н дает кинетическую энергию, сумма второго и третьего — потенциальную энергию, соответствующую давлению и внешним силам). Отметим, что Бернулли впервые проводит различие между гидростатическим и гидродинамическим давлением. Как известно, уравнение Бернулли с соответствующим учетом сил трения получило широкое применение в гидротехнике и является одним из основных в динамике газов.
Следующий этап развития гидродинамики связан с именем Леонарда Эйлера.
Эйлер подходил к своим основополагающим исследованиям по гидродинамике постепенно. Уже в первые годы работы в Петербургской академии наук он занялся изучением вопросов истечения жидкости по примеру Д. Бернулли, с которым поддерживал самые дружеские отношения. После отъезда Бернулли в Швейцарию они регулярно обменивались мнениями по различным научным вопросам, в том числе и по механике. Д. Бернулли держал Эйлера в курсе работы над «Гидродинамикой». Сам Эйлер с середины 30-х годов занимался подготовкой большого труда по теории корабля. В этой связи в его переписке с Иоганном и Даниилом Бернулли, а также другими лицами не раз обсуждаются вопросы устойчивости плавающих тел.
Интерес к теоретическим проблемам кораблестроения, зародившийся в древности — его можно усмотреть уже у Архимеда, — особенно возрос в новое время. Когда Россия обзавелась большим собственным флотом и стала могущественной морской державой, эти проблемы возникли и здесь. Работу по теории корабля Эйлер предпринял по прямому поручению Петербургской академии. Он значительно продвинулся вперед еще до отъезда в Берлин, а уезжая, обещал завершить труд на новом месте. Книга была закончена в 1743 г. и вышла под названием «Морская наука, или трактат о постройке кораблей и управлении ими» в издании Петербургской академии наук в 1749 г.
«Морская наука» состоит из двух томов. В первом изложена общая теория равновесия и устойчивости плавающих тел, во втором теория применяется к анализу вопросов, связанных с конструкцией и нагрузкой кораблей. Это сочинение занимает видное место как в развитии теории устойчивости и теории малых колебаний, так и в кораблестроении. Впоследствии для нужд морских школ Эйлер выпустил сокращенное руководство, сперва изданное в 1773 г. на французском языке, а затем в 1778 г. на русском под названием «Полное умозрение строения и вождения кораблей, сочиненное в пользу учащихся навигации»; тогда же были выпущены английское и итальянское издания.
В 40-е годы Эйлеру пришлось не раз сталкиваться с вопросами гидро- и аэромеханики. Такие вопросы вставали, в частности, в области баллистики.
Впервые Эйлер занялся баллистикой еще в 1727 или 1728 г. в связи с опытами Д. Бернулли, изучавшего движение сферического снаряда, выпущенного в вертикальном направлении. Затем, как уже упоминалось, Эйлер рассмотрел в своей «Механике» вопрос о движении тела в среде, сопротивление которой пропорционально той или иной степени скорости. В 1742 г. англичанин Б. Робине (1707—1751) выпустил книгу «Новые принципы артиллерии». Вопросами артиллерии интересовался прусский король Фридрих II; когда он обратился к Эйлеру с просьбой назвать лучшее сочинение на эту тему, тот с похвалой отозвался о книге английского ученого и выразил согласие перевести ее на немецкий язык с необходимыми пояснениями и дополнениями. Так возник большой совместный труд Робинса — Эйлера в 720 страниц, полное заглавие которого гласило: «Новые принципы артиллерии, содержащие определение силы пороха вместе с исследованием различия в сопротивлении воздуха при быстрых и медленных движениях». В этом немецком издании основное место заняли исследования Эйлера, далеко превосходящие результаты английского ученого по значению и объему: текст Эйлера впятеро больше, чем текст Робинса. Книга долгое время являлась лучшей по данному вопросу и в 1777 г. была издана на английском языке, а в 1783 г. — на французском.
В сочинении Робинса и дополнениях Эйлера разобраны основные задачи внешней и внутренней баллистики. Отсылая за подробностями к уже имеющейся литературе{166}, мы ограничимся указаниями на разработку Эйлером собственной теории обтекания твердого тела идеальной жидкостью и на его анализ движения снаряда в канале ствола орудия, основанный на модели структуры воздуха, предложенной Эйлером еще в 1727 г.
Заметим, что работа Эйлера по упругости воздуха привлекла внимание Ломоносова. Исследуя свойства селитры, Ломоносов, естественно, встретился с вопросом об упругой силе пороха и в этой связи писал 5 июля 1748 г. Эйлеру: «Я читаю с большой пользой для себя «Артиллерию» Робинса, снабженную Вами превосходными замечаниями»{167}. Далее Ломоносов говорил о разработке им собственной теории упругости воздуха.
С задачами механики жидкостей Эйлер вновь встретился в 1749 г. при консультировании работ по проведению канала между Гавелем и Одером, а затем после изобретения Сегнером (1704—1777) гидравлической машины, известной теперь каждому школьнику под именем «Сегнерова колеса». Анализу устройства и действия этой машины и попыткам ее практического применения посвящена обширная переписка между Эйлером и Сегнером за 1750— 1754 гг.{168} и ряд их статей. Эйлер внес в первоначальный вариант машины Сегнера столь важные усовершенствования (присоединение так называемого направляющего аппарата и др.), что именно машина Эйлера, а не Сегнера является прообразом реактивных гидравлических турбин, строить которые начали три четверти века спустя. Вместе с тем в работе «Более полная теория машин, проводимых в движение реакцией воды», напечатанной в 1754 г. в 10-м томе «Мемуаров Берлинской академии наук», Эйлер впервые разработал общую теорию движения несжимаемой идеальной жидкости в узких трубах двоякой кривизны, вращающихся около неподвижной оси. При этом он фактически оперировал с понятием ускорения Кориолиса, которое французский механик ввел в 1831 г.
Методы расчета гидравлических турбин Эйлера, покоящихся на струнной теории, сохранили с соответствующими улучшениями свое значение в практическом машиностроении. Известный немецкий специалист по прикладной математике профессор К. Шредер пишет: «Можно сказать, что эти выдающиеся работы характеризуют Эйлера как ученого-инженера в современном смысле слова»{169}.
В 50-е годы Эйлер подготовил несколько больших работ по гидромеханике. Первая из них «Начала движения жидкостей» была напечатана в VI томе «Novi Commen-tarii» за 1756—1757 гг. В ней излагались общие начала гидро- и аэростатики, выводилось уравнение неразрывности для жидкости с постоянной плотностью. Значительная часть материала этой статьи нашла свое отражение в других работах Эйлера, написанных позднее, но вышедших раньше. Это были следующие три работы Эйлера: «Общие начала состояния равновесия жидкостей», «Общие начала движения жидкостей» и «Продолжение исследований по теории движения жидкостей», напечатанные в 1753—1755 гг. во 2-м томе «Мемуаров Берлинской академии наук». Эти классические работы составили основополагающий трактат по гидродинамике.
Первая из этих трех работ содержит глубокий анализ понятия давления, его свойств и приложений, а также вывод дифференциального условия равновесия жидкостей и газов.
Вторая статья имела решающее значение для всего последующего развития гидро- и аэродинамики, ибо именно в ней был впервые опубликован вывод уравнения неразрывности для сжимаемой жидкости и общих уравнений гидродинамики, называемых теперь уравнениями Эйлера.
В третьей статье приведены некоторые теоремы о движении жидкостей и газов в узких трубках произвольной формы.
Из других гидродинамических работ Эйлера упомянем еще ряд статей о распространении звука, о малых колебаниях воздуха в трубах постоянного и переменного сечения с применениями к теории музыки и т. д. Эти работы переплетались с аналогичными исследованиями Д. Бернулли. Математическим аппаратом этих исследований являются уравнения в частных производных второго и высшего порядков, большей частью линейные. Именно той ролью, которую играют уравнения в частных производных в гидромеханике, а также в математической физике, определялся глубокий интерес Эйлера к этой новой тогда отрасли анализа. Эйлер выработал целый ряд приемов интегрирования различных уравнений в частных производных и впервые ввел в рассмотрение некоторые их типы. Мы упомянем здесь лишь весьма важное в газовой динамике и дифференциальной геометрии уравнение
впервые изученное Эйлером, а затем С. Пуассоном (1781-1840), Б. Риманом (1826-1866), Ж.-Г. Дарбу (1842-1917). В настоящее время это уравнение встречается, в частности, в задачах о движениях газа с околозвуковыми или сверхзвуковыми скоростями.
МЕХАНИКА УПРУГИХ И ГИБКИХ ТЕЛ
Еще в древности были установлены некоторые эмпирические правила, соблюдение которых обеспечивало прочность и надежность сооружений. В XIII в. Иордан Неморарий предпринял первую попытку определить форму кривой, которую принимает под действием нагрузки ось закрепленного стержня, т. е. упругой линии. В XVI в. Леонардо да Винчи изучал вопрос о сопротивлении балок изгибу; он занимался, вероятно, и задачей о сопротивлении колонн. Галилей в «Беседах и математических доказательствах, касающихся двух новых наук» (1638) положил начало учению о сопротивлении материалов. В 1678 г. Гук нашел основной закон линейной зависимости между силой и деформацией при растяжении пружин, струн, тонких стержней и произвел ряд соответствующих опытов. Так были заложены основы теории упругости{170}.
В 1691 г. Я. Бернулли начал серию исследований, посвященных проблеме упругой линии. Некоторые предпосылки и выводы его неточны, но в целом он значительно продвинулся вперед. В частности, он вывел дифференциальное уравнение задачи и доказал, что кривизна линии изгиба пропорциональна изгибающему моменту в точке, — положение, которое использовали затем другие ученые, и среди них Эйлер.