ют теперь такие разделы, как движение жидкости и газа в пористых средах, теория взрывных процессов на основе гидродинамической схемы, теплопередача при движении жидкостей и газов.
Число новых моделей и схем в механике деформируемых сред быстро растет, и сами эти модели и схемы становятся уже объектом классификации и изучения. Выявляются некоторые новые, заслуживающие внимания тенденции. Хорошо разработанные схемы находят новое применение вне области, для которой они были первоначально созданы (например, поведение металла при пробивании брони кумулятивным снарядом начали изучать, рассматривая его как идеальную жидкость). В других случаях используют при исследовании одной и той же среды разные схемы в соответствии с теми условиями, в каких эта среда находится (например, некоторые тела, ведущие себя при кратковременных нагрузках как твердые, при долговременных малых нагрузках можно считать весьма вязкими жидкостями). Идет также процесс выделения ряда общих понятий в механике и значительное расширение и видоизменение применяемого математического аппарата. Многие ученые характеризуют это как часть происходящей перестройки всей математической физики.
В развитии механики тел переменной массы и теории реактивного движения после Великой Отечественной войны можно наметить два этапа. Первый из них — примерно до середины 50-х годов, — когда основное внимание уделяется движению с отбрасыванием частиц, притом главной целью является уже не столько решение отдельных задач, сколько систематическое построение теории. В значительной мере это было выполнено А.А. Космодемьянским. В его работе «Общие теоремы механики тел переменной массы» (1946) исходным является уравнение Мещерского, которое удовлетворяется для каждой из точек системы переменной массы. Отсюда получены законы изменения главного вектора количества движения, кинетического момента и кинетической энергии для тела переменной массы.
В работе Космодемьянского «Общие теоремы динамики тел переменной массы» (1951) опубликованы результаты, относящиеся к уравнениям Лагранжа в обобщенных координатах и к каноническим уравнениям. Доказано, что в случае, когда абсолютные скорости отбрасывания частиц равны нулю и внешние силы, действующие на тело переменной массы, имеют потенциал, канонические уравнения движения для тела переменной массы принимают форму уравнений Гамильтона для механической системы постоянной массы, а уравнения Лагранжа второго рода для тела переменной массы имеют такую же форму, как и для тела постоянной массы.
При изучении абсолютного движения тела переменной массы необходимо учитывать не только изменение массы тела, но и перемещение центра инерции внутри тела. Абсолютное движение центра инерции тела переменной массы подробно рассмотрено в изданных в 1952 г. лекциях А.А. Космодемьянского «Лекции по механике тел переменной массы». Там же приведено доказательство общих теорем механики тел переменной массы, когда центр масс не перемещается внутри тела. Указанные работы опираются на исследования Мещерского, в которых применяются методы аналитической динамики системы материальных точек и твердых тел. Другое направление в механике переменной массы представляют работы, в которых используются методы, близкие к методам механики сплошных сред. Такое направление можно условно назвать гидродинамическим. Ф.Р. Гантмахер и Л.М. Левин в работе «Об уравнениях движения ракеты» (1947) для случая движения ракеты и вообще тела переменной массы вывели теоремы количества движения и кинетического момента, исходя не из специально развитых положений механики переменной массы, а непосредственно из законов изменения главного вектора количества движения и кинетического момента для некоторой системы частиц постоянной массы. Аналогична постановка вопроса в ряде работ В.С. Новоселова.
В работе В.С. Новоселова «Некоторые вопросы механики переменных масс с учетом внутреннего движения частиц» (1957) выведены законы изменения главного вектора количества движения и кинетического момента для систем и тел переменной массы при возможном относительном движении частиц, рассмотрен закон изменения кинетической энергии для системы и тела переменной массы, получены уравнения Лагранжа второго рода для голономных систем с переменными массами в общем случае возможного относительного движения частиц, указаны необходимые и достаточные условия, при выполнении которых в механике переменных масс справедлив принцип Гамильтона — Остроградского. В другой работе Новоселова «Уравнения движения нелинейных неголономных систем с переменными массами» (1959) строится неголономная механика тел переменной массы: рассмотрены уравнения движения тел с неопределенными множителями Лагранжа, уравнения вида С.А. Чаплыгина, П.В. Воронца, Г. Гамеля (1877—1954), обобщается принцип Гаусса и выводятся уравнения, аналогичные уравнениям П. Аппеля (1855—1930). В работе «Движение механических систем со связями, зависящими от процесса изменения масс» (1960) В.С. Новоселов рассмотрел системы, на которые наложены связи, изменяющиеся вместе с изменением масс.
С середины 50-х годов начинается новый этап, когда аналитическая механика точки и тела переменной массы развивается главным образом в более общей постановке — исходя из предположения, что одновременно происходит и отделение и присоединение частиц[35]. Вместе с тем начинают разрабатываться и вопросы устойчивости.
В работе В.Ф. Котова «Основы аналитической механики для систем переменной массы» (1955) выведены принципы виртуальных перемещений, уравнения Лагранжа второго рода, канонические уравнения, уравнения Аппеля, уравнения движения свободной точки переменной массы, уравнения движения свободного тела переменной массы, принцип наименьшего действия. В.А. Сапа в статье «Вариационные принципы в механике переменной массы» (1956) сформулировал принцип виртуальных перемещений для общего случая системы точек переменной массы, получил принципы Даламбера, Гаусса, Гамильтона—Остроградского и из этих принципов вывел соответствующие уравнения движения системы переменной массы.
В другой его работе «Движение материальной точки переменной массы в случаях одновременного отделения и присоединения частиц» (1957) выведены общие теоремы механики для абсолютного и относительного движений точки переменной массы в случае одновременного отделения и присоединения частиц. Там же выведены уравнения движения голономной системы переменной массы в неголономных координатах (в квазикоординатах), уравнения движения в неголономных координатах системы переменной массы с линейными неголономными связями, уравнения движения систем переменной массы в обобщенных координатах (уравнения Лагранжа второго рода, уравнения Рауса, Аппеля). В других работах Сапа движение тела переменной массы вокруг неподвижной точки исследуется с учетом как вращения главных осей инерции, так и перемещения центра масс в теле.
В статье В.М. Карагодина «Некоторые вопросы механики тела переменной массы» (1956) и в его монографии «Теоретические основы механики тела переменного состава» (1963) дано обобщение теоремы Кенига на случай тела переменной массы, центр инерции которого в процессе движения самого тела перемещается с некоторой скоростью по отношению к точкам тела, и сформулирована для этого случая теорема о кинетической энергии тела переменной массы. Там же дано обобщение уравнений Эйлера на случай тела переменной массы с переменными моментами инерции, когда центр масс перемещается внутри тела, а центральная система осей координат вращается по отношению к телу с определенной угловой скоростью.
Как отмечалось выше, в рассматриваемый период достаточно видное место в механике переменных масс заняли задачи об устойчивости движения. В работе А.С. Галиуллина «Об одной задаче устойчивости движения точки переменной массы на конечном интервале времени» (1954) устойчивость движения исследована в предположении, что сопротивление прямо пропорционально квадрату скорости точки, при этом коэффициент пропорциональности явно зависит от времени (кроме того, допускалось, что скорость изменяющейся массы и скорость самой точки коллинеарны).
В двух работах М. Ш. Аминова: «Об устойчивости вращения твердого тела переменной массы вокруг неподвижной точки» (1958) и «Некоторые вопросы движения и устойчивости твердого тела переменной массы» (1959) — содержатся некоторые общие результаты: для системы п материальных точек переменной массы, подчиненной идеальным голономным связям, формулируется принцип Гамильтона-Остроградского, который затем применяется к выводу дифференциальных уравнений движения твердого тела переменной массы вокруг неподвижной точки и для свободного движения тела переменной массы. Устойчивость вращения тяжелого тела переменной массы с одной закрепленной точкой исследуется в предположениях, аналогичных тем, которые характеризуют классический случай Лагранжа. Были получены достаточные условия устойчивости равномерного вращения вокруг вертикальной оси симметричного тела переменной массы.
В течение ряда лет в области ракетодинамики значительное место занимали задачи, которые можно охарактеризовать как задачи внешней баллистики неуправляемых ракет. Над такими проблемами работали и за рубежом. Военные годы, естественно, вызвали повсеместно задержку публикаций. Когда же стали появляться журнальные статьи и книги по теории неуправляемых ракет, то выяснилось, что методы исследования и способы расчета применялись разные, но по сути в советских работах были получены все существенные результаты, какие удалось найти зарубежным ученым. Для решения первой основной проблемы внешней баллистики неуправляемых ракет — в расчете траекторий — были использованы общие положения механики тел переменной массы. Для вывода уравнений движения в общем случае достаточен восходящий к Мещерскому принцип затвердевания для системы переменной массы с твердой оболочкой. Вторая основная проблема внешней баллистики неуправляемых ракет — проблема рассеяния, или проблема кучности, — требует, разумеется, привлечения вероятностных методов. Советские исследования в этой области в основном подытожены в книге Ф.Р. Гантмахера и Л.М. Левина «Теория полета неуправляемых ракет», изданной в 1959 г.