Неопределенность: квантовая механика
Глава 13ДискретныйХитрый секрет энергии
Чем больший успех приобретает квантовая механика, тем глупее она выглядит. Как бы насмехались над ней обыватели, если бы имели возможность проследить ее своеобразное развитие!
К 1900 году мы прошли большой путь в понимании энергии. Первый закон, установленный около 1850 года, гарантировал, что вся энергия сохраняется: она никогда не создается из ничего, не исчезает, а просто переходит из одной формы в другую.
Сейчас нам понятно, что теплота — именно форма энергии, а не какая-то невесомая жидкость, когда-то известная как теплород. Существование атомов как фундаментальных составляющих материи приобретало всеобщее признание, помогая вновь подтвердить сформулированное гораздо раньше предположение, что теплота является результатом их движения. В самом деле, кинетическая теория и статистическая механика принесли результаты, согласующиеся с экспериментами, предположив само существование атомов. Через работы Максвелла и, особенно, Больцмана связь между макроскопическим миром, который мы видим вокруг нас, и микроскопическим миром атомов, который мы непосредственно не наблюдаем, становилась яснее. «Сообщницу» энергии, энтропию, четко доказывало второе начало термодинамики. А Больцман показал, что связь энтропии с атомами заключена в наборе расположений, или микросостояний, которые атомы переживают, двигаясь, с течением времени; чем больше расположений, или микросостояний, доступно системе атомов, тем больше ее энтропия. Ах, да, наше понимание энергии и ее спутников выглядело весьма полным. К сожалению, это и близко не было верным.
Тепловое излучение
Когда объект нагрет, происходит нечто довольно интересное. Помимо того, что он становится горячим, он также светится, или дает тепловое излучение. Многие из нас, вероятно, знакомы с тем, как меняет цвет нагревательный элемент электрической печки, когда он становится горячее, начиная с тускло-красного и потом алея с повышением температуры. На самом деле, если бы мы были способны повысить температуру еще больше, то обнаружили бы, что свечение нагревательного элемента переходит от красного к более голубому.
В терминах частоты теплового излучения оно переходит от низких к высоким, как и температура. Хотя мы наблюдаем отдельный цвет, горячий объект (например, нагревательный элемент печи) обычное испускает тепловое излучение в непрерывном наборе цветов, или частот, называемых частотным спектром объекта для данной температуры. В общем случае любой предмет с температурой выше абсолютного нуля, 0 K (градусов Кельвина), будет излучать[165]. Это как будто невинное свойство материалов оказалось просто невозможно объяснить согласно физике начала XX века, что указывало на необходимость совершенно нового подхода.
Наш рассказ о тепловом излучении и учении о частотных спектрах, называемом спектроскопией, начинается с Густава Кирхгофа (1824–1887). Кирхгоф, помимо других вещей, изучал частотный спектр Солнца, очень горячего объекта. Ранее, примерно в 1814 году, Йозеф Фраунгофер (1787–1826) также изучал спектр Солнца. Фраунгофер заметил, что, когда он пропустил свет, излученный Солнцем, через дифракционную решетку[166], получился спектр цветов (как в радуге[167]) от красного до фиолетового, который оказался «преимущественно непрерывным», за исключением некоторых «черных линий», которые создавали впечатление, будто что-то в спектре не хватало. Фраунгофер картографировал более 570 из этих черных линий солнечного спектра, обозначая самые заметные из них латинскими буквами от A до K, а слабые — другими буквами. Однако он так и не смог объяснить их происхождение.
В подобном эксперименте Кирхгоф тоже обнаружил эти таинственные черные линии. Однако он также заметил кое-что еще более интересное. Кирхгоф работал вместе с Робертом Вильгельмом Эберхардом Бунзеном (1811–1899) над спектром, созданным веществом, которое было нагрето пламенем. Бунзен специально разработал для этой цели особую горелку, которая давала почти бесцветное пламя. Благодаря разработке Бунзена, поместив вещество в пламя горелки Бунзена и пропустив пучок излученного света через дифракционную решетку, получали спектр, характерный только для того конкретного вещества, а не пламени.
Одним из изучаемых веществ была соль натрия, похожая на поваренную (хлорид натрия). Когда ученые поместили соль натрия в пламя, то обнаружили, что вдобавок к тому, что пламя изменило цвет на желтый, излученный свет после прохождения дифракционной решетки дал спектр, состоящий из двух линий, окрашенных в желтый цвет, которые точно соответствовали двум из линий солнечного спектра, известным как линии D (согласно обозначениям Фраунгофера).
Итак, представим спектр Солнца, возникший при прохождении узкого пучка солнечного света через дифракционную решетку. Обратив внимание на этот спектр, теперь представим прохождение узкого пучка света, испущенного пламенем с солью натрия (пучок солнечного света сейчас перекрыт) — так, чтобы этот пучок через дифракционную решетку проходил тот же самый путь, что и свет Солнца. Так Кирхгоф заметил[168], что две желтые линии спектра натрия и две черные линии D солнечного спектра совпали при наложении. Это, несомненно, интригует, но такая связь, если она вообще существует, — не совсем понятна. Но это еще не все. Кирхгоф вернулся к узкому пучку солнечного света, работая с ним как прежде, но теперь позволяя ему проходить через пламя с натрием до дифракционной решетки. Спектр Солнца был таким же, за исключением того, что в этот раз две линии D были темнее.
Итак, давайте подведем итоги: спектр Солнца по отдельности показывает две темные линии D, которые еще больше темнеют, когда солнечный свет сначала проходит через пламя с натрием, а спектр одного пламени с натрием демонстрирует две желтые линии, перекрывающиеся двумя темными линиями D солнечного спектра. Такое впечатление, что пламя с натрием играет одновременно две роли: фильтрует, или поглощает, солнечный свет, чтобы «наличие» — или, точнее, «отсутствие» — двух линий D стало более темным; и создает, или излучает, собственные две линии D, желтые, а не черные.
В 1859 году эта серия экспериментов привела Кирхгофа к важнейшему выводу: любое вещество, способное излучать на данной частоте, должно также и поглощать на той же самой частоте. Более того, на данной частоте излучательная способность вещества в точности равна его поглощательной способности. Это связано с тем (и нам вскоре это будет понятно лучше), что излучение и поглощение атома осуществляются тем же самым путем, а не двумя различными процессами.
Интересный сопутствующий факт: по-видимому, атмосфера над поверхностью Солнца содержит, в частности, горячие пары натрия, которые поглощают некоторую долю излучения, идущего из ядра Солнца, приводя в результате к появлению двух линий D натрия, которые при прохождении через пламя с натрием становятся даже темнее. Таким образом, эти эксперименты также сообщают что-то об атмосфере Солнца, находящейся примерно в 93 миллионах милях от Земли.
Кирхгоф перешел к формулировке соотношения между интенсивностью излучения объекта и количеством энергии, поглощенной им на определенной частоте, когда он находится в состоянии теплового равновесия. Закон Кирхгофа и задачи, которые были поставлены Кирхгофом в результате, привели теоретиков, как и экспериментаторов, к революции в физике, которая в конечном счете достигла кульминации в квантовой механике. Возможно, нам стоит пристальнее рассмотреть эту провоцирующую теорию.
С хорошей точностью, когда вы помещаете еду в духовку и нагреваете ее до определенной температуры, а духовка достигает этой температуры и впоследствии ее поддерживает, система (еда и духовка) в конечном итоге приходит в тепловое равновесие. Допустим, мы поместили индейку в духовку и нагрели ее до 400 °F (204 °C). Как только температура достигла этих градусов и поддерживается некоторое время, мы можем утверждать (для наших целей), что духовка и индейка находятся в тепловом равновесии.
Далее, как мы говорили ранее, мы ожидаем, что индейка и внутренние стенки духовки испускают и поглощают тепловое излучение. Но это вовсе не означает, что индейка станет светиться красным, как электрический нагревательный элемент духовки; материалы все-таки разные. Тем не менее она излучает и поглощает — преимущественно в инфракрасной области спектра, которую мы не можем увидеть просто своими глазами. Поскольку тепловое равновесие установилось, индейка излучает с той же скоростью, что и поглощает. То же самое относится к внутренним стенкам духовки и всему тому, что мы туда добавляем и чему позволяем достичь теплового равновесия. Итак давайте добавим печеную картошку и доведем ее до теплового равновесия. Сфокусируемся только на индейке и картошке.
Чтобы упростить рассуждение и сосредоточить наше внимание на индейке и картошке — вещах, находящихся внутри духовки, — давайте заменим духовку «ящиком», который способен поддерживать желаемую температуру всего, что находится внутри. Более того, давайте сделаем стенки такими, что они ни поглощают, ни излучают сами, а идеально отражают излучение индейки и картошки. Вследствие этого излучение и поглощение затрагивает лишь индейку и картошку. Понимание закона Кирхгофа требует от нас понимания двух вещей:
• Часть энергии теплового излучения, испущенного индейкой, приходится на полное количество энергии теплового излучения, поглощенного картошкой, и наоборот[169].
• Вследствие теплового равновесия и индейка, и картошка будут излучать тепловую энергию в том же темпе, в котором они будут ее поглощать[170].
Эти положения, записанные математически, означают[171]:
где E — количество энергии, испущенной объектом в единицу времени (это темп излучения, или излучательная способность), α — доля энергии, поглощенной объектом, а подстрочные индексы обозначают объекты (например, 1 — индейка, 2 — картошка).
Представим идеальный объект, поглощающий все падающее на него тепловое излучение независимо от частоты. Это означает, что α = 1, то есть 100 % излучения, падающего на идеальный объект, поглощается. Такое тело по цвету абсолютно черное, так его и называют — абсолютно черное тело (АЧТ). Как мы уже знаем, объект, поглощающий на данной частоте, должен также излучать на ней (при подходящих условиях, например будучи нагретым). В случае нашего абсолютно черного тела мы утверждаем, что, когда оно нагрето (аналогично натрию, помещенному в пламя), оно будет излучать свой спектр — на всех частотах.
Таким образом, если один объект в нашей системе — абсолютно черное тело — скажем, им мы заменим картошку, тогда наше уравнение примет вид:
E1 / α1 = EАЧТ,
и поскольку не имеет значения, каковы точные характеристики других объектов (индейки, картошки и т. п.), мы можем убрать подстрочные индексы в левой части равенства и просто записать:
E / α = EАЧТ,
что по-простому означает: отношение мощности теплового излучения объекта (излучательной способности) к доле поглощаемой им мощности теплового излучения равно излучательной способности идеального объекта, называемого абсолютно черным телом, излучающим и поглощающим на всех частотах. Обычно это уравнение записывают для определенной частоты ν, а также из нашего обсуждения ясно, что также подразумевается и определенная температура T:
E / α = EАЧТ (ν, T).
Значение данного уравнения заключается в том, что знание спектра излучения абсолютно черного тела (правая часть) дает нам отношение (левая часть) для любого объекта. Другими словами, для любого объекта в состоянии теплового равновесия при температуре T отношение излучательной способности к доле поглощенного излучения на определенной частоте ν является универсальной функцией, равной соответствующей излучательной способности абсолютно черного тела на указанной частоте, находящегося в тепловом равновесии при той же температуре. Хотя асболютно черное тело — идеализированный объект, его фактически можно воспроизвести известными материалами, встречающимися в природе, такими как сажа или графит.
Кирхгоф поставил теоретикам и экспериментаторам задачу найти форму спектра излучения абсолютно черного тела, поскольку считал, что ее решение имеет основополагающее значение:
«Это очень важно найти (спектр излучения абсолютно черного тела). На пути его экспериментального обнаружения стоят серьезные трудности; тем не менее есть надежда, что его можно найти экспериментально, потому что его форма, несомненно, проста, как и у других функций, с которыми мы познакомились прежде, не зависящих от свойств отдельных тел».
Кирхгоф был прав, ожидая экспериментальных трудностей. На то чтобы собрать достаточные экспериментальные свидетельства, которые позволили бы дать ответ на вопрос Кирхгофа, ушло почти сорок лет. В 1900 году 42-летний Макс Планк наконец решил эту проблему.
Проблема излучения абсолютно черного тела
Макс Планк (1858–1947) родился в Киле (в современной Германии), он был шестым ребенком [172]выдающегося юриста и профессора права Кильского университета, Иоганна Юлиуса Вильгельма Планка, и его второй жены, Эммы Патциг. Культура семьи Планка сказалась на его жизни и работе, наградив стремлением к совершенству в научной деятельности, неподкупностью, преданностью идеалам, надежностью и щедростью.
В 1867 году, когда Планку было 9 лет, его отец получил приглашение в Мюнхенский университет. Семья переехала, и Планк поступил в гимназию имени Максимилиана, где заинтересовался математикой и физикой. Впрочем, Планк преуспевал и в других дисциплинах, особенно в музыке. Таким образом, к выпуску, когда Планку было шестнадцать лет, ему предстояло принять непростое решение в выборе будущего между музыкой и физикой. Он сделал выбор в пользу физики, но музыка продолжила играть важную роль в его жизни. Действительно, Планк был замечательным пианистом (с даром абсолютного слуха), каждый день наслаждающимся исполнением произведений Шуберта и Брамса.
В 1874 году Планк поступил в Мюнхенский университет, собираясь изучать физику. Профессор физики Филипп фон Жолли (1809–1884) отговаривал Планка от такого занятия: «В этой области почти все уже открыто, и остается лишь заполнить несколько пробелов».
Планк мудро оставил этот совет без внимания. Под руководством Жолли Планк проводил эксперименты, единственные в его карьере, в конечном итоге перейдя в теоретическую физику. В 1877 году Планк в течение года учился в Берлинском университете у наиболее выдающихся немецких физиков — Германа Гельмгольца (вспомним часть 1) и Густава Кирхгофа. К сожалению, ни один, ни другой не вызвали сильного вдохновения. Планк вспоминал Гельмгольца плохо подготовленным к лекциям, а Кирхгофа «сухим и монотонным». Между тем, самостоятельно изучая работы вышеупомянутых ученых и Клаузиуса (см. часть 2) по термодинамике, Планк наконец нашел, что искал.
Планк подходил к физике со страстью — с «духовной жаждой», как это описывал Эйнштейн — в поисках вещей, абсолютных и фундаментальных. Он говорил:
«…чрезвычайно важно, что внешний мир — нечто не зависящее от человека, что-то абсолютное, и поиск законов, применяемых к этому единственному, представляется мне самым грандиозным научным стремлением в жизни».
В самом деле, Планк рассматривал поиск абсолютного как «самую благородную и самую стоящую задачу науки».
В 1879 году, когда ему был уже двадцать один год, Планк защитил докторскую диссертацию, посвященную второму началу термодинамики и понятию энтропии. Вообще термодинамика, особенно понятие энтропии, останется центральной темой в ходе почти всех работ Планка. К сожалению, карьера Планка поначалу развивалась медленно, поскольку он был не в состоянии произвести большое впечатление своей работой о понятии энтропии.
Одна из возможных причин — тот факт, что эта область исследования была относительно новой. Когда Планк обнаружил, что бо2льшую часть его работы по энтропии уже проделал Джозайя Уиллард Гиббс (1839–1903), он еще больше разочаровался. Более того, его труду по термодинамике разбавленных растворов не хватало химического описания, так успешно примененного другими учеными, например Якобом Хендриком Вант-Гоффом (1852–1911). Однако его усилия не стали напрасными, и навыки, которые он улучшал, в итоге ему помогли.
Хотя варианты формы спектра абсолютно черного тела начали появляться в 60-е годы XIX века, реальный прогресс с экспериментальными успехами пришел только в 90-е годы[173]. В 1893 году Вильгельм Вин (1864–1928) представил обобщенное математическое выражение для спектра абсолютно черного тела, известное как закон смещения Вина. В 1896 году он пошел дальше, дав более конкретное математическое выражение, чем предыдущее. Этот вариант, закон излучения Вина, отлично согласовывался с доступными экспериментальными данными, тем самым оказавшись решением, которое давно искали после постановки задачи Кирхгофом, — или так, во всяком случае, казалось.
Между 1887 и 1894 годами Планк потратил бо2льшую часть своего времени на увлекательную новую область физической химии, пионерами в которой были Сванте Август Аррениус (1859–1927) и Вант-Гофф. Как уже говорили, эту работу в основном не заметили, на что Планк позже обратил внимание. Тем не менее она несомненно помогла ему получить место экстраординарного профессора в Кильском университете в 1885 году[174] и впоследствии, в 1889 году, стать преемником Кирхгофа в Берлинском университете[175], а в 1892 году — ординарным профессором.
Переезд Планка в Берлин приблизил его к тому, что позже стало эпицентром теоретических и экспериментальных исследований излучения абсолютно черного тела. К 1890-м годам вряд ли кто-то из физиков не знал, что Кирхгоф, Больцман и Вин утвердили свой вклад в термодинамику в решении проблемы абсолютно черного тела. Таким образом, в 1894 году, когда Планк приступил к проблеме абсолютно черного тела, он ожидал, что его любимые средства термодинамики — особенно концепция энтропии, которую он некоторое время оттачивал на проблемах физической химии, — сослужат ему хорошую службу.
Планка соблазнили несколько вещей, связанных с этой проблемой. Во-первых, Планк был заинтересован в сохранении роли термодинамики и концепции энтропии в области электродинамики (учении об электричестве, магнетизме и свете, например тепловом излучении). Также это была важная для физического сообщества проблема, и ясно, что Планк часто обсуждал проблему абсолютно черного тела с коллегами из Берлина, в частности с Вином и Генрихом Рубенсом (1865–1922), каждый из которых принимал активное участие в исследовании АЧТ. Но, что самое важное, Планку эта проблема дала возможность искать нечто абсолютное:
«Измерения Отто (Люммера) и Эрнста (Прингсгейма) из физико-технического института, проведенные для исследования спектра теплового излучения, обратили мое внимание на теорему Кирхгофа, утверждающую, что в полости с идеально отражающими стенками, из которой выкачан воздух и которая содержит совершенно произвольные излучающие и поглощающие тела, со временем установится состояние, в котором тела примут одинаковую температуру, а все свойства излучения — даже его (спектр) — не зависят от структуры и состава тел, а только от температуры. Поэтому этот (спектр теплового излучения) представляет собой абсолютную величину; и, поскольку поиск абсолютного всегда мне представлялся прекраснейшей (schönste) задачей исследования, я охотно принялся за нее».
У Планка был еще один повод работать над проблемой излучения абсолютно черного тела. Несколько электрических компаний поручили ему разработать лампочки накаливания, которые дали бы больше всего света при наименьших затратах энергии.
Планк вообразил ящик с идеально отражающими стенками, содержащий объекты, которые он назвал резонаторами[176]. Резонаторов много, каждый излучает и поглощает тепловое излучение на различных частотах. Сегодня мы бы уподобили резонаторы Планка атомам или молекулам. Однако Планку не нужно было давать никакой информации о составе резонатора, поскольку, как мы знаем, закон Кирхгофа выполняется независимо от конкретных особенностей объектов в системе.
В самом деле, Планк придерживался этого обобщенного описания во всех своих теориях и использовал его в своих целях на каждом шагу. Получается, что подход Планка имел много общего с методом, используемым Фурье для формулировки своего закона (см. часть 2): они оба концентрировали внимание на общих свойствах системы, имеющейся под рукой, вместо того чтобы увязать в микроскопических подробностях.
В то время Планк не верил в существование атомов и молекул. В самом деле, он был одним из главных оппонентов Больцмана и в 1881 году прямо отвергал атомы:
«При правильном использовании (второе начало термодинамики) несовместимо с гипотезой об имеющих предел атомах. Вследствие этого стоит ожидать, что в ходе дальнейшего развития теории будет борьба между двумя теориями, которая будет стоить жизни одной из них. Было бы преждевременным сейчас предсказывать исход этой битвы; но в данный момент мне кажется, что, несмотря на крупный успех атомной теории в прошлом, нам в конце концов придется от нее отказаться…»
Главной проблемой для Планка было то, что концепция атомов и молекул, и то, как теоретики ее использовали, например, в кинетической теории и статистической механике, подрывало его интерпретацию энтропии. Видение Планка этой физической величины прямо противоречило микроскопическому варианту Больцмана с его атомами, микросостояниями, и — больше всего — с его вероятностями.
Для Планка энтропия была «абсолютным» законом, не связанным с вероятностным или статистическим поведением, как его описал Больцман. В частности, для Планка стремление системы к равновесию из неравновесного состояния (а конкретней, макросостояния, как отмечалось в части 2) должно не только приводить к росту энтропии — как требовало второе начало, — но и сама энтропия должна возрастать на каждом шагу того пути к равновесному состоянию.
В 1876 году Больцман уже усвоил урок: критика со стороны Лошмидта заставила его пересмотреть природу второго начала термодинамики. К 1877 году Больцман пришел к заключению, что второе начало по своей природе носит вероятностный характер. В результате Больцман рассматривал возрастание энтропии (требуемое вторым началом), которому подвергается система при стремлении к равновесию из неравновесного состояния, как возрастание в целом, происходящее не на каждом отдельном шагу.
Получается, что система может, образно говоря, «сделать два шага вперед и один шаг назад», в том смысле, что для нее возможно перейти из состояния с большей энтропией в состояние с меньшей энтропией, пока энтропия возрастает в целом до того, как система достигнет равновесия. И все же с этой ошибкой Планк оказался в хорошей компании.
В 1872 году, когда Больцман написал «Дальнейшее изучение теплового равновесия молекул газа», он не только придерживался той же точки зрения, что и Планк, но и был убежден, что реально ее обосновал:
«…наш результат эквивалентен доказательству того, что энтропия должна всегда возрастать или оставаться постоянной (в состоянии равновесия), и поэтому дает микроскопическую интерпретацию второго начала термодинамики».
А в 1903 году молодой Эйнштейн (ему тогда было двадцать три года) также допустил ту же самую ошибку, написав свою единственную на тот год публикацию «Теорию оснований термодинамики»:
«Мы вынуждены предположить, что более вероятные распределения будут следовать за менее вероятными, то есть W (или энтропия) всегда возрастает до того момента, когда распределение становится постоянным, а W (или энтропия) достигла максимума (Курсив мой. — С. Б.)».
Он снова допустил эту ошибку в 1904 году в своей публикации «Об общей молекулярной теории теплоты». Эйнштейн изучал книгу Больцмана с 1901 года, но, по всей видимости, пропустил слегка спрятанное обсуждение замечания Лошмидта, которое сподвигло Больцмана на собственные размышления по данной теме. Наконец, в публикации 1910 года Эйнштейн правильно сформулировал второе начало. Короче говоря, все — и Больцман, и Эйнштейн, и Планк — ошибочно считали, что энтропия системы, переходящей из неравновесного состояния в равновесное, всегда возрастает, на каждом этапе перехода. Верно (в терминах теории вероятности), что для системы наиболее вероятно увеличивать энтропию на каждом этапе перехода, но не всегда. На самом деле основной мотивацией решения проблемы абсолютно черного тела было желание доказать, что энтропия всегда возрастает, и это сильно повлияло на способ решения вопроса.
С моделью резонаторов на руках Планк был подготовлен. Представим систему Планка в неравновесном состоянии при некоторой начальной температуре с резонаторами, поглощающими и испускающими тепловое излучение на их различных частотах. Через некоторое время температура изменится, а энтропия необратимо возрастет (см. часть 2). В конце концов система резонаторов придет в равновесие: температура станет постоянной, а энтропия достигнет своего максимального значения.
Планк хотел разработать теорию, описывающую изменяющееся состояние системы при ее эволюции от какого-то исходного неравновесного состояния к равновесному, и в процессе показать, что окончательный спектр теплового излучения резонаторов является не чем иным, как спектром излучения абсолютно черного тела. Более того, Планк хотел создать теорию без использования вероятностей и статистики, иначе она бы запятнала абсолютный характер его видения энтропии.
Планк начал свое исследование в 1894 году, совершив значительный прогресс, убедивший его в том, что можно достичь успеха с подходом, лишенным вероятностной, или статистической, интерпретации энтропии. Однако к 1898 году, после нескольких уступок критике со стороны Больцмана, Планк понял, что нужен новый подход.
Система резонаторов Планка, взаимодействующих с тепловым излучением внутри идеально отражающих стенок ящика, не была единственной системой, которая необратимо эволюционировала к равновесию из изначального неравновесного состояния[177]. Рассмотрим неравновесную систему атомов газа. Такую систему будут приводить к состоянию равновесия столкновения между ними. Эволюция будет необратимой, сопровождающейся ростом энтропии. Как только система придет в состояние равновесия, ее энтропия станет максимальной, а сама она достигнет (в случае идеального газа) распределения Максвелла по скоростям, которое будет впоследствии поддерживаться. Все это в 1872 году доказал Больцман в «Дальнейшем изучении теплового равновесия молекул газа». Он посоветовал Планку использовать подобный подход при решении его проблемы. После сильного сопротивления совету Больцмана к весне 1898 года Планк был готов согласиться.
Не то чтобы до этого у Планка не было прогресса. Наоборот, к тому времени его почти четырехлетняя работа дала уравнение, описывающее динамику одиночного излучателя, взаимодействующего с тепловым излучением. Следуя схеме, подобной той, которой придерживался Больцман в 1872 году, Планк смог расширить свое уравнение до «более фундаментального», связывающего среднюю энергию резонатора с общим выражением для спектра излучения абсолютно черного тела, соответствующего системе в равновесном состоянии; фактически у него было уравнение для вещества, находящегося в равновесии с излучением.
Однако если Больцман смог прийти к уравнению, управляющему динамикой системы атомов газа, эволюционирующей от неравновесного состояния к равновесному, Планку, несмотря на использование подхода, подобного примененному Больцманом, не удалось получить такое соотношение для эволюции теплового излучения резонаторов. Таким образом, Планку пришлось оставить надежду доказать абсолютный характер роста энтропии, хотя он сохранял веру в это в течение последующих пятнадцати лет. Однако самым большим разочарованием стало то, что никакие его усилия не привели к точной модели равновесного спектра абсолютно черного тела. В этой связи Планк снова обратился к своей старой знакомой — энтропии.
Используя свое фундаментальное уравнение и закон смещения Вина, Планк был способен подойти к выражению для энтропии резонатора. Из него он легко получил закон излучения Вина. Вин предложил свой закон излучения, основываясь на очень шатких доводах, вообще не делая строгих выводов. Получается, что Планк первым предоставил реальный вывод этого закона, ставшего известным как закон Вина — Планка.
В начале 1899 года, к моменту пятой публикации Планка, описывающей его усилия, закон Вина — Планка отлично соответствовал экспериментальным измерениям. Хотя он и не достиг своей конечной цели, Планк был убежден, что успешно вывел выражение универсальной функции для спектра абсолютно черного тела, которое Кирхгоф призвал найти около сорока лет назад. Однако его победа была недолгой.
Несоответствие и отчаяние
К весне 1900 года улучшенная экспериментальная методика привела к новым результатам, показывающим расхождения с законом Вина — Планка. Начинало походить на то, что почти шесть лет усилий Планка оказались напрасными. Планк решил, что ошибка лежала в его выводе выражения для энтропии резонатора. Переделав вывод, Планк предложил новое выражение для этой величины и, опираясь на него, смог получить новую формулу для спектра абсолютно черного тела. В этот раз он был прав, и новый результат полностью согласовывался со всеми новыми экспериментальными данными.
Планк мог на данном этапе почивать на лаврах, возможно получив за свои усилия Нобелевскую премию — либо единолично, либо разделив ее с Вином. Однако Планку нужно было понимание «абсолютной» природы своего нового выражения. В конце концов, к тому моменту Планк создал, основываясь на изрядном количестве «гениальных догадок», не более чем эффективное уравнение, касающееся взаимодействия вещества и света, без заметного физического понимания его истинной природы. Оставался следующий вопрос: «Что именно, связанное с веществом и энергией, приводит к планковской форме спектра абсолютно черного тела?»
Чтобы ответить на этот вопрос, Планк снова обращается к Больцману, на этот раз к его работе 1877 года. Планк, прежде стойкий противник статистической интерпретации энтропии Больцмана, казалось, немного передумал:
«Я догадывался, что эту величину (энтропию резонатора) будет возможно рассчитать, введя статистическое рассмотрение, важность которого для второго начала термодинамики впервые продемонстрировал Больцман».
Несмотря на уступки Больцману, Планк не перешел полностью на сторону статистического подхода; у него была своя собственная интерпретация природы вероятности физических явлений. Он также не следовал четко и во всем исходному подходу Больцмана, допуская немного вольности при необходимости. Позже (в 1931 году) Планк будет упоминать эту часть своей программы как «акт отчаяния», объясняя это тем, что он «должен был получить положительный результат при любых обстоятельствах и любой ценой».
Отправной точкой «акта отчаяния» Планка было уравнение Больцмана, введенное в части 2:
S = k lnW.
Вспомним, что это выражение описывает полную энтропию системы в определенном макросостоянии, или физическом состоянии, для соответствующих микросостояний, полная сумма которых равна W. На самом деле Больцман изначально написал это уравнение в виде пропорции:
S ∝ lnW,
а не в виде того равенства, которое мы сегодня знаем. Именно Планк позже ввел константу k, которую мы сейчас называем постоянной Больцмана, и указал на ее важность. Кроме того, Больцман предложил метод расчета полного числа микросостояний W, или сочетаний, как их называл Больцман.
Это был улучшенный вариант метода Больцмана, предложенного в 1868 году, и он должен был стать новым подходом, дополняющим его работу 1872 года. Больцман рассматривал систему из N атомов газа с постоянной полной энергией E. Микросостояние такой системы будет описывать каждый из N атомов газа как имеющий определенную часть полной энергии. Чтобы сделать такое описание возможным, Больцман представил полную энергию в виде:
E = Pε.
Таким образом, полная энергия системы появлялась «порциями», каждая величиной ε, а отдельный атом газа мог иметь энергию 0, ε, 2ε, 3ε, … Pε.
Представим систему, состоящую из двух атомов (N = 2), где энергия разделяется на три порции (P = 3), поэтому один атом может иметь возможные энергии 0, ε, 2ε, 3ε. Единственные возможные микросостояния — с учетом того требования, чтобы энергии всех атомов в сумме равнялись энергии системы (E = = 3ε) — это (0, 3ε), (3ε, 0), (2ε, ε), (ε, 2ε), где первая величина в скобках — это энергия «атома 1», а вторая — «атома 2». Каждое микросостояние обозначает атом (либо 1, либо 2) вместе с соответствующим значением его энергии. Другими словами, мы сделали и энергию, и атомы различимыми (нам нужно позже поговорить об этом подробнее). Для произвольного числа атомов газа и порций энергии (любые значения N и P) можно записать общее выражение для W[178], а значит, и для энтропии.
Для Больцмана этот подход был просто средством достижения цели. На завершающем шаге он позволил размерам системы подходить под очень большое число атомов. Далее он сделал эти порции энергии очень маленькими. Мы уже видели, что реальные системы, подобные шарику, заполненному атомами газа, содержат очень большое число атомов, вот почему Больцман рассматривал системы таких размеров; он хотел установить связь с реальными физическими системами. Что касается допущения крайне маленьких порций энергии — ну, оно тоже было мотивировано реальными физическими рассмотрениями.
Больцман рассматривал энергию системы, распределенную порциями, как своего рода прием, математический трюк, который сделал возможным написать выражение для энтропии. Он объяснял:
«Следует признать, прием (порции энергии) не соответствует любой (реализуемой) физической проблеме, а на самом деле является задачей, с которой можно намного легче справиться математически и которая переходит непосредственно в (физическую) проблему…»
Однако в представлении Больцмана, да и почти всех остальных ученых того времени, энергия так себя не вела. Наоборот, энергия считалась непрерывной, а не прерывистой, или состоящей из порций. Впрочем, у Планка был собственный подход к методу сочетаний Больцмана.
К ноябрю 1900 года, понимая, что его гениальная догадка нуждалась в более надежных основаниях, Планк снова обратился к статистической интерпретации энтропии Больцмана и к методу, который он использовал для ее вычисления. Чтобы установить аналогию с больцмановской системой из N атомов газа и постоянной полной энергией E, Планк рассматривает набор из N резонаторов, а не один резонатор, которые имеют одну и ту же частоту ν и их собственные постоянные полные энергии.
Планк получил выражение для энтропии одиночного резонатора с частотой ν, а не набора из N резонаторов. То есть Планк предложил просто разделить уравнение Больцмана (S = k ln W) на N, чтобы получить энтропию одиночного резонатора[179]. Теперь у Планка было два выражения для энтропии резонатора: то, которое он вывел сам, и новое выражение, полученное простым введением делителя в уравнение Больцмана. Далее, как и с энтропией системы, Планк также рассматривал полную энергию системы как сумму энергий всех резонаторов.
Окончательные шаги Планка просты: использовать метод Больцмана для получения W, которое дополнит измененное выражение для уравнения Больцмана, приравнять этот вариант выражения для энтропии к полученному самим Планком; и затем надеяться на некоторое физическое понимание. Планк продолжил выполнять «математический трюк» Больцмана, деля полную энергию системы на P порций, каждая из которых равна ε, распределенных между N резонаторами. Об этом он говорил:
«Если E (полная энергия системы из N резонаторов) считается бесконечно делимой, возможно бесконечное число различных распределений. Мы, однако, рассматриваем — и это важно — E как состоящую из определенного числа одинаковых конечных частей…»
Итак, с энергией в виде порций, как было нужно, Планк посчитал полное число микросостояний (W) для его системы из N резонаторов и соответствующую энтропию и завершил приравниванием выражения для энтропии, полученного методом Больцмана, своему собственному. Он обнаружил кое-что интересное. Короче говоря, чтобы два выражения энтропии были равны друг другу, он просто потребовал, чтобы те маленькие порции энергии равнялись:
ε = hν,
где он ввел другую (в дополнение к постоянной k) постоянную, которую мы сейчас называем постоянной Планка.
То есть, в отличие от Больцмана, рассматривавшего порции энергии как удобный прием и в конечном итоге устранившего их тем, что он сделал их бесконечно маленькими, теория Планка потребовала их существования. И каково было физическое понимание, которое Планк так отчаянно искал? Очевидно, что оно заключается в том, что энергия на самом деле состоит из отдельных порций! Другими словами, если говорить об одном из резонаторов Планка (который сейчас мы бы уподобили атому или молекуле), то разрешенные значения энергии являются дискретными (0, ε, 2ε, 3ε и т. д.), а не подчиняющимися какому-то непрерывному распределению. Более того, если энергия резонатора увеличивается или уменьшается при взаимодействии со светом, она должна изменяться на ε — ни на бо2льшую, ни на меньшую величину.
Тогда, в общем, получается, что энергия резонатора рассчитывается по формуле:
Eрезонатора = mhν,
где m = 0, 1, 2, 3, …
Планк представил свой вывод 14 декабря 1900 года. Из своих поисков спектра излучения абсолютно черного тела он вышел победителем. Также он достиг желанного физического понимания взаимодействия вещества со светом. Тем не менее, за это он заплатил большую цену.
Он был вынужден обратиться к больцмановскому методу получения полного числа микросостояний, чтобы получить выражение для энтропии. Тот метод вовсе не был популярным и многие его считали в лучшем случае вызывающим сомнения. Что хуже, в отличие от Больцмана, который в конце концов смог аккуратно устранить те раздражающие порции, Планк остался с ними навсегда, поскольку их устранение привело бы к полному и абсолютному провалу его теории.
Полное признание этого довольно хитрого характера энергии означало, что вся физика, которую Планк знал, навсегда радикально изменится. По вполне понятным причинам Планк не желал принимать роль революционера, и для продвижения концепции прерывной, или дискретной, природы энергии, которую мы сейчас называем квантами энергии (или квантом в случае одной порции), он сделал очень мало.
Он придерживался идеи, что кванты энергии были математическим артефактом, и надеялся, что будущие усовершенствования его теории приведут назад, к «старой доброй физике» (классической физике) с менее радикальными результатами. Он, как и почти все остальные, предпочел концентрировать внимание на замечательной точности закона излучения Планка, а не на раздражающих квантах энергии, существование которых он подразумевал. Прошло восемь лет с момента, когда Планк впервые представил свою квантовую теорию дискретной энергии, и до момента, когда он смог окончательно признать, что она излагала фундаментальную природу энергии:
«…имеется определенный порог: резонатор совсем не отвечает на очень слабые возбуждения; если он отвечает на более сильные, то только так, что энергия является целым кратным элемента энергии hν, так что мгновенное значение энергии всегда представляет собой такое целое кратное».
В то время как Планк и другие, возможно, колебались в признании квантов энергии, один человек принял их сразу.