Механизм Вселенной: как законы науки управляют миром и как мы об этом узнали — страница 17 из 20

Квантовая механикаЛотерея природы

Квантовая механика официально началась с работы Планка в 1900 году. В этой революционной работе он показал, что у энергии атома или молекулы («резонатор», как он говорил) могут быть лишь дискретные значения. Другими словами, энергия поступает «порциями», называемыми квантами, подобно тому как вещество состоит из «порций», называемых атомами. Это поведение энергии заметно только на очень маленьких объектах, таких как атомы, молекулы и фотоны.

Действительно, за предметами в нашей обыденной жизни такого мы не замечаем. К примеру, двигатели наших машин не работают так, чтобы они перемещались «квантовыми скачками», как электроны в атоме. В этом отношении подобными свойствами не обладают ни объекты, с которыми мы взаимодействуем каждый день, ни люди. Тем не менее атомы, из которых состоят эти объекты, двигаются согласно очень странным законам квантовой механики.

Работа Эйнштейна 1917 года по взаимодействию света с атомами затрагивала это странное поведение, показывая, что невозможно с какой-либо долей уверенности знать направление импульса, переданного атому после спонтанного излучения фотона. Оно оставлено «на волю случая» или, точнее, закона вероятности (тогда неизвестного), описываемого квантовой механикой; квантовой механике внутренне присуща случайность.

Мы уже сталкивались с применением вероятностей для решения физических проблем. Например, мы знаем, что система атомов идеального газа, находящаяся в тепловом равновесии, подчиняется распределению Максвелла по скоростям (тогда как полная энергия — распределению Больцмана). То есть мы используем вероятности для упрощения вычислений, которые иначе были бы очень сложными или невозможными. Но нужно отметить: это не значит, что скорости атомов идеального газа по своей природе неизвестны, из-за чего приходится довольствоваться неопределенным описанием распределения вероятности (например, распределением Максвелла). Наоборот, вероятность просто используют как инструмент, она не является фундаментальной физической природой.

Но в 1917 году Эйнштейн выявил удивительную реальность, согласно которой природа оставляет некоторые вещи неизвестными в принципе, а вероятность, связанная с этими вещами, — оказывается больше, чем просто удобным инструментом вычислений. Это физическая реальность.

Фотоны и закон излучения Планка: наконец-то вместе

Как уже было упомянуто выше, вывод закона излучения Планка был сделан преимущественно с использованием классической механики и закончился гипотезой о квантах энергии. Однако истинная квантовая теория должна была быть совершенно свободной от всех артефактов классической механики. В частности, это стало мотивацией для работ Эйнштейна 1916–1917 годов по взаимодействию света и вещества. На самом деле Эйнштейн имел возможность прийти к «намного более квантовому» варианту вывода закона излучения Планка. В конечном итоге он оказался очень близок к нему, но вынужден был сделать предположения (связанные, например, с правилом частот Бора, законом смещения Вина), которые лишили его вывод возможности стать полностью квантовым. Хотя еще в 1905 году Эйнштейн был готов дать полностью квантовый вывод закона излучения Планка.

В то время Эйнштейн представил свет в ящике в состоянии теплового равновесия, вычислил энтропию и получил окончательное выражение того же самого вида, что и для набора частиц идеального газа (также находящегося в ящике в состоянии теплового равновесия). Это интригующее сходство привело Эйнштейна к заключению, что при низких плотностях энергии свет ведет себя как частицы (фотоны), а не как волны.

Это новое описание света дало средство глубже исследовать его физические свойства, и почти двадцать лет Эйнштейн занимался ими в одиночестве. Вспомним, что Планк вывел аналогичным способом выражение для энтропии одного из резонаторов. После это он провел очень важное вычисление — посчитал число микросостояний W для набора резонаторов, обратившись к методу Больцмана. Поскольку этот метод требует сперва представить, что энергия частиц (в случае Планка — резонаторов) появляется «порциями», вычисление приобретает большое значение с точки зрения формировании физической концепции световых квантов Планка.

Для Планка этот дополнительный шаг изменил все, поскольку привел его к новой физической интерпретации, которой прежде не было. В то время как метод Больцмана привел Планка к идее квантов энергии, световые кванты Эйнштейна (эти «порции» уже с самого начала были в его распоряжении)[193] не привели его к методу Больцмана. Он вообще не определял число микросостояний системы фотонов в рамках этого подхода[194]. Сделав это, он бы нашел ни более ни менее как недостающие кусочки «пазла света», которые искал еще почти двадцать лет.

Он был вообще не знаком с методом Больцмана? Вовсе нет. Планк очень хорошо знал метод и открыто критиковал его применение и у Больцмана, и у Планка. Возможно, в 1905 году он не мог решиться использовать метод Больцмана. Тем не менее проведенный в 1916–1917 годах вывод Эйнштейна был настолько близко к полностью квантовому выводу закона излучения Планка, насколько это возможно, — до того, как проблему вновь рассмотрел в 1924 году неизвестный физик из Калькутты, Индия.

Сатьендра Нат Бозе (1894–1974) был старшим и единственным сыном в семье из семи детей. Будучи учеником, он делал исключительные успехи в математике. В старшей школе он получил за экзамен по математике 110 баллов из возможных 100, потому что, помимо правильного решения всех задач, некоторые он решил несколькими способами. В 1913 и 1915 годах он получил степень бакалавра и магистра смешанной математики соответственно (этот раздел близок к тому, что сейчас называют прикладной математикой, или математической физикой), оба раза заняв первое место в группе. На самом деле его экзаменационный бал для получения степени магистра был настолько высоким, что поставил новый рекорд, который до сих пор не побит.

В возрасте двадцати лет (в 1914 году) он женился на Уше Деве. У них было девять детей. В 1916 году стал читать лекции по физике в университете в Калькутте. В 1919 году Бозе вместе с бывшим одноклассником Мегнадом Сахой подготовил первый перевод теории относительности Эйнштейна на английский язык, основанный на немецком варианте и французском переводе оригинальных публикаций Эйнштейна. В течение следующих нескольких лет они вместе писали работы по теоретической физике и фундаментальной математике. В 1921 году Бозе приняли преподавателем на кафедру физики университета в Дакке, недавно созданного имперским британским правительством. Именно там Бозе занялся тем, что изменит квантовую теорию (и его жизнь) навсегда.

К 1924 году Бозе нашел способ сделать закон излучения Планка полностью квантовым, свободным от предположений, сделанных Планком и Эйнштейном. К сожалению, он не смог опубликовать его самостоятельно, поэтому решил обратиться к Эйнштейну:

«Многоуважаемый господин, я решился направить сопроводительную статью для ознакомления и с целью узнать Ваше мнение. Очень хотел бы узнать, что Вы о ней думаете. Вы увидите, что я попытался вывести (закон излучения Планка) независимо от (классической механики)… Я не достаточно хорошо знаю немецкий язык, чтобы перевести статью. Если, по Вашему мнению, статья достойна публикации, я буду признателен, если Вы договоритесь о ее публикации в Zeitschrift für Physik. Хотя для Вас я совершенно незнакомый человек, но не испытываю никаких сомнений в обращении с такой просьбой. Потому что все мы являемся Вашими учениками, но учимся у Вас только через Ваши работы. Я не знаю, помните ли Вы, что некто из Калькутты попросил Вашего разрешения перевести Ваши статьи по теории относительности на английский язык. Вы разрешили, и поэтому книга была опубликована. И я был тем, кто перевел Вашу статью по общей теории относительности».

Эйнштейн, должно быть, сразу же понял, чего достиг Бозе, ведь он сам много раз возвращаясь к этой проблеме — и в 1917 году приблизился к ее решению — опять же, чтобы потерпеть неудачу. Эйнштейн перевел статью Бозе, добавив свое собственное примечание редактору: «На мой взгляд, вывод формулы Планка, предложенный Бозе, — это важный шаг вперед. Используемый метод также приводит к квантовой теории идеального газа, над всеми сторонами которой я буду подробно работать». Статью Бозе быстро приняли.

Статья Бозе оказала далеко идущее влияние на физику, возможно, даже в большей степени, чем Бозе осознавал. В течение почти двух десятилетий Эйнштейн был фактически одиночкой в продвижении концепции фотонов (то есть световых квантов, света как частиц). Но в 1924 году Бозе серьезно отнесся к этой работе и смог сотворить нечто волшебное, что как раз не давалось Эйнштейну.

Бозе прямо использовал концепцию фотонов для построения картины микросостояний так, как это еще прежде не делали[195]. Он представил, что данное микросостояние состоит из набора маленьких «ячеек» с определенным числом фотонов, находящихся в каждой ячейке. То есть можно представить, что в некоторых ячейках вообще нет фотонов, другие содержат 1 фотон, а в других — 2, 3 и т. д. Получается, что определенное микросостояние описывается тем, сколько фотонов находится в каждой ячейке, и, как прежде, набор всех микросостояний задает макросостояние, или термодинамическое состояние. Важно отметить, что Бозе не налагал ограничений ни на число фотонов, которые могут находится в конкретной ячейке, ни на полное число фотонов в системе — любое число было возможным. Другими словами, полное число фотонов не сохранялось[196].

Мы обсуждали то, как в природе сохраняются определенные физические величины; возможно, наиболее знакомой из них является энергия. В самом деле, энергия всегда сохраняется, не создаваясь из ниоткуда и не исчезая в никуда, а просто переходя из одной формы в другую. Сделав число фотонов не сохраняющимся, Бозе сделал смелое физическое утверждение (на которое, что странно, в своей статье он вообще не обращал внимания). Он заявлял, что фотон, в отличие от энергии, может быть создан и уничтожен. Действительно, мы уже такое видели в модели атома Бора.

Вспомним, что в атоме Бора, когда электрон «перескакивает» из квантового состояния с большей энергией в состояние с меньшей, он излучает фотон, а поглощение фотона приводит к «перескоку» электрона в квантовое состояние с большей энергией. Фактически излучение фотона — это его создание, а поглощение — его уничтожение. Еще один вариант представления состоит в том, что фотон — это просто сгусток энергии, и поэтому в процессах излучения и поглощения он просто переходит из одной формы в другую; энергия сохраняется, а фотон — нет.

Как и Планк до него, Бозе использовал метод Больцмана для определения полного числа микросостояний для своей системы фотонов и получил окончательное выражение для энтропии[197]. Мы узнали, что при использовании оригинального подхода Больцмана Планк считал, что каждый атом газа — «атом 1», «атом 2» и т. д. — обладает определенным количеством энергии — 0, ε, 2ε, 3ε и т. д. У него задание конкретного микросостояния сводилось к нумерации всех атомов и присвоению каждому из них одного из возможных значений энергии. Таким образом, нумерация Больцмана сделала как атомы, так и значения энергии различимыми (мы уже кратко упоминали об этом выше, но сейчас мы рассмотрим это подробнее). Бозе считал, что его описание во многом аналогично исходному подходу Больцмана, но на самом деле между ними есть большая разница.

В отличие от Больцмана, сосредоточенного на атомах газа с их соответствующими энергиями, в центре внимания Бозе были его ячейки и соответствующие количества фотонов, располагающихся в них. Тогда как у Бозе ячейки были занумерованы («ячейка 1», «ячейка 2» и т. д.) подобно тому, как Больцман нумеровал свои частицы (атомы газа), частицы (фотоны) — нет. Вместо этого он предусматривал только определенное число фотонов, занимающих некоторую ячейку. Так что, если частицы Больцмана можно было отличить друг от друга, то частицы Бозе были неразличимыми (это другая особенность, которую Бозе явно не упомянул)[198]. Физически это означает, что все фотоны выглядели бы совершенно одинаково, если бы можно было увидеть их «вблизи». Они тождественны.

Более того, опять же, если частицы Больцмана сохранялись (невозможно на досуге просто создать или уничтожить атомы газа), то частицы Бозе — нет. Наконец, Бозе отметил, что для получения формулы Планка необходимо было допустить, что фотон находится в одном из двух состояний поляризации, которые в современной квантовой теории известны как спиновые состояния. Эту замечательную находку Бозе упомянул лишь мимоходом[199].

Кризис тождественности

Чтобы лучше понять противопоставление различимого и неразличимого, рассмотрим две монеты. Если мы подбросим каждую из них и будем считать различимыми, то возможные микросостояния системы из этих монет после их падения будут следующими: (О₁, О₂), (О₁, Р₂), (Р₁, О₂) и (P₁, P₂), где О = орел, Р = решка, а номера обозначают монету 1 и монету 2. Есть четыре различных микросостояния. Однако, если мы не будем нумеровать монеты — то есть сделаем их неразличимыми, — то возможными микросостояниями будут (О, О), (О, Р) и (Р, Р), поскольку теперь (О₁, Р₂), (Р₁, О₂) — это одно и то же микросостояние.

На самом деле монеты любого достоинства не являются настолько уж неотличимыми; хотя две монеты могут выглядеть очень похоже, всегда будет некоторая отличительная характеристика, придающая правильному методу «подсчета микросостояний» прежний вид. С другой стороны, микроскопические частицы, такие как атомы, фотоны, электроны и т. д., на самом деле неотличимы друг от друга, и поэтому требуют последний, только что описанный вариант метода подсчета микросостояний, пусть и намного более изощренный.

Именно Бозе ввел такой подход для фотонов, тем самым дав начало тому, что со временем станут называть квантовой статистикой. В 1905 году Эйнштейн защищал определенную эквивалентность света и атомов, в основном заключающуюся в том, что свет — это некая частица (фотон), и атом — это тоже некая частица[200]. Примерно двадцать лет спустя Эйнштейн был готов распространить эту эквивалентность дальше, применив метод Бозе, использованный для света, к атомам идеального газа, и этим он показал, что кажущийся безобидным метод Бозе привел к серьезным физическим последствиям и для атомов[201]. Он явно выразил свои чувства по этому поводу:

«Если сделанный Бозе вывод формулы излучения Планка воспринимать всерьез, то тогда нельзя оставить без внимания (мою) теорию идеального газа; поскольку ее оправдывает рассмотрение излучения (света) как квантового газа, и тогда аналогия между квантовым газом (светом) и газом из молекул, должно быть, является полной».

Эйнштейн написал три статьи, касающиеся квантовой теории идеального одноатомного газа. В первой из этих статей (представленной Прусской академии наук всего лишь через восемь дней после того, как Бозе прислал статью для публикации, и опубликованной позднее, в 1924 году) Эйнштейн с успехом применил новый метод Бозе к идеальному газу[202], получив выражения для важных термодинамических величин, и проиллюстрировал различие между своей новой теорией и основанной на классической механике. Главным результатом этой статьи является эквивалентность между светом и атомами, которую она начала устанавливать. Вторая статья, которую опубликовали в 1925 году, из всех трех имеет наибольшее значение. Здесь Эйнштейн прямо обращается к неразличимости, присущей методу Бозе, которую сам Бозе никогда не упоминал. Мы видим, что концепция неразличимости, или «потери статистической независимости», как ее тогда называли, вызвала большие волнения в физическом сообществе. Эйнштейн говорил:

«Сторона теории излучения Бозе и моего аналога для идеальных газов, которые критиковались господином Эренфестом и другими коллегами, состоит в том, что в этих теориях кванты, или молекулы, не считаются (различимыми) сущностями; этот вопрос явно не поднимался в наших работах. И это абсолютно верно».

Эйнштейн не делал каких-либо оговорок по поводу неотъемлемой неразличимости. Он просто продолжил в подробностях перечислять отличия между новой теорией и подходом, использующим классическую механику, и привел модифицированную формулу для числа микросостояний неразличимых частиц, которую используют и по сей день. Далее он признал, что есть реальные физические следствия, вытекающие из этой неразличимости: «То есть формула (для числа микросостояний) косвенно выражает определенную гипотезу, касающуюся взаимного, таинственного на данный момент типа влияния молекул друг на друга». Сейчас мы знаем, что это таинственное поведение — всего-навсего одно из многих у микрочастиц.

Другой впечатляющий момент второй статьи Эйнштейна — предсказание очень необычного фазового перехода, происходящего с идеальным квантовым газом. Эйнштейн описал это явление в письме к Паулю Эренфесту (1880–1933): «При определенной температуре молекулы конденсируются без помощи каких-либо сил притяжения, то есть они скапливаются у нулевой скорости».

Другими словами, при понижении температуры атомы в газе начинают «скучиваться», или конденсироваться, в одночастичное состояние с наименьшей энергией, в котором кинетическая энергия равна нулю; есть критическая температура, при которой происходит фазовый переход[203]. Это эффект становится наиболее выраженным, когда температура понижается до абсолютного нуля, при котором все атомы газа конденсируются в состояние с наименьшей энергией. Разумеется, конденсация газа в жидкое состояние не является ничем особенным.

Многие из нас знакомы с явлением, когда наше «дыхание» (точнее, водяной пар выдыхаемого нами воздуха) конденсируется, когда мы находимся на улице холодным зимнем днем, и благодаря этому становится хорошо видимым. Новация, которую предложил Эйнштейн, состояла в том, что конденсация того особого типа может происходить без воздействия притяжения любого типа. То есть атомы могут «притягиваться друг к другу таинственным образом», что приводит к конденсации даже, опять же, при полном отсутствии любого притяжения (в идеальном газе нет ни притяжения, ни отталкивания между частицами).

В то время конденсацию Бозе — Эйнштейна (БЭК) не воспринимали слишком серьезно, и ее даже критиковали, в частности Эренфест (который в том числе подтолкнул Эйнштейна к написанию третьей и наименее важной статьи из серии). Однако в 1938 году Фриц Лондон (1900–1954) предположил, что БЭК представляет собой механизм, возникающий при фазовом переходе гелия-4 в сверхтекучее состояние. Наконец, в 1995 году предсказание Эйнштейна воплотили в жизнь: используя комбинацию новых технологий, физики-экспериментаторы смогли охладить систему рубидия-87 почти до абсолютного нуля.

Как будто разъяснений Эйнштейна в отношении неразличимости и установления фазового перехода нового типа было недостаточно, он сделал еще одно поразительное предсказание. Эйнштейн снова обратился к своему флуктуационному подходу, введенному в 1904 году. Этот подход уже оказал Эйнштейну хорошую услугу, сначала в изучении света в 1909 году и затем снова в изучении взаимодействия света с атомами в 1917 году. В 1925 году он опять подарил невероятное открытие.

Вспомним, что в 1909 году Эйнштейн успешно применил этот подход и обнаружил, что свет ведет себя и как волна, и как частица. А конкретнее, выводя выражения для флуктуаций энергии и импульса света, он отметил в них наличие и корпускулярной, и волновой составляющей. Подобный анализ флуктуаций частиц идеального квантового газа также выявил наличие двух членов.

В 1909 году, когда Эйнштейн провел эти вычисления для света, волновой член был ожидаемым, тогда как корпускулярный вызвал удивление. Но в 1925 году ситуация была обратной: подобное вычисление для идеального квантового газа привело к знакомому корпускулярному члену вместе с неожиданным волновым.

Примерно двадцатью годами ранее Эйнштейн уподобил свет идеальному газу, что привело его к заключению, что свет может быть и частицей, и волной. Интересно отметить, что в то время это сравнение не привело его к вопросу, мог ли атом идеального газа вести себя и как волна, и как частица. По-видимому, он был просто не готов распространить этот дуализм на идеальный газ и применил его только к свету. Однако в 1925 году, применяя метод Бозе к идеальному газу, Эйнштейн показал, что теперь был готов это сделать. Как оказалось, он был не один.

Волны материи

Луи Виктор Пьер Раймон де Бройль (1892–1987) родился в Дьепе, который находится в департаменте Приморская Сена во Франции. Он принадлежал к французской дворянской семье, в конечном итоге став седьмым герцогом Брольи. Первоначально заинтересовавшись гуманитарными науками, де Бройль получил степень бакалавра истории. Позднее он обратил свои интересы к математике и физике и в 1913 году получил ученую степень. Однако его карьеру прервала Первая мировая война. С 1914 по 1918 год де Бройль базировался на Эйфелевой башне в составе беспроводного телеграфного подразделения, посвящая свое свободное время решению технических проблем. После войны он заинтересовался теоретической физикой, особенно квантовой теорией:

«Когда в 1920 году я продолжил свои исследования…что привлекло меня… к теоретической физике, так это… тайна, которая все более окутывала структуру вещества и излучения, по мере того как странная концепция кванта, введенная Планком в 1900 году в его исследовании излучения абсолютно черного тела, каждый день проникала все дальше и дальше вглубь физики».

Старший брат Луи де Бройля, Морис де Бройль (1875–1960), разделял страсть своего младшего брата к физике. Несмотря на то что он закончил школу морских офицеров и провел девять лет во французском флоте Морис — пренебрегая желаниями семьи — в 1904 году бросил все, чтобы сконцентрироваться на физике, и в 1908 году защитил докторскую диссертацию. Приступив в 1913 году к изучению рентгеновских лучей, к 1920 году Морис накопил большой опыт — примерно тогда же де Бройль начал работать над докторской диссертацией.

Хотя в глубине души Луи де Бройль был чистым теоретиком, он проявлял большой интерес к экспериментам брата с рентгеновскими лучами. Эта работа вместе с «долгими обсуждениями с моим братом по интерпретации его красивых экспериментов» действительно произвела на де Бройля большое впечатление. Прежде всего, де Бройль полностью уверовал, что двойственное поведение света, описанное Эйнштейном в 1905 году, распространяется и на рентгеновские лучи[204]. Однако его основное заключение распространяло корпускулярно-волновое поведение на вообще все квантовые частицы, особенно на электрон. В интервью от 1963 года де Бройль размышлял о своем озарении:

«Поскольку в разговорах с моим братом мы всегда приходили к заключению, что в случае рентгеновских лучей были и волны, и (частицы), то внезапно — …это точно было летом 1923 года — я пришел к тому, что нужно распространить этот дуализм на материальные частицы, прежде всего на электроны».

В 1923 году де Бройль (тогда ему был 31 год) опубликовал три статьи, посвященные этой удивительной концепции, увенчавшейся докторской диссертацией «Исследования по теории квантов», которую он защитил 25 ноября 1924 года. В первой статье, используя уравнение Эйнштейна, связывающее массу и энергию:

E = mc ²,

выражение для энергии кванта Планка — Эйнштейна

E = hν,

немного простой математики, а также свою новую интерпретацию корпускулярно-волнового дуализма, де Бройль вывел формулу для длины волны λ, связанной с частицей:

λ = h / p,

где (как и прежде) h — постоянная Планка, а p — импульс частицы. Де Бройль представил, что λ — длина волны, сопровождающей частицу, управляющей ей — или «пилотирующей» ее движение (что обсуждалось в его второй статье), а также (в третьей статье) он показал, что к идее квантования атома, которое Бор просто допускал, можно прийти естественным путем с его концепцией пилотной волны. Эйнштейн обратил внимание на работу де Бройля в 1924 году[205], когда Поль Ланжевен (1872–1946), один из членов экзаменационной комиссии, посчитав его идеи немного надуманными (или, возможно, попросту запутанными), отправил диссертацию де Бройля Эйнштейну на рассмотрение. Эйнштейн отозвался о работе довольно одобрительно:

«…де Бройль предпринял очень интересную попытку… Я считаю, что эта попытка — первый слабый луч света, упавший на эту сложнейшую из головоломок физики, предстающих перед нами. Я также обнаружил кое-что, говорящее за это построение».

Каким бы оптимистичным ни был ответ Эйнштейна, де Бройль не защитил свою диссертацию. Эйнштейн удачно использовал концепцию де Бройля в 1925 году, когда его анализ идеального квантового газа привел к установлению (как было упомянуто выше) волнового члена; Эйнштейн процитировал именно работу де Бройля (а точнее, его диссертацию) как источник физического понимания.

Ранее мы упоминали, что дифракция становится наиболее заметной, когда волна проходит через отверстие с размерами, меньшими или равными ее длине. И на самом деле это явление происходит с волнами всех типов. Так, если электрон (или любая другая квантовая частица) реально обладает волновыми свойствами, то тогда мы сможем наблюдать дифракцию при его прохождении через «отверстие» с размерами, меньшими или равными длине волны де Бройля этого электрона. Возникает следующий вопрос — в чем есть отверстие с размерами, приблизительно равными длине волны де Бройля электрона?

Оказывается, что для этого идеально подходят маленькие расстояния (шаг кристаллической решетки) между атомами. То есть кристаллическое твердое тело с правильной решеткой должно действовать как дифракционная решетка для электронов. На самом деле в работе Макса фон Лауэ (1879–1960) уже был прецедент такой дифракции: в 1912 году он показал, что рентгеновские лучи дифрагируют на кристалле сульфата меди, тем самым подтверждая свою волновую природу (в то время по-прежнему шли ожесточенные споры по поводу природы рентгеновских лучей).

В 1927 году подтверждение получили теория де Бройля и корпускулярно-волновой дуализм: Клинтон Дэвиссон (1881–1958) и Лестер Джермер (1896–1971) успешно показали, что пучок электронов, направленный на никелевый кристалл, не только отражался от него, но и вызывал дифракцию электронов. Этот эксперимент стал кульминацией десятилетней упорной работы, начатой Дэвиссоном.

Во избежание нежелательных воздействий со стороны воздуха опыты были проведены в вакуумной камере. Однако случилась авария, в результате которой воздух проник в камеру, и никель прореагировал с кислородом воздуха, что привело к образованию оксида никеля. Чтобы восстановить никель, его нагрели в присутствии водорода. Однако, повторив эксперименты с восстановленным никелем, ученые получили некоторые новые интересные результаты. Доля отраженных электронов от никеля в некоторых направлениях была больше, чем в других. Иными словами, была зависимость интенсивности электронного пучка от направления, которой не было заметно в предыдущих экспериментах.

Дэвиссон и Джермер сделали предположение, что вновь восстановленный никель на самом деле перешел из своего исходного твердого состояния в новую кристаллическую форму. Далее они пришли к выводу, что кристаллическая структура имела необходимое межатомное расстояние для дифракции — а не простого отражения — электронов, тем самым выявляя их волновую «природу де Бройля». Наконец, они обнаружили, что закон Брэгга правильно описывал зависимость интенсивности пучка от направления, которую они видели в их опытах.

Я не буду вдаваться в подробности закона Брэгга, а только сообщу основную идею: он правильно описывает зависимость интенсивности пучка от направления, делая предположение, что отражается волна — а не частица. То есть он верно описывает дифракцию волн на кристаллах (закон Брэгга правильно описывает эксперименты Лауэ по дифракции рентгеновских лучей). Ясно, что Дэвиссон и Джермер не планировали проверять теорию де Бройля, а просто пытались исследовать свойства поверхности никеля.

Они не были знакомы с теорией де Бройля вплоть до 1926 года, а именно — до того, как Дэвиссон посетил научный съезд, на котором ее представили его вниманию. Он и Джермер уже обнаруживали, что их экспериментальные данные походили на результаты дифракции рентгеновских лучей на кристаллах. С представлением, данным теорией де Бройля, Дэвиссон понял, что они были обусловлены волновой природой электрона.

Опыты Дэвиссона и Джермера были большим шагом навстречу корпускулярно-волновому дуализму вещества, в частности электрона. В классической физике частицы и волны всегда рассматривались как отдельные сущности, но для квантовых объектов (фотонов, электронов и т. д.) это разграничение исчезает, и они переплетаются.

В 1929 году за свою теорию корпускулярно-волнового дуализма де Бройль был удостоен Нобелевской премии. Когда (в 1923 году) он написал свою серию статей, открывающую новые горизонты, ему был всего лишь тридцать один год. Концепция волны де Бройля стала его великим вкладом в физику. Однако она будет лишь инструментом вдохновения для Эрвина Шрёдингера — тридцативосьмилетнего физика, который построит (проводя рождественские каникулы со своей любовницей) уравнение — саму основу того, что называют квантовой механикой.

Путь Шрёдингера в квантовый мир

Эрвин Шрёдингер (1887–1961) родился в Вене, Австрия, и был единственным ребенком Рудольфа и Георгины Шрёдингер. Его отец унаследовал семейный бизнес, был владельцем прибыльной фабрики по производству линолеума и клеенки, а его матерь была из рода мелких дворян. Шрёдингеры были на самом деле обеспечены и наслаждались образом жизни, типичным для людей выше среднего класса того времени. Шрёдингер рос, окруженный женщинами (две тети, двоюродная сестра, няни и прислуги), исполняющими все его прихоти, что, скорее всего, в дальнейшем повлияло на его отношения с женщинами. И в течение некоторого времени эту комфортную обстановку не нарушала даже школа, поскольку Шрёдингер до десяти лет находился на домашнем обучении.

Однако именно отец, несомненно, придал юному Шрёдингеру интеллектуальный стимул. Хотя он и вел семейный бизнес, в глубине души он был ученым с истинной страстью к ботанике (тематике, по которой он публиковался в профессиональных журналах). Он также был очень сведущ в итальянской живописи и химии. Чтобы удовлетворить свои интересы, он держал большую библиотеку, к которой сын имел беспрепятственный доступ — образованию сына уделяли первостепенное внимание. Позднее именно отец отговорил Шрёдингера от продолжения семейного бизнеса и вместо этого посоветовал заняться научной деятельностью (сожалея о том, что сам ею не занимался).

В 1898 году после длинных весенних каникул Шрёдингер впервые испытал на себе прелести официального образования в школе св. Николая, куда обеспокоенные родители отдали его всего лишь на несколько недель — для подготовки к вступительному экзамену в Академическую гимназию (подобную средней школе в Англии). Осенью 1898 года Шрёдингер блестяще сдал экзамен и поступил в Гимназию, она была удобно расположена в десяти минутах ходьбы от его дома. Латынь, греческий язык и литература были там основными предметами, а математика и физика — второстепенными. Шрёдингер очень хорошо справлялся с учебой и был первым в классе по всем предметам.

В 1906 году, вскоре после смерти Больцмана, Шрёдингер поступил в Венский университет. Смерть Больцмана оставила отделение физики в беспорядке, а чтение лекций по теоретической физике прервали на восемнадцать месяцев, когда Больцмана заменил Фридрих (Фриц) Хазенерль (1874–1915). Тем не менее ожидание стоило того, потому что Хазенерль тут же мастерски прочитал свою первую лекцию по статистической механике Больцмана (он сам учился и у Больцмана, и у Йозефа Стефана (1835–1898) в том же Венском университете). Курс Хазенерля по теоретической физике был рассчитан на восемь семестров и читался пять дней в неделю — Шрёдингер был на седьмом небе от счастья: «Ни один человек, возможно, кроме моего отца, так сильно не повилял на меня, как Фритц Хазенерль».

Теоретической физике суждено было стать его призванием, и в 1910 году Шрёдингер получил свою степень доктора философии (не совсем эквивалентную одноименной степени в Америке, а скорее степени магистра) за свою диссертацию «Об электрической проводимости на поверхности изоляторов в сыром воздухе», мотивированную значением электрической изоляции, используемой в инструментах, измеряющих ионизацию и радиоактивность.

Вскоре Шрёдингера призвали в армию. В 1908 году он поступил на службу в войска крепостной артиллерии. Хотя для всех здоровых мужчин обязательная военная служба длилась три года, поскольку нужно было больше офицеров, чем могли выпустить академии и кадетские школы, людям с достаточным уровнем образования и социальным положением — таким как Шрёдингер — система позволяла быть «одногодичными волонтерами», которые проходили офицерскую подготовку, самостоятельно покрывая расходы на проживание. Пройдя военную подготовку, он сдал экзамены на должность прапорщика в запасе (звание непосредственно ниже лейтенанта для младших офицеров) и накануне нового 1911 года вернулся к полноценной гражданской жизни.

Вернувшись в университет, Шрёдингер занял более подходящую (и на нее он, несомненно, был бы избран) должность ассистента физика-экспериментатора Франца Экснера (1849–1926), должность, которую Хазенерль передал ему за военную службу. Теперь Шрёдингер был вовлечен в процесс хабилитации, который привел его на первую ступень академической лестницы, в должность приват-доцента. Это процесс включал несколько уровней, первым из которых были завершение и публикация оригинального научного исследования[206]. Следующим было официальное представление комиссии, называемое коллоквиумом.

Как и требовалось, Шрёдингер выбрал три возможных темы для представления: аномальная дисперсия в спектре электрической дуги; значение кванта действия в теории теплового излучения; и магнитный момент электрона — его комиссия и выбрала для обсуждения. Наконец, был устный экзамен и обсуждение темы коллоквиума перед комиссией. Удовлетворив всем требованиям, 9 января 1914 года Шрёдингер стал приват-доцентом. 31 июня 1914 года отец Шрёдингера приехал к нему на работу, чтобы лично передать ему вклад в мобилизацию.

Теперь Шрёдингер официально стал вносить вклад в военные действия и делал это до конца 1918 года. Шрёдингер в основном выполнял свои военные обязанности как командир батареи в течение третьей битвы при реке Изонцо (18 октября — 3 ноября 1915 года)[207]. Его безупречную службу там отметили следующими строками, находившимися в его личном деле в военном архиве:

«…заменяя командира батареи, (Шрёдингер) весьма успешно исполнял свои обязанности. При подготовках, как и во многих сражениях, он командовал как первый офицер на огневой позиции. Своим бесстрашием и хладнокровием в условиях повторяющихся массированных артиллерийских обстрелов со стороны врага он подал людям яркий пример мужества и доблести. Благодаря его личному присутствию на огневых позициях боевые задания перед массированным вражеским огнем всегда выполнялись точно и успешно…»

1 мая 1916 года Шрёдингера повысили до старшего лейтенанта. В 1917 году ему дали отсрочку, и Шрёдингер был отправлен назад в Вену — вести лабораторные практикумы по физике в университете, а также занятия по метеорологии в военном училище, где подготавливали артиллерийских офицеров противовоздушной обороны. Однако дела недолго шли хорошо.

В 1918 году мать Шрёдингера восстанавливалась от операции по удалению рака груди, проведенной почти год назад, а сам Шрёдингер боролся с туберкулезом. В довершение всего семейный бизнес, неспособный получить необходимое сырье, в конечном итоге потерпел крах. Отец Шрёдингера тоже болел, у него отмечались признаки гипертонии и атеросклероза, и 24 декабря 1924 года — отдыхая в кресле — он скончался.

К счастью, к 1920 году перспективы работы Шрёдингера стали лучше — как раз вовремя, поскольку семейные сбережения полностью закончились. Ему первому предложили повышение — должность профессора Венского университета. Эти перспективы были довольно мрачными, поскольку зарплата не позволила бы ему содержать себя и будущую жену Аннемари (Анни) Бертель. К счастью, тогда же ему предложили должность ассистента (которая также включала обязанности по чтению лекций по современной теоретической физике) в Йенском университете. Зарплата была лучше, чем в предыдущем предложении, и он согласился. Перед отъездом Шрёдингер и Аннемари поженились (фактически дважды) и в апреле того года приехали в Йену.

Шрёдингер произвел прекрасное впечатление, и всего лишь несколько недель спустя факультет рекомендовал его на должность профессора. Хотя зарплата была значительно больше, чем в Венском университете, послевоенная инфляция увеличивалась, и там он не задержался. Так, когда ему предложили должность профессора в университете Штутгарта, он с радостью принял предложение, оставив должность в Йене 1 октября. Но в Штутгарте он тоже пробыл ненадолго.

В начале лета он и Анни переехали в Бреслау (теперь Вроцлав), где Шрёдингер занял еще одну должность, на этот раз штатного профессора. Перед отъездом Шрёдингер поделился со своим другом мнением о послевоенном напряжении, которое преобладало там: «У меня такое чувство, что мне все время хочется сказать: “Дайте мне выбраться из этой пороховой бочки”». Менее чем через 6 месяцев Шрёдингеры снова переехали.

В течение всей войны место заведующего кафедры теоретической физики университета в Цюрихе оставалось свободным, хотя на кафедре работали исключительные преподаватели, в частности Пауль Эпштейн (1883–1966). Правительство Швейцарии было, так сказать, жадноватым и, не производя назначения, сберегало деньги. К ноябрю 1919 года факультет устал и потребовал, чтобы на должность, наконец, кого-то назначили. Этот процесс затягивался, но 3 марта 1921 года — более года спустя — декан написал Комиссии по вопросам образования, что в первую очередь нужно выбирать Лауэ.

Лауэ заинтересовался возвращением — он занимал эту должность раньше — но четко дал понять, что ему хотелось бы получать за это исключительно хорошую зарплату, учитывая финансовый кризис (из-за послевоенной инфляции его семья потеряла все деньги). Видимо, директорат не смог предложить достаточно денег, чтобы удовлетворить требования Лауэ.

Годом ранее комиссия опасалась, что не сможет привлечь самых талантливых, и рассмотрела своих (трех) преподавателей. Серьезно думали об Эпштейне, но были опасения, что его польский акцент сделает чтение длинных базовых лекций проблемой. По-видимому, это не было проблемой для Лейденского университета, где ему вместе с Хендриком Лоренцем (1853–1928) предложили занять должность, которую он с радостью принял.

Теперь, упустив и Лауэ, и Эпштейна, комиссия подождала немного и 20 июля 1921 года официально одобрила назначение Шрёдингера штатным профессором кафедры теоретической физики. Зарплата Шрёдингера, примерно 2,5 тысячи долларов в год, была по тем временам превосходной. Более того, как последователь Эйнштейна, Петера Дебая (1884–1966) и Лауэ, занимавших эту должность до него, он продолжал выдающееся дело. Наконец, после всех переходов с одного места работы на другое и постоянного беспокойства о деньгах, 34-летний Шрёдингер, должно быть, почувствовал облегчение и вдохноление. Он останется в университете Цюриха на шесть лет. И здесь он проделает свою величайшую работу, составив то самое уравнение, которое сыграет главную роль в преобразовании квантовой теории в квантовую механику.

Возможно, Шрёдингер в самом деле получил вдохновение, но начало работы на новом месте было тяжелым. И как только начался осенний семестр в 1921 году, все остановилось: в ноябре Шрёдингер — измотанный как физически, так и морально от череды событий, начавшейся с 1918 года (потеря обоих родителей и дедушки, а также финансовые трудности), — страдал от туберкулеза, осложненного тяжелым случаем бронхита. В отсутствие каких бы то ни было доступных антибиотиков (первый настоящий антибиотик, пенициллин, открыли в 1928 году) единственным лечением от туберкулеза был отдых высоко в горах. Шрёдингер поехал в альпийский курортный городок Арозу. Он оставался там до ноября 1922 года, слегка опоздав к следующему учебному году. Это был не последний его визит туда, поскольку он и позже регулярно возвращался поправить здоровье или просто отдохнуть. Замечательно, что, несмотря на свое ослабленное состояние, во время лечения в Арозе Шрёдингер смог опубликовать две статьи. В первой не было ничего особенного, а вот во второй был намек на то, что четыре года спустя привело к наиболее значительному из всех его трудов[208].

Шрёдингер вернулся к напряженному графику — одиннадцать часов лекций в неделю; от него как от старшего профессора ожидали, что он возьмет большую нагрузку, чем младший преподаватель — ситуация, прямо противоположная тому, что происходит в большинстве современных университетов. Его напряженная лекционная программа на 1922–1923 учебный год вместе со все еще ослабленным здоровьем привели к неудаче в публикациях — он так ничего и не опубликовал. Это довольно странно, учитывая то, как он публиковался в течение прошедшего перерыва и во время Первой мировой войны.

В 1924 году Шрёдингер принял участие в 88-й Встрече немецких ученых и врачей, проводившейся с 21 по 27 сентября. Ее посетило много людей, и там прозвучали важные доклады выдающихся ученых, например Арнольда Зоммерфельда (1868–1951), Макса Борна (1882–1970), Макса Планка, Пауля Эвальда (1888–1985), Макса фон Лауэ и некоторых других. Хотя Эйнштейн не делал доклада, его концепция световых квантов — к тому моменту прошло почти двадцать лет с момента ее создания — была горячей темой для обсуждения среди более узкой группы участвовавших во встрече экспертов. Благодаря труду Комптона 1923 года многие физики стали верить в световые кванты, но у этой концепции по-прежнему оставалось несколько противников. Наиболее заметными из них были Нильс Бор (1894–1952) и Джон Слэтер (1900–1976).

В 1924 году трио этих противников написали статью, откровенно отвергавшую световые кванты. На самом деле они не столько выступали против квантов, сколько желали отбросить сохранение энергии (первый закон) и сохранение импульса в своей попытке устранить световые кванты:

«Что касается появления (скачков электрона между квантовыми состояниями), что является важнейшим элементом квантовой теории, мы отказываемся от… непосредственного применения принципов сохранения энергии и импульса…»

То есть вместо строгого сохранения для каждого отдельного скачка они предположили, что сохранение энергии и импульса должно рассматриваться как выполняющееся только в среднем для многих электронных скачков; сохранение появляется только в статистическом, а не абсолютном смысле. Статья со всеми выводами стала известна как «статья БКС» (по первым буквам фамилий авторов). Интересно отметить, что сам Шрёдингер подробно рассматривал ту же самую идею (возможно, под влиянием работы с Экснером) в 1922 году в своем вступительном обращении в Университете Цюриха:

«Вполне возможно, что все без исключения законы природы имеют статистический характер. Для постулирования абсолютного закона природы, стоящего за статистическим, как это сейчас делается естественным образом, осуществляют выход за пределы опыта. …Бремя доказательства возлагается на защитников абсолютной причинности, а не на тех, кто в ней сомневается. Сомневаться в ней сегодня, несомненно, более естественно».

Так что не удивительно, что Шрёдингер в основном выступал в пользу БКС-предложения. С ним резко контрастировала недавняя статья Бозе, в которой тот успешно использовал световые кванты, чтобы провести первый полностью квантовый вывод закона излучения Планка. В свою очередь, Эйнштейн как раз применил квантовую статистику Бозе в выводе, касающемся идеального квантового газа. А еще был Планк со своей собственной теорией идеального квантового газа, впервые построенной в 1916 году, и зимой 1924–1925 учебного года он читал по ней курс лекций в Мюнхенском университете. Он дал представление о своем подходе к квантовой статистике в применении к газу из атомов водорода на своем докладе на встрече. И новая область квантовой статистики на самом деле была подходящей темой для обсуждения на встрече, так что можно предположить, что ее важность произвела на Шрёдингера впечатление.

К сожалению, какие бы мысли ни сверкнули в сознании Шрёдингера, им пришлось ждать, поскольку в течение зимнего семестра 1924–1925 учебного года его преподавательские обязанности оставляли мало времени для его собственного научного исследования. К концу семестра ситуация изменилась, и теперь Шрёдингер интенсивно изучал литературу по квантовой статистике. В дополнение к теории цветов, основной областью исследовательских интересов в течение его первых лет работы в Цюрихе был статистический подход Больцмана к теории газов, который, как мы видели, был предвестником квантовой статистики.

С учетом этого опыта и его статистического взгляда на природу в атомных масштабах (о чем свидетельствует его входная лекция 1922 года) Шрёдингер, должно быть, возлагал на квантовую статистику большие надежды. 5 февраля 1925 года он написал в Берлин Эйнштейну: «Как раз только что я прочитал Вашу интересную (первую статью по идеальному квантовому газу), и я столкнулся с серьезной (проблемой)». Он продолжал: «Поэтому я очень сильно сомневаюсь, что можно приписать какой-то реальный смысл отклонениям, на которые Вы обратили внимание (в вычислениях) от (классического) поведения идеального газа».

Кажется, что при чтении статей Эйнштейна Шрёдингер упустил один из важных моментов: квантовые частицы неразличимы, это означает, что они (в принципе) следуют не статистике Больцмана, а новой квантовой статистике Бозе и Эйнштейна.

Эйнштейн вежливо ответил: «В моих статьях не были допущены ошибки. В статистике Бозе, которую я использую, (световые) кванты или молекулы не рассматриваются как не зависящие друг от друга объекты». Эйнштейн даже продолжил, схематически иллюстрируя то, как метод подсчета микросостояний Бозе отличался от такового у Больцмана.

К началу летнего семестра 1925 года Шрёдингер уже читал лекции по квантовой статистике. Этот курс, как и предшествующая переписка с Эйнштейном, возможно, мотивировали его дальше изучать литературу по данной теме, чтобы лучше ее понять. 3 ноября 1925 года он ответил Эйнштейну:

«Только благодаря Вашему письму (от 28 февраля) я осознал уникальность и оригинальность Вашего статистического метода; я так и не понял их раньше, несмотря на то, что статьи Бозе были уже выпущены. …Только Ваша теория (идеального квантового газа) на самом деле является чем-то абсолютно новым, и сперва я тоже не мог ее осознать».

Как это ни странно, хотя теперь Шрёдингер оценил значения метода подсчета Бозе, использованного Эйнштейном, казалось, что он считал исходное применение этого метода к световым квантам у самого Бозе в чем-то непоследовательным. Также в этом письме Шрёдингер проявил энтузиазм к идее, которую Эйнштейн упомянул в другом, ответном письме в сентябре. Эйнштейн размышлял о фундаментальном подходе в теории Планка об идеальном квантовом газе, где рассматриваются энергетические уровни всего набора атомов, а не одночастичные, что (как мы видели) формировало основу теорий и Бозе, и Эйнштейна.

Всего лишь через два дня Шрёдингер довел дело до конца, следуя предложению Эйнштейна, и написал ему: «Основная идея Ваша, я только провел вычисления… Мне не нужно обращать внимание на то, что это было бы для меня большой честью иметь возможность опубликовать совместную работу с Вами». Эйнштейн любезно отказался от авторства, не желая «использовать» работу, проделанную Шрёдингером. Тем не менее, участие Эйнштейна было должным образом учтено во введении к статье Шрёдингера (скорее всего, законченной в декабре).

В итоге статья дала Шрёдингеру возможность улучшить свои знания в области квантовой статистики. Его окончательные формулы не имели никакой практической ценности, и, вместо того чтобы примирить теории идеального квантового газа Эйнштейна и Планка, Шрёдингер добавил в смесь кое-что третье, которое скорее имело сходство с идеями Планка, чем Эйнштейна.

Тем не менее, благодаря своим усилиям он стал хорошо разбираться в имеющейся литературе и приобрел знания в области квантовой статистики — до переписки с Эйнштейном в феврале он не обладал ни тем, ни другим. Он начинал соединять эти три элемента.

Волновое уравнение

3 ноября 1925 года Шрёдингер написал Эйнштейну:

«Несколько дней назад я с величайшим интересом прочитал гениальную диссертацию Луи де Бройля, которую я наконец достал; также с ней (обсуждение волновой природы идеального квантового газа, проведенное в Вашей второй статье) стало впервые для меня понятным».

Как упоминалось выше, в своей второй статье, посвященной идеальному квантовому газу, Эйнштейн провел анализ флуктуаций частиц и обнаружил в окончательном выражении и ожидаемый корпускулярный член, и неожиданный волновой. Эйнштейн заявил, что «он затрагивает нечто бо2льшее, чем просто аналогия», и отметил наличие корпускулярно-волнового дуализма, обрисованного де Бройлем в своей диссертации: «То, как (волна) может быть приписана материальной частице или системе материальных частиц, было подчеркнуто господином Е. де Бройлем довольно заметным образом». (Эйнштейн ошибочно указал первую букву имени де Бройля как «Е», а не «Л».) Шрёдингер всерьез заявлял Эйнштейну, что ему все стало ясно.

4 декабря 1925 года Шрёдингер сообщил Эйнштейну, что он отправил статью по квантовой статистике. Затем он стал обрисовывать цели его последующей статьи. Эта была его последняя статья, написанная до его самой знаменитой работы, которая изменила всю известную тогда физику. Короче говоря, Шрёдингер хотел разработать теорию идеального квантового газа, совершенно свободную от статистики Бозе, чтобы ее выводы предусматривали, что атомы находятся в маленьких «ячейках», как это было в работе Эйнштейна. Он просто не принял статистику как что-то фундаментальное. Вместо этого он утверждал, что подход Эйнштейна на самом деле скрывал более глубокий физический смысл, лежащий в его основе.

Для достижения своих целей он (опять же, хотя и с применением другого подхода) рассмотрел уровни энергии всего набора атомов, не сосредотачиваясь на уровне энергии одного атома, как сделал Эйнштейн. Шрёдингер отметил, что статистика Бозе привела и к теории идеального квантового газа Эйнштейна, и к теории световых квантов Бозе, дающей закон излучения Планка. Далее он указал на то, что закон излучения Планка можно получить, если рассматривать свет согласно его волновой природе.

Ясно, что корпускулярно-волновой дуализм на квантовом уровне был неопровержимым. Таким образом, чтобы завершить картину корпускулярно-волнового дуализма, Шрёдингер предложил новую теорию, где система атомов идеального газа рассматривается как волны, используя вместо статистики Бозе «естественную статистику» (статистический подход с экспериментальным обоснованием, и, по мнению Шрёдингера, имеющий более твердую логическую основу):

«Таким образом должна быть построена картина газа просто согласно той картине (излучения абсолютно черного тела), которая пока еще не соответствует крайней концепции световых квантов; тогда естественная статистика… даст теорию газа Эйнштейна».

Он добавил: «Это означает не что иное, как принятие всерьез (предложенных теорий де Бройля и Эйнштейна, где атомы рассматриваются согласно их волновой природе)».

В этот момент Шрёдингер был полностью привержен идее разработать полную теорию, в которой атомы идеального газа рассматривались с позиций их поведения как волн, как это изначально описывал де Бройль и далее исследовал Эйнштейн. Интересно отметить, что ни Эйнштейн, ни де Бройль в достижении такой теории не преуспели. Разумно допустить, что де Бройлю просто не хватало математического мастерства, если учесть его реальный уровень. Еще удивительнее, что не смог Эйнштейн. По сути дела, он со своей статьей 1905 года, посвященной световым квантам, был отцом корпускулярно-волнового дуализма. Хотя именно Бозе успешно использовал световые кванты, чтобы получить правильную квантовую статистику, и наконец поставил закон излучения Планка на твердую квантовую основу, Эйнштейн был тем, кто включил «принцип дуализма», чтобы успешно применить статистику Бозе к идеальному газу.

Затем, (как уже было упомянуто) Эйнштейн знал, как использовать метод де Бройля, чтобы представить систему частиц газа как волн, и рассмотрел такое использование (в своей второй статье, посвященной идеальному квантовому газу) для решения известной проблемы. И наконец, именно Шрёдингер показал, что набор атомов идеального газа можно описать волновым подходом и получить верные результаты, подобно тому, как это проделал Эйнштейн с «неестественным» статистическим методом Бозе. И хотя эта часть работы заслуживала уважения, Шрёдингер по большей части свел все концы, оставленные Эйнштейном и де Бройлем, но в то же время упустил в своей волновой теории несколько важных компонентов.

В начале ноября 1925 года Дебай предложил Шрёдингеру провести беседу на тему работы де Бройля на объединенном коллоквиуме университета Цюриха и Швейцарской высшей технической школы. По-видимому, как утверждал Феликс Блох (1905–1983), прислали приглашение вроде этого:

«Господин Шрёдингер, в любом случае, прямо сейчас Вы не работаете над очень важными проблемами. Почему бы Вам не рассказать нам как-нибудь о той диссертации де Бройля, которая, кажется, привлекла некоторое внимание?»

Коллоквиум представлял собой серию неформальных лекций (читавшихся раз в две недели, по два часа каждая) перед аудиторией, возможно, в пару дюжин слушателей максимум. Хотя точно неизвестно, наиболее вероятно, что Шрёдингер выступал между второй половиной ноября и первой половиной декабря, и, возможно, в то время, когда он работал над первой статьей по своей «волновой теории» (второй квантовой статистике). Шрёдингер дал прекрасный обзор работы де Бройля. Тем не менее Дебай не был удовлетворен и чувствовал, что в подходе де Бройля что-то было по-прежнему упущено. Опять же, как отмечал Блох: «Дебай случайно отметил, что он думал, что такой вариант обсуждения был довольно несерьезным. Будучи студентом Зоммерфельда, он узнал, что для правильной работы с волнами нужно волновое уравнение».

Дебай был прав. В классической физике все волны имеют связанное с ними волновое уравнение. Если упрощать, волновое уравнение описывает физический процесс движения волны в пространстве и во времени; оно выполняет для волн ту же роль, что и уравнение движения (второй закон Ньютона) — для частиц. Непонятно, насколько значительную роль сыграл комментарий Дебая в продвижении Шрёдингера вперед к получению волнового уравнения. Наиболее вероятно, что он заставил Шрёдингера более серьезно задуматься над этим, даже если он уже шел к уравнению. Можно реально легко утверждать, что в исходном варианте его волновой теории было неявно представлено волновое уравнения, хоть до его полного получения было далеко.

Несомненно, для Шрёдингера волновое описание квантового мира было намного более привлекательным, чем представление о «прыгающих электронах» из модели атома Бора. Четко исходя из работы де Бройля, Шрёдингер попытался построить волновое уравнение электрона, движущегося в атоме водорода, простейшем из всех атомов. Естественно, он включил в свое уравнение эффекты специальной теории относительности. Однако на его пути возникло препятствие, и он обнаружил, что его новое релятивистское уравнение не смогло описать известные наблюдаемые эффекты. Шрёдингер никогда не публиковал эти результаты, возможно, разочаровавшись из-за неточностей теории. Тем не менее он не долго оставался в тупике.

Перед рождественскими каникулами Шрёдингер написал в Вену «старой подружке» с просьбой составить ему компанию в его любимом месте отдыха, Арозе. Предыдущие два Рождества он провел со своей женой, Анни, но теперь, по-видимому, он решил сменить обстановку. Личность этой женщины остается тайной, но, кем бы она ни была, кажется, что она послужила для него прекрасным источником вдохновения.

Шрёдингер, которому было уже тридцать восемь лет, начал то, что стало двенадцатимесячным периодом непрерывающегося творчества в 1926 году, результатом которого стали шесть больших статей по новой квантовой теории, известной как волновая механика. Вскоре после возвращения из Арозы Шрёдингер сделал доклад на другом коллоквиуме, начав его следующими словами (как передавал Блох): «Мой коллега Дебай указал на то, что нужно найти волновое уравнение (для электрона в атоме водорода); что ж, я его нашел!»

Да, Шрёдингер нашел волновое уравнение. К сожалению, он так и не смог самостоятельно его решить и обратился к некоторым своим коллегам за помощью. То, насколько ему помогли, и кто вообще ему помог, неясно. Шрёдингер был очень способным и самостоятельным в математической физике, он получил прекрасную подготовку. Тем не менее, похоже, некоторую помощь оказал Герман Вейль (1885–1955), близкий друг Шрёдингера и математик — который также оказался любовником жены Шрёдингера; и эту помощь Шрёдингер четко признал.

Уже 27 января 1926 года — прошло меньше трех недель с возвращения Шрёдингера из Арозы — журнал получил его первую статью под названием «Квантование как задача на собственные значения». Здесь он обрисовывает процесс[209], который привел его к волновому уравнению, явно независящему от времени, используя в качестве примера (нерелятивистский) атом водорода. Теперь, когда волновое уравнение нашлось, целью становится поиск его решения, выражаемого волновой функцией.

Он с успехом нашел волновую функцию вместе с уровнями энергии электрона для атома водорода, для которого он, как следствие, верно получил формулу Бальмера. Вспомним, что в своей атомной теории Бор на самом деле не предоставил вывод этой формулы. Вместо этого он предположил, что она верна для спектра атома водорода и затем использовал ее, чтобы получить уровни энергии электрона. Более того, сам Бальмер никогда не проводил формальный вывод; это было что-то, до чего он «додумался». Ближе к завершению статьи Шрёдингер признал свой долг перед де Бройлем: «Прежде всего, я хотел бы упомянуть, что пришел к этим размышлениям в первую очередь благодаря убедительным статьям господина Луи де Бройля…»

Затем Шрёдингер продолжил, упомянув свою вторую статью по квантовой статистике, в которой он изложил «волновую теорию» идеального квантового газа Эйнштейна, и то, как его настоящий труд может рассматриваться в качестве обобщения той работы. Это многозначительное утверждение показало, что его предыдущая работа по квантовой статистике была полноправным предшественником волновой механики. Следующая статья пришла всего лишь через четыре недели после первой, 23 февраля, и остальные четыре последовали очень быстро, последняя была отправлена 21 июня.

Вскоре после этого последовала реакция на волновую механику Шрёдингера. Планк отметил, что прочитал первую статью, «словно нетерпеливый ребенок, узнавший разгадку головоломки, которая давно досаждала его». В отношении второй статьи Планк снова отзывался с энтузиазмом: «Вы можете представить себе, с каким интересом и энтузиазмом я погрузился в чтение этой эпохальной работы…» Планк на самом деле был впечатлен и рассчитывал привлечь Шрёдингера в качестве своего преемника, как он, Планк, уйдет в отставку в 1927 году.

Эйнштейн вступил в обсуждение, сказав: «Идея Вашей работы исходит от настоящего гения!» Через десять дней он добавил: «Я убежден, что Вы решительно продвинулись вперед с Вашей формулировкой квантовых условий…»

Эренфест написал:

«Я просто в восторге от (Вашей теории) и от чудесной новой системы взглядов, которую она ведет за собой. В течение двух прошедших недель каждый день все члены нашей небольшой научной группы часами стояли по очереди у доски, чтобы испробовать все прекрасные следствия».

В основном, все были увлечены волновой механикой Шрёдингера. Однако это был не единственный вариант квантовой механики.

Две квантовых механики: Шрёдингера и Гейзенберга

С момента, когда Бор представил свою атомную квантовую теорию электронов, перескакивающих на нижний энергетический уровень, или орбиту, и излучающих при этом фотон определенной частоты, прошло более десяти лет. Атомная модель Бора дала очень хорошую, интуитивно понятную картину. Но реальность состоит в том, что мы не можем измерить движение электрона по орбите или даже по-настоящему узнать, существует ли это движение. С другой стороны, частотный спектр (спектральные линии), получающийся в результате электронных переходов на более низкие уровни энергии, — это то, что мы можем увидеть, и после всего этого времени он по-прежнему давал единственный ключ к разгадке внутренних механизмов атома.

Именно Вернер Гейзенберг (1901–1976) сказал, что правильная квантовая теория должна включать только те физические величины, которые на самом деле наблюдаемы. Когда ему было всего лишь двадцать три года, он принялся за построение такой теории. К концу мая 1925 года, после некоторого начального прогресса, Гейзенберга поразил тяжелый случай сенной лихорадки, что заставило его прервать обычный распорядок:

«От сенной лихорадки мне было настолько плохо, что пришлось попросить у моего профессора (Борна) отпуск. Я тут же отправился в Гельголанд, где я надеялся быстро выздороветь на бодрящем морском воздухе, вдали от цветения и лугов».

По-видимому, уединение на этом маленьком острове в Северном море не только освободило его от сенной лихорадки, но и освежило ум. Он говорил:

«Кроме повседневных прогулок и длинных заплывов, ничто не отвлекало меня от работы, и поэтому я быстрее добился прогресса, чем если бы работал (дома в университете) в Геттингене».

Не будем здесь вдаваться во все детали теории Гейзенберга, а вместо этого обратим внимание только на значимые аспекты. У теории Гейзенберга есть два важных элемента. Первый — это полный набор частот, на которых излучает атом вследствие перехода электронов на более низкие энергетические уровни. Вторая компонента, включенная им, — это вероятности, связанные с этими переходами.

Главным беспокойством, которое вызывала атомная модель Бора у Резерфорда, было отсутствие детерминированного поведения:

«Для меня представляется серьезной трудностью то, что Вы, без сомнений, прекрасно понимаете, а именно — как электрон (который вот-вот совершит переход) решает, на какой (энергетический уровень) он собирается (совершить переход, когда он) будет переходить с одного (энергетического уровня) на другой? Мне кажется, Вам придется предположить, что электрон заранее знает, куда ему перейти».

Гейзенберг эффективно решил эту проблему, включив набор вероятностей переходов, он утверждал, что в квантовой реальности нет привычного детерминизма классической физики, столь желанного для Резерфорд. Вместо этого различные переходы случаются просто в соответствии с их вероятностями. Такой прецедент уже был в работе Эйнштейна 1916–1917 годов, где он использовал концепцию вероятностей перехода для атомов, взаимодействующих со светом[210].

К тому моменту, как Гейзенберг вернулся из Гельголанда, у него в руках был свой вариант квантовой механики, и он тут же начал записывать результаты, хотя и не без сомнений, доверяя их своему отцу в письме: «В данный момент моя собственная работа идет не особенно хорошо. У меня получается не очень много, и я не знаю, появится ли вообще из всего этого другая (статья) в этом семестре».

В начале июля 1925 года неуверенный Гейзенберг поехал к Борну со своей статьей и попросил его просмотреть ее и решить, стоит ли ее публиковать. При чтении статьи Борн был поражен математическими сущностями, возникающими из теории Гейзенберга, и был уверен, что видел их где-то раньше. Наконец в письме к Эйнштейну он вспомнил, что «(математический формализм) Гейзенберга не давал мне покоя, и после дней сосредоточенных размышлений и проверки я вспомнил об алгебраической теории, о которой я узнал от моего учителя…»

Теория, которую назвал Борн, была матричной алгеброй, а конкретнее, он вспомнил о правиле перемножения двух матриц. Поскольку в то время матрицы не были общеизвестными, Борн был одним из немногих физиков, кто реально мог их распознать. В конце месяца Борн направил статью Гейзенберга в журнал на публикацию.

Новая квантовая механика Гейзенберга была представлена в статье под названием «О квантовотеоретическом истолковании кинематических и механических соотношений». В сентябре 1925 года Борн и его молодой помощник Паскуаль Йордан (1902–1980) сразу же расширили и уточнили исследование Гейзенберга. Все трое объединились для написания третьей статьи («Работы трех»), принятой в ноябре 1925 года. С этим окончательными усилиями они провозгласили, что обнаружили долгожданную квантовомеханическую теорию[211]. И все это было проделано перед тем, как в журнал приняли первую статью Шрёдингера (27 января 1926 года). Конечно, Шрёдингер, когда формулировал волновую механику, знал о первых двух статьях, но не о третьей. Так или иначе, они никак не повлияли на его работу.

Это связано с тем, что с математической точки зрения два подхода сильно отличаются друг от друга. Центральным элементом в подходе Шрёдингера является волновое уравнение, дифференциальное уравнение в частных производных, решение которого дается столь важной волновой функцией. Формализм Гейзенберга никак не связан с волновым уравнением или какими-то другими уравнениями в частных производных; вместо этого там используются матрицы, вот почему он часто называется матричной механикой. Также его формализм по своему замыслу предполагает дискретные уровни энергии и соответствующие вероятности перехода, тогда как в волновой механике Шрёдингера эти уровни энергии не заложены — они просто получаются естественным путем при решении волнового уравнения и наложении правильных граничных условий на непрерывное решение — волновую функцию.

Что касается вероятностной природы, присутствующей в теории Гейзенберга, — да, ясно, что она отсутствует в формализме Шрёдингера. Это может показаться вам довольно странным, поскольку мы неоднократно замечали, что вероятность кажется внутренне присущей квантовой механике. Чуть позже мы увидим, что вероятность внутренне присуща и теории Шрёдингера; она просто слегка прячется сначала. То есть внешне эти теории кажутся очень разными, не только математически, но и по их физическому описанию, тот факт, на который их сторонники обращали внимание.

Шрёдингер подчеркивал непрерывную (присущую классической механике) природу своей теории, представляя электронные переходы в атомах, с которыми связано излучение или поглощение света — не с помощью перескакивающих электронов, как изначально описывал Бор, а с помощью плавных переходов, при которых колеблющийся электрон (чем-то подобный одному из резонаторов Планка) просто «переходит» из одного колебательного состояния в другое:

«Вряд ли нужно обращать внимание на то, насколько более удобно представить, что при квантовом переходе энергия изменяется из одной формы колебаний в другую, чем думать о перескакивающем электроне».

Шрёдингер не скрывал свою неприязнь к теории Гейзенберга с ее матрицами, перескакивающими электронами и отсутствием интуитивно понятной физической картины:

«Я, разумеется, знал о теории (Гейзенберга), но чувствовал разочарование, если не отвращение, по отношению к тому, что явилось мне как очень сложные методы (матричной механики) и отсутствие ясности».

Кроме того, Шрёдингер считал, что его теория была с физической точки зрения более понятной, тем самым давая более твердое основание для решения и понимания физических проблем, тогда как вариант Гейзенберга был всего-навсего картиной из абстракций и сложной математики. В письме к другу он отмечал: «Все философствование по поводу “принципиальной наблюдаемости” только замалчивает нашу неспособность угадать правильное положение дел».

Шрёдингер на самом деле думал, что его практически визуализируемый волновой механики лучше всего послужил практическому и интеллектуальному развитию квантовой механики.

«Как мне кажется, чрезвычайно сложно бороться с проблемами (квантовой механики), когда мы считаем необходимым подавление интуиции эпистемологическими основаниями в области атомной динамики и оперирование такими абстрактными понятиями, как вероятности переходов, уровни энергии и т. д.».сс

Гейзенберг верил, что его теория запечатлела подлинную сущность квантовой механики, описывая ее как «истинную теорию дискретного», и выразил подобное негодование в адрес волновой механики Шрёдингера. Гейзенберг писал своему другу, Вольфгангу Паули (1900–1958):

«Чем больше я думаю о физическом компоненте теории Шрёдингера, тем более отталкивающим я его нахожу. …То, что Шрёдингер пишет о визуализации своей теории, мягко говоря, “возможно, не совсем правильно”, а другими словами, ерунда».

И вот, когда показалось, что эти два варианта квантовой механики не могут отличаться еще больше, Шрёдингер написал статью «Об отношении квантовой механики Гейзенберга — Борна — Йордана к моей», показывая, что — как минимум с математической точки зрения — они являются одним и тем же.

Для физиков это была прекрасная новость, поскольку она означала, что можно было использовать любой из подходов для решения физических проблем. Иначе говоря, многие из физиков вздохнули с облегчением, потому что могли использовать вариант Шрёдингера, поскольку математика была намного менее громоздкой, чем матрицы теории Гейзенберга, и уже знакомой им по физическим проблемам, которые они решили раньше. Тем не менее физическая интерпретация обеих теорий была по-прежнему доступной всякому желающему.

Физические следствия квантовой механики

Главным вопросом, по-прежнему преследовавшим волновое уравнение, была роль волновой функции. Определенно, с математической точки зрения она ясна: это решение волнового уравнения Шрёдингера, «всемогущая» функция-результат. Однако с физической точки зрения она по-прежнему оставалась большой тайной для всех, в том числе и для самого Шрёдингера.

Сперва он интерпретировал ее как связанную с «некоторым колебательным процессом в атоме». Позднее для системы электронов Шрёдингер более точно объяснял квадрат модуля волновой функции (модуль волновой функции, умноженный на самого себя) как что-то вроде «весовой функции», связанной с плотностью заряда (или «плотности электричества», как он ее называл) в определенной области пространства. То есть он представлял отдельный электрон размазанным по всему пространству. Другими словами, он в прямом смысле представлял электрон не как частицу, находящуюся в определенной точке пространства, а как волну, распределенную по нему.

Шрёдингер не один размышлял о физическом смысле волновой функции. Несколько ученых начинали приходить к заключению, что волновая функция была на самом деле связана со своего рода квантовой вероятностью, сильно отличающейся от вероятности классической механики. Среди них были Поль Дирак (1902–1984), Юджин Вигнер (1902–1995) и, в первую очередь, Макс Борн. Работа Борна четко определяла физический смысл волновой функции и природу квантовой вероятности. Он писал: «Движение частиц подчиняется законам вероятности…»

Иначе говоря, движение квантовых частиц, таких как электроны, не управляется детерминированными уравнениями, как в случае классических частиц (или макроскопических объектов). В результате, в отличие от классической частицы, квантовая не движется по четко определенной физической траектории с хорошо определенными значениями величин, описывающих основные ее характеристики, такие как положение, импульс, энергия и другие подобные в каждый момент времени. Вместо этого, согласно Борну, эти физические величины (и многие другие) полностью определяются квантовой вероятностью, которая пропорциональна квадрату модуля волновой функции. Как и Шрёдингеру, Борну квадрат модуля волновой функции раскрыл секрет истинного физического смысла волновой функции. Однако он понимал эту величину совершенно по-другому.

Борн также отмечал, что «сама вероятность распространяется согласно закону случая». То есть, хотя движение квантовой частицы не является детерминированным, квантовая вероятность, определяющая окончательный исход, является, и она дается волновым уравнением Шрёдингера (поскольку оно задает волновую функцию, а значит, и ее квадрат модуля). Это чем-то напоминает то, как мы обсуждали больцмановскую вероятность (в части 2). Вспомним, что больцмановская вероятность дает вероятность того, что произойдет определенное микросостояние из многих возможных для системы частиц. Однако все же есть важное отличие.

Больцмановская вероятность была математически удобной для рассмотрения системы очень большого числа частиц. Для такой системы просто невозможно использовать уравнение Ньютона, определяя физические траектории всех без исключения частиц. Это не означает, что их траектории и соответствующие положения, импульсы, энергии и им подобные не существуют. Несомненно, что в классической механике они существуют. И это всего лишь означает, что решение данной математической проблемы громоздкое. Таким образом, мы обращаемся к использованию больцмановской вероятности, потому что оно очень упрощает исходную проблему, позволяя нам рассчитывать средние величины для всей системы частиц.

В случае вероятности, связанной с квантовой механикой, ситуация совершенно другая. Здесь квантовая вероятность — это не просто способ упрощения некоторой сложной математики до более податливой проблемы. В квантовом мире вероятностная природа является физической реальностью. Поэтому единственное, что мы можем знать о квантовой частице, — это вероятность, которую вы обнаружите в данном квантовом (микро) состоянии. Итак, если в классической механике речь идет об эволюции частицы согласно уравнению Ньютона вдоль заданной траектории, то в квантовой механике эволюционирует вероятность для частицы согласно уравнению Шрёдингера, переводя ее из одного квантового состояния в другое.

Интерпретация Борна решила серьезные проблемы, связанные с волновым уравнением Шрёдингера. Теперь стало ясно, как непрерывная волновая функция могла привести к возникновению дискретных уровней энергии, доступных электрону: волновая функция движется в пространстве вероятностей — не физическом — «направляя» электрон из одного квантового состояния в другое. Так, вероятностная природа квантового мира, которую Гейзенберг явно включил свою теорию, также присутствует и в теории Шрёдингера. Интерпретация Борна также вновь подтвердила электронные скачки в атоме Бора; теперь эти электронные переходы были наделены математической вероятностью их возникновения. Однако электронные орбиты (чисто классическое понятие), которые в течение некоторого времени впадали в немилость, в конце концов исчезли раз и навсегда. Для Шрёдингера это было уже слишком.

Можно было бы подумать, что Шрёдингер был большим фанатом статистической интерпретации Борна. Ведь это он в своем вступительном обращении в университете Цюриха в 1922 году сказал: «Вполне возможно, что все без исключения законы природы имеют статистический характер». Очевидно, не о квантовой вероятности он думал, когда утверждал следующее:

«Но сегодня мне больше не хотелось бы предполагать вместе с Борном, что отдельный процесс такого рода носит “абсолютно случайный характер”, то есть что он полностью не определен. Сейчас я больше не считаю, что эта концепция (которую я так отстаивал четыре года назад) достигает многого».

Шрёдингер был не единственным, у кого были проблемы с квантовой вероятностью; у Эйнштейна они тоже были.

Эйнштейн занимал лидирующую позицию в квантовой теории в течение более чем двадцати лет и был первым, кто ввел в нее вероятности переходов (в 1916 году), однако решил, что с него хватит. В 1917 году он отметил, что, согласно квантовой теории, направление переданного импульса при спонтанном излучении фотона атомом, по-видимому, определяется «случаем», и это до сих пор вызывает у него трудности. К 1926 году он стал абсолютно безжалостен в отношении квантовой вероятности, и в ответе на письмо, которое ему написал Борн, заявил:

«Квантовая механика действительно впечатляет. Но внутренний голос говорит мне, что это еще не идеал. Эта теория говорит о многом, но все же не приближает нас к разгадке тайны Всевышнего. По крайней мере, я уверен, что Он не бросает кости».

Отказ Эйнштейна был для Борна тяжелым ударом. Эйнштейн официально отвернулся от квантовой механики и сохранял это убеждение всю оставшуюся жизнь. В 1944 году он подтвердил свое первоначальное заявление Борну: «Большой начальный успех квантовой теории не может обратить меня в веру в эту фундаментальную игру в кости».

В то время как Борн и Эйнштейн не соглашались друг с другом по части квантовой вероятности, Бор и Шрёдингер не соглашались, ну, практически во всем.

В сентябре 1926 года Бор пригласил Шрёдингера в Копенгаген прочитать лекцию и обсудить волновую механику более подробно. Не успел Шрёдингер сойти с поезда, как Бор начал спорить на тему физических интерпретаций квантовой механики. За несколько дней Бор стал даже более неутомимым в дискуссиях, начиная их рано утром и продолжая их до поздней ночи. Также, чтобы исключить возможность всяких отвлечений, Бор договорился, чтобы Шрёдингер гостил у него дома. Наиболее подробный отчет об этом визите поступил от Гейзенберга — в то время он был ассистентом Бора в институте. Он вспоминал: «Хотя Бор, как правило, был исключительно добрым и внимательным в отношениях с людьми, теперь он мне представился подобным безжалостному фанатику…»

Шрёдингер понимал свое волновое уравнение буквально, видя в квантовом объекте, подобном электрону, волну, а не частицу. Для него волновая функция была на самом деле материальной волной, описывающей, куда в пространстве различные части электрона были в действительности рассеяны. Также он настаивал на возможности чего-то наподобие визуализируемого построения внутренней работы атома.

Бор был полностью против. Он был согласен с Борном, что волновая функция описывала квантовую вероятность, а не что-то наподобие реальной физической волны. В течение их обсуждения Бор выступал в пользу корпускулярной концепции квантовых объектов, но позднее для полного описания он потребовал как корпускулярную, так и волновую концепцию — полную реализацию «синтетической концепции» Эйнштейна 1909 года. Однако важнейшим предметом спора были перескакивающие электроны из атомной модели Бора.

По мнению Шрёдингера, сама идея перескакивания электронов из одного стабильного, или стационарного, дискретного квантового состояния в другое была нелепой: «Вы, господин Бор, несомненно, должны понять, что вся эта идея квантовых скачков с необходимостью приводит к абсурду… Иначе говоря, вся эта идея квантовых скачков — чистая фантазия».

Кто мог его обвинить? Атомная модель Бора не предлагала никакого «действительного» объяснения тому, почему электроны не падают на ядро, как это было бы в классической физике. Там просто была введена концепция стационарных квантовых состояний, которые являлись «магическими орбитами», избавлявшими электрон от этой трагической судьбы. И если это не слишком мешало, дальше нужно было признать, что электрон мог перескакивать между этими стационарными квантовыми состояниями просто при поглощении или излучении фотона, невзирая на то, что именно на самом деле управляло этим процессом.

Бор признавал, что принять эти концепции было сложно, но считал, что главная проблема Шрёдингера, связанная со всем этим, уходила корнями в его потребность в наглядной работе:

«…она не доказывает, что квантовых скачков нет. Она лишь доказывает, что мы не можем их представить, что наглядные концепции, с которыми мы описываем явления в повседневной жизни и эксперименты в классической физике, непригодны, когда дело касается описания квантовых скачков. Нам также не следует удивляться, когда мы обнаруживаем такую непригодность, видя, что рассматриваемые процессы не являются объектами непосредственного опыта».

Шрёдингер продолжал настаивать на том, что устранение дискретных квантовых состояний принятием его волновой картины электрона разгадает «квантовую таинственность». Бор подчеркивал, что и закон излучения Планка, и работа Эйнштейна по взаимодействию света и вещества требовали дискретных квантовых состояний. Неужели Шрёдингер собирался разрушить самые основания квантовой механики? Более того, Бор утверждал, что эксперименты уже подтвердили эту дискретную природу атома самыми различными способами. На это расстроенный Шрёдингер ответил: «Если все эти проклятые квантовые скачки реально никуда не денутся, я буду сожалеть, что вообще ввязался в квантовую теорию».

Через несколько дней Шрёдингер заболел и лежал в постели с жаром; возможно, Бор его в конце концов измотал. Госпожа Бор присматривала за ним, принося ему чай и пирог в кровать, а все это время сам Бор сидел на краю кровати, продолжая спорить: «Но, без сомнений, господин Шрёдингер, вы должны понимать…»

Но Шрёдингер не мог понять. Хотя обсуждение сильно повлияло на каждого из них, в конце они не смогли найти решение. Тем не менее, Бор и Шрёдингер остались друзьями.

Как только Шрёдингер уехал, дискуссии продолжились, но теперь между Бором и Гейзенбергом. Гейзенберг вспоминал: «В течение нескольких следующих месяцев (после визита Шрёдингера) физическая интерпретация квантовой механики была центральной темой всех разговоров между Бором и мной».

Как и у Бора со Шрёдингером, разговоры между Бором и Гейзенбергом были столь же напряженными, хотя теперь продолжались месяцами, а не несколько дней. К февралю 1927 года они уже поднадоели друг другу, что побудило Бора удалиться на лыжную экскурсию в Норвегию и наконец оставить Гейзенберга наедине с его мыслями — к большому его облегчению. За несколько дней Гейзенберг уже обнаружил кое-что.

Вспомним, что, используя формализм Шрёдингера, Борн заключил: квантовая частица не следует по детерминированной траектории, как это было бы в классической механике. Вместо этого квантовым состоянием, в котором она была (и будет позже), полностью управляла внутренне присущая квантовая вероятность. Гейзенберг задался таким вопросом: а что если мы реально попытаемся измерить траекторию электрона, или, что проще, положение и импульс электрона? В оригинальном мысленном эксперименте Гейзенберг вообразил микроскоп, способный выполнить такое задание.

Итак, микроскоп работает, потому что фотон (идущий от источника света) отскочил (отразился) от объекта (вроде электрона) и в конце концов прошел через линзу, за которой чей-то глаз или некоторый другой детектор его замечает. Из классической волновой оптики уже было известно, что неопределенность (разрешающая способность) положения объекта непосредственно связана с длиной волны используемого фотона. Так, если вы хотите добиться лучшего разрешения положения объекта, вам нужно использовать фотон меньшей длины волны. Иначе говоря, если вы хотите измерить нечто, вам нужно использовать «линейку» с более точными, или меньшими, делениями. Более того, было также известно, что неопределенность положения обратно пропорциональна диаметру линзы, используемой для того, чтобы собрать упомянутые нами фотоны. Опять же, все это следует из классической волновой оптики — пока еще ничего квантового не происходит, кроме того, что мы называем свет фотоном. Теперь, когда мы справились с определением положения электрона, давайте перейдем к импульсу.

Когда фотон отскакивает от электрона, то при столкновении они обмениваются импульсом. Импульс, потерянный фотоном, будет по модулю равен приобретенному электроном — суммарный импульс сохраняется. Ясно, что если мы можем определить, насколько изменился импульс фотона, тогда мы сможем определить импульс электрона до столкновения[212], что даст нам и положение, и импульс электрона одновременно. Однако есть небольшая проблема. На самом деле мы не знаем направление полета падающего фотона после того, как он отскочит от электрона. Мы точно знаем только то, что он принадлежал «диапазону направлений», при движении в каждом из которых он в результате пройдет через линзу, тем самым позволяя нам определить положение электрона (в пределах неопределенности, отмеченной выше). А теперь этот диапазон направлений можно сузить, чтобы уменьшить неопределенность направления импульса фотона. Все, что нам нужно сделать, — это уменьшить диаметр линзы микроскопа.

Ой, ну подождите, ведь неопределенность в положении электрона обратно пропорциональна диаметру линзы, и уменьшение ее диаметра приведет к большей неопределенности в положении. Для решения этой проблемы мы могли бы использовать фотон с меньшей длиной волны. К сожалению, оказывается, что это увеличит неопределенность импульса, благодаря — вы угадали — квантовой природе импульса фотона. Гейзенберг смог использовать свой подход матричной механики, чтобы показать, что определенную пару величин, характеризующих свойства (например, координата и составляющая импульса, направленная вдоль той же оси, от которой данная координата отсчитывается), нельзя определить с произвольной точностью. А именно он обнаружил, что произведение их неопределенностей не может быть меньше, чем постоянная Планка[213]. Это означает, что если мы получаем более точные знания об одной из характеристик, то в результате наше знание о соответствующей дополняющей характеристике становится меньше. Итак, мы знаем одну характеристику почти абсолютно точно — и поэтому о другой не знаем совсем ничего; или, в качестве компромисса, знаем немного — об обоих.

Это не имеет никакого отношения к нашим возможностям (или их отсутствию) измерения этих величин. Наоборот (вернемся к нашему примеру с микроскопом), это означает, что квантовые частицы наподобие электрона просто не обладают точным положением и точным импульсом в один и тот же момент времени; для них эти характеристики существуют только расплывчато, неопределенно. Давайте осознаем, что если Борн использовал квантовую вероятность, чтобы устранить из квантовой механики детерминизм, то в принципе неопределенности Гейзенберга это происходит безо всякого обращения к понятиям, связанным с вероятностью. Поэтому они выступают как два независимых удара против причинности. Возможно самым лучшим примером, иллюстрирующим квантовую вероятность и корпускулярно-волновой дуализм, является опыт с двумя щелями.

Опыт с двумя щелями

Представим «электронную пушку», стреляющую электронами в направлении экрана с двумя отверстиями (или щелями), которые находятся от нее на одинаковом расстоянии D, а также на одинаковом расстоянии D′ от центра экрана (см. рис. 16.1). Электронная пушка установлена на башне, которая движется вперед и назад, а также из стороны в сторону, что очень похоже на движение вращающегося вентилятора. С учетом такого движения ясно, что мы не ставим перед собой цель попасть электронами в щели; вместо этого мы просто стреляем очень много раз случайным образом. Сами щели имеют одинаковые размеры, достаточно большие, чтобы через них мог пройти электрон.

Рис. 16.1. «Электронная пушка» стреляет наобум по экрану с двумя щелями, находящимися на одинаковом расстоянии D от нее, а также на одинаковом расстоянии D′ от центра экрана. У заднего экрана электроны тормозят, и детектор регистрирует их положение и отправляет информацию на компьютер. Изображение A показывает распределение, которое мы получаем, когда располагаем детектор у каждой из щелей, чтобы зафиксировать прохождение электрона. В этом случае мы не видим интерференционной картины и фактически получаем результат, который мы бы ожидали, если бы электрон вел себя исключительно как частица, — здесь он просто проходит либо через одну щель, либо через другую. Однако, когда детекторы отсутствуют, мы получаем изображение B. Здесь при прохождении электронов через щели мы реально видим интерференционную картину.

Подлетая к щели, некоторые электроны проходят через нее, а другие — нет. Прошедшие электроны продолжают свой путь, пока в конце концов не столкнутся с другим экраном, расположенным гораздо дальше[214] и играющим роль заслонки. Детектор на этом заднем экране фиксирует окончательное положение каждого электрона, а потом отсылает информацию о нем на компьютер для дальнейшей обработки.

По мере того, как мы выстреливаем все больше и больше электронов (мы хотим собрать хорошую статистику), все больше и больше электронов проходят через щели и ударяют по заднему экрану. Накопив сведения о многочисленных положениях электронов, компьютер способен создать картину, или распределение. Если наша статистика достаточно хороша, то из этого распределения мы узнаем вероятность нахождения электрона в определенном положении на заднем экране, когда он случайным образом выстреливается по двум щелям. Итак, как выглядит это распределение?

Перед тем, как мы дойдем до этого, давайте воспользуемся моментом, чтобы попробовать предсказать результаты. Ясно, что если электрон ведет себя исключительно как частица, разумно ожидать, что он проходит либо через одну щель, либо через другую. Более того, электрон, проходящий через щель, либо «убьется» об боковую часть или об край, либо пройдет вперед полностью невредимым. Если он проходит вперед, мы обнаружим его прямо за щелью — образно говоря, в «центральном положении», — когда он ударяет по заднему экрану; тогда как если он врезается, то мы обнаружим, что он ударяет по экрану на некотором расстоянии от центрального положения, с одной из сторон от него. С учетом всего этого мы ожидаем, что распределение для данной щели будет таким, что максимальное число ударов происходит прямо в центральное положение, тогда как с удалением от него число ударов постоянно уменьшается. И последнее, распределение по обоим сторонам от центрального положения будет выглядеть одинаково. То есть оно будет симметричным.

Хорошо, у нас появилась довольно четкая картина того, что мы увидим. Но при проведении опыта мы обнаруживаем, что получающееся в результате распределение на экране компьютера совсем не похоже на то, что мы представляли. Вместо этого мы обнаруживаем, что максимум распределения приходится на пространство между двумя щелями — даже не на центральное положение для какой-либо из двух щелей! Распределение по-прежнему симметрично относительно максимума (как минимум, это есть), но при движении от центра мы не видим, чтобы число ударов постоянно уменьшалось, как мы представляли. Вместо этого на каждой стороне заметны пики с большим числом ударов, ну а вне этих пиков видно, что число ударов стабильно уменьшается до самого нуля, где не показывается ни одного электрона. Что же произошло?

Итак, при наших ожиданиях мы предположили, что электрон ведет себя как частица, но нам реально надо было сразу отгадать результат, поскольку все квантовые частицы демонстрируют корпускулярно-волновой дуализм. Короче говоря, распределение, полученное сбором большого количества положений электронов, показывает интерференционную картину. Ранее мы вкратце рассмотрели, как может происходить интерференция между волнами. Очевидно, должны быть волны, связанные с нашими электронами, которые вызывают эту интерференционную картину. Что это за волны? Вспомним, что положение каждого электрона на заднем экране будет определять квантовая вероятность, как мы обсуждали раньше. В свою очередь, квантовая вероятность дается (квадратом модуля) волновой функции; похоже, что мы нашли «волну», вызывающую интерференцию.

Давайте попытаемся понять все это глубже. Вместо того, чтобы выстреливать по щелям большим количеством электронов сразу, давайте выпустим один электрон за раз. Вначале мы заметим, что сразу после выпуска электрона он долетит до заднего экрана, и мы обнаружим его положение. Пока все хорошо. Однако, когда мы будем продолжать стрелять по щелям отдельными электронами, мы заметим кое-что довольно странное. В конце концов мы получим ту же самую интерференционную картину, которую мы увидели раньше, когда запускали много электронов. То есть не имеет значения, будем ли мы выпускать по несколько электронов или же всего один за раз — появляется та же самая интерференционная картина! Это означает, что один электрон — когда он сближается с двумя щелями — в конечном итоге интерферирует сам с собой.

Это кажется настолько странным, что мы решили провести последний эксперимент, чтобы дойти до сути вещей. У каждой щели мы располагаем детектор, который будет фиксировать электрон, проходящий мимо него. Несомненно, это прольет свет на странные результаты, которые мы получаем. Опять же, мы выстреливаем одним электроном за раз по щелям, снова и снова до того, когда мы сможем четко увидеть распределение на мониторе компьютера. В этот раз мы обнаруживаем, что интерференционная картина полностью исчезла, и вместо этого остается распределение положений электронов, которое мы ожидали изначально! То есть когда мы не смотрим на щели (с помощью наших детекторов), один электрон претерпевает интерференцию, но когда мы смотрим, то обнаруживаем, что электрон проходит либо только через одну щель, либо только через другую, и интерференционная картина полностью исчезает.

Эти опыты иллюстрируют саму сущность квантовой механики. Мы видим, что электрон ведет себя как частица, когда он ударяет по заднему экрану и фиксируется детектором как локализованный объект, но где-то до фиксации возникает интерференция вследствие его волновой природы и его «взаимодействия» с двумя щелями одновременно. Эта волновая природа тесно связана с квантовой вероятностью нахождения электрона в определенном положении на заднем экране, что в конечном счете приводит к распределению ударов, которое мы наблюдаем. Если мы попытаемся точно определить, где электрон приземлится на заднем экране, попробовав посмотреть, через какую из щелей он проходит, все пойдет не так, и интерференция исчезнет совсем.

Хотя мы выбрали для нашего опыта электроны, такое таинственное поведение демонстрируют все квантовые частицы. Если все это вам кажется больше научной фантастикой, чем настоящей наукой, вы не одиноки. Физические следствия квантовой механики, говоря по-простому, по сравнению с нашим повседневным опытом выглядят явно странно.

Игра случая

Квантовая теория и ее преемница квантовая механика встряхнули сами основы нашего понимания физического мира, в котором мы живем. Энергия, свет, атомы и вещество — все эти главные действующие лица стали предметом пристального внимания. До предела были доведены даже сами понятия, которые мы используем для описания некоторых из них, например «волна» или «частица», и это заставило нас принять существование корпускулярно-волнового дуализма для всех квантовых сущностей (электрона, света и им подобных). Как будто всего этого было недостаточно, от самого детерминизма, который всегда был частью классической физики, теперь пришлось отказаться в пользу неопределенности и всеобъемлющей квантовой вероятности. Эти последние понятия часто приводят к величайшей путанице.

Принцип неопределенности Гейзенберга определяет строгое физическое ограничение (налагаемое самой природой) на то, сколько мы можем знать об определенных парах величин, например о координате электрона и составляющей импульса, направленной вдоль той же оси, от которой отсчитывается данная координата. Другими словами, более совершенные измерительные приборы никогда не устранят эту неотъемлемую неопределенность и не углубят наши знания. Это также означает, что квантовая частица, подобная электрону, просто не обладает хорошо определенной траекторией, вдоль которой она двигалась бы. Вместо этого она «перемещается» между квантовыми состояниями согласно квантовой вероятности, с которой связана волновая функция Шрёдингера. Атом Бора с его «перескакивающими электронами» — хоть там всего этого и нет — иллюстрирует такое «движение» очень хорошо, к великому разочарованию Шрёдингера.

Хотя квантовая вероятность напоминает классические вероятности Максвелла и Больцмана, они далеки от истины. Их вводили намеренно, чтобы облегчить бремя сложной математики, и они по-прежнему сохраняют основополагающий детерминизм, столь дорогой для классической физики. В противоположность этому, квантовая вероятность является решительным вызовом природы против детерминизма вообще. В самом деле, безрассудный отказ от хорошо отлаженной «мировой машины» в пользу «игры случая», несомненно, создает величайшую проблему для мировосприятия. Тем не менее, по общепризнанному мнению, квантовая механика, со всей ее «таинственностью» и вероятностным подтекстом, выдержала проверку временем.

Эпилог