоцировать у себя более мягкую форму оспы, которая, хотя и неприятна, но гораздо менее опасна и обеспечит пациенту пожизненный иммунитет от тяжелых симптомов резко выраженной болезни. Эта практика быстро распространилась на Ближний Восток, а затем, в начале 1700-х годов, и в Европу, где оспа свирепствовала повсеместно.
Несмотря на очевидную эффективность, вариоляцию критиковали. В некоторых случаях эта практика не защищала пациентов от повторного, более серьезного приступа оспы по мере ослабления иммунитета. Возможно, еще большее неприятие вызывала смертность в результате вариоляции – 2 % из тех, кто подвергся процедуре, умирали. Смерть Октавия [164], четырехлетнего сына английского короля Георга III, была одним из таких резонансных случаев, который способствовал дальнейшему разочарованию общества в этой практике. Несмотря на то, что смертность 2 % была значительно ниже, чем 20–30 %, связанная с естественным распространением заболевания, критики утверждали, что многие пациенты, подвергшиеся вариоляции, возможно, никогда не заразились бы оспой обычным путем, поэтому широкая профилактика является ненужным риском. Отмечалось и то, что подвергшиеся вариоляции больные могли распространять заболевание так же эффективно, как и те, кто инфицировался естественным образом. Однако в отсутствие контролируемых медицинских испытаний количественная оценка эффекта вариоляции и ее научная реабилитация были практически недостижимы.
Эта проблема заинтересовала швейцарского математика Даниила Бернулли, одного из великих невоспетых научных героев XVIII века. Среди его многочисленных математических достижений – исследования в области гидродинамики, в процессе которых Бернулли вывел уравнения, объясняющие, как крылья создают подъемную силу, позволяющую самолетам летать. Однако первую научную степень Бернулли получил в медицине, еще до обращения к высшей математике. Последующие исследования потоков в жидкой среде в сочетании с медицинскими знаниями привели его к открытию способа измерять артериальное давление. Проткнув стенку трубы полой трубкой, Бернулли смог определить давление проходящей через трубу жидкости по тому, как высоко она поднималась во вставленной трубке. На основе его выводов была разработана не самая приятная для пациента методика измерения давления – стеклянную трубку вводили непосредственно в артерию реципиента. Такой способ практиковали более 170 лет, пока ему на смену не пришел неинвазивный [165]. Широчайшая академическая подготовка позволила Бернулли применить математический подход и для определения общей эффективности вариоляции – задача, о решении которой традиционные врачи могли только мечтать, теряясь в догадках.
Бернулли предложил уравнение, описывавшее долю людей, которые никогда не болели оспой и, следовательно, еще могли ею заразиться, для каждой возрастной группы [166]. Свое уравнение он выверял по таблице смертности [167], составленной Эдмундом Галлеем (прославившимся наблюдением за кометами), которая описывала, какая часть из всех родившихся доживала до определенного возраста. На этой основе он смог вычислить соотношение выздоровевших и умерших к общему числу тех, кто болел оспой. С помощью второго уравнения Бернулли подсчитал количество жизней, которые могли спасти, если бы вариоляции регулярно подвергали все население. Он пришел к выводу, что при всеобщей вариоляции почти 50 % новорожденных доживали бы до 25 лет. По сегодняшним меркам число удручающее, но по сравнению с показателем в 43 %, наблюдаемым при свободном распространении оспы среди населения, это существенный прогресс. Возможно, еще более примечательной была его демонстрация того, что такое простое медицинское вмешательство способно увеличить среднюю ожидаемую продолжительность жизни на три года с лишним. Для Бернулли необходимость государственной медицинской программы по борьбе с оспой была очевидна. В заключении своей работы он писал: «Я просто хочу, чтобы в вопросе, который так тесно касается благополучия рода человеческого, ни одно решение не принималось без учета всех тех знаний, которые обеспечивает простейший анализ и расчет».
Сегодня цель математической эпидемиологии недалеко ушла от первоначальных целей Бернулли. С помощью базовых математических моделей мы можем прогнозировать развитие заболеваний и оценить последствия возможных корректирующих мероприятий на распространение болезней. Применяя более сложные модели, мы можем искать ответы на вопросы о наиболее эффективном распределении ограниченных ресурсов или выявлять неожиданные последствия различной деятельности в области общественного здравоохранения.
Модель SIR
В конце XIX века антисанитария и чрезмерная скученность в колониальной Индии вызвали серию смертоносных эпидемий. В стране свирепствовали холера, проказа и малярия, унесшие миллионы жизней [168]. Вспышка четвертой болезни, само название которой сотни лет вызывало ужас, привела к одному из самых важных открытий в истории эпидемиологии.
Никто не знает точно, как эта болезнь попала в Бомбей в августе 1896 года, но нет никаких сомнений в том, какой вред она нанесла [169]. Скорее всего, на борт торгового судна, отплывавшего из британской колонии в Гонконге, пробрались несколько «зайцев». Две недели спустя корабль пришвартовался в Порте Траст в Бомбее (ныне Мумбаи). Пока портовые грузчики потели на 30-градусной жаре, разгружая судно, безбилетники незамеченными выбрались на берег и рванули в городские трущобы. Они и не подозревали, что, вероятно, сами послужили транспортом для других нежелательных пассажиров, которые ввергли сначала Бомбей, а затем и остальную Индию, в хаос. Безбилетниками были крысы, разносчики блох, ответственных за распространение бактерии Yersinia pestis – чумы.
Первые случаи заболевания чумой среди жителей Бомбея сосредоточились в опоясывавшем порт районе Мандви. Болезнь неудержимо распространялась по городу и к концу 1896 года убивала по 8 тысяч человек в месяц. К началу 1897 года чума достигла близлежащего города Пуна, а затем охватила всю Индию. К маю жесткие меры по сдерживанию чумы, казалось, затушили пожар эпидемии. Однако в течение следующих 30 лет болезнь периодически возвращалась в Индию, убив более 12 миллионов человек.
В разгар одной из таких вспышек чумы в 1901 году в Индию прибыл молодой шотландский военный врач Андерсон Маккендрик. Он проведет почти 20 лет в Индии, посвятив их исследованиям (помните, в первой главе я рассказывал, что Маккендрик был первым ученым, показавшим, что колония бактерий растет в соответствии с логистической моделью, достигая пределов своего роста) и самым разнообразным мероприятиям по охране здоровья. В Индии Маккендрик глубоко изучил природно-очаговые инфекционные заболевания – болезни вроде свиного гриппа, которые могут передаваться от животных людям. В конце концов Маккендрик возглавил Институт Пастера в Касаули. По иронии судьбы, во время пребывания в Касаули он сам заразился бруцеллезом – изнурительной болезнью, вызванной употреблением сырого молока. В результате его несколько раз отправляли в отпуск по болезни домой, в Шотландию.
Именно в один из этих отпусков, вдохновившись былой встречей с коллегой по медицинской службе в Индии и нобелевским лауреатом сэром Рональдом Россом, он решил заняться изучением математики. Последние годы Маккендрика в Индии прошли под знаком изучения математики и математических исследований. Наконец в 1920 году он заразился тропической болезнью кишечника, был признан негодным к военной службе, вышел в отставку и вернулся домой уже навсегда.
В Шотландии Маккендрик занял должность руководителя лаборатории Королевской медицинской коллегии Эдинбурга. Там он познакомился с молодым и талантливым биохимиком Уильямом Кермаком. Вскоре после встречи с Маккендриком Кермак попал по