Да, женская интуиция с самого начала подсказывала Елене, что она здорова. Здорова! Она знала это, но не могла доказать. И вот сейчас, на тренинге, через десять лет она увидела доказательство правоты своей интуиции.
Пусть обследование дало положительный результат! Пусть аппаратура права в 90 % случаев! Но даже при таких условиях пациент скорее может быть здоров, чем болен! А дело в том, что болезнь крайне редкая. Это значит, что любая дополнительная информация не имеет значения. Правильно сказал доктор, иногда такое случается.
Об оценке вероятности редких событий – следующая глава.
Априорная вероятность
Моего соседа по лестничной площадке зовут Николай. Он невысокого роста, всегда чисто и опрятно одет. Видно, что занимается спортом и ведет здоровый образ жизни, – в свои 35 он стройный и подтянутый. Я редко вижу его, обычно когда он выходит на утреннюю пробежку или гуляет с детьми во дворе. Николай не курит, не пьет, я ни разу не слышал от него матерного слова. Он не носит никаких украшений, и на его теле нет татуировок.
А теперь вопрос: кем работает Николай – сотрудником ГИБДД или военным летчиком? Готов поспорить, ваша Система 1 мгновенно выдала ответ: Николай скорее военный летчик, чем сотрудник ГИБДД. Я прав? Если вы выбрали такой ответ, то приняли в расчет описание Николая, пренебрегли априорной вероятностью и… оказались неправы. Несмотря на описание, шансы, что Николай – сотрудник ГИБДД, намного выше, чем что он военный летчик.
Априорная вероятность – это та вероятность, которая нам известна до получения опыта. Чтобы понять, как она влияет на нашу оценку некоторых событий, представьте большой черный мешок, в котором 100 шаров: 99 черных и 1 белый. Вы засовываете руку в этот мешок и наугад вытаскиваете один шар. Какого он цвета? Конечно, черного. По одной простой причине: черных шаров намного больше. Вероятность вытащить черный шар не зависит ни от вашего желания, ни от настроения, ни от того, какие шары вытаскивали предыдущие участники эксперимента. То есть никакая дополнительная информация не должна сбивать вас с толку – скорее всего, вы вытащите черный шар.
Такая же история и с сотрудниками ГИБДД и военными летчиками. На одного военного летчика приходится тысяча сотрудников ГИБДД. И среди этой тысячи есть толстые и худые, матерящиеся и вежливые, с татуировками и без. То есть ответ «скорее всего, Николай сотрудник ГИБДД» не должен зависеть от дополнительной информации, которую вы от меня получили. Таким образом, высокий уровень развития критического мышления предполагает, что сначала мы принимаем в расчет априорную вероятность, а потом делаем выводы. Низкий уровень развития этого навыка означает обратное: мы доверяемся Системе 1, которая, в свою очередь, подпадает под воздействие несущественных, но ярких подробностей, и пренебрегаем априорной вероятностью. Как результат, принимаем неверные решения.
Вероятность редких событий
Итак, критически мыслящий человек не пренебрегает априорной вероятностью. Именно она в первую очередь определяет, насколько вероятно то или иное событие. А вся дополнительная информация либо вообще не имеет значения, либо ее значение невелико. Даже такой, казалось бы, факт, как положительный результат анализов, не должен кардинальным образом поменять ваше мнение, если болезнь достаточно редкая.
Может показаться, что мы противоречим фактам. Ну действительно, если есть результат анализов и диагностика права в 90 % случаев, то разве можно утверждать, что Елена, скорее всего, здорова? Не спешите с выводами. Давайте разберем эту ситуацию на следующем простом примере.
Представьте, что я пригласил вас в гости. Как вы поняли из кейса с Николаем, живу я в городе, в многоэтажном доме. Пусть это будет десятиэтажка. Предположим, моя квартира на шестом этаже. Итак, мы сидим с вами на кухне, пьем чай, о чем-то неспешно беседуем, как вдруг вы замечаете боковым зрением, что в окне что-то пролетело вниз. «Что это было?!» – испуганно спрашивает вы. «А вы догадайтесь. Есть два варианта: голубь или… свинья». Вы улыбаетесь. Ну конечно, это голубь, ведь свиньи не летают. Так-то оно так, но тут я показываю свой телефон и говорю: «А я успел сделать фото. Вот оно». И вы видите то самое окно, за которым, раскинув копыта в разные стороны, летит… свинья.
Изменили ли вы свое мнение? Конечно, нельзя сказать, что дополнительная информация в виде фото не оказала на вас никакого влияния. Разумеется, вы призадумались, но ваш ответ не изменился: это был голубь. И даже такой упрямый факт, как фото на моем телефоне, не может кардинальным образом изменить ваше мнение. А все потому, что свиньи не летают.
Конечно, можно предположить, что какие-то хулиганы сбросили свинью с крыши моего дома как раз в тот момент, когда мы с вами пили чай и мирно беседовали. Однако вероятность этого события столь мала, что любая дополнительная информация существенно не изменит ваше мнение. Свиньи так редко падают с крыш домов в городе, что даже фото этого события можно рассматривать как жульничество или розыгрыш, но никак не доказательство.
Теперь понятно, почему даже положительный результат диагностики не должен был кардинальным образом изменить мнение Елены о том, больна она или нет. Ведь болезнь редкая! Настолько редкая, что даже неоспоримый, казалось бы, факт не является решающим. Как мы убедимся дальше, вероятность того, что Елена действительно больна, менее 10 %.
Чтобы понять, как мы вышли на эту цифру, обратимся к преподобному Томасу Байесу.
Томас Байес (1702–1761), английский математик, священник, автор формулы для расчета вероятности с учетом экспериментальных наблюдений, оставил после себя всего две книги. Первая, большая, сразу стала очень популярной. В ней Байес рассуждал о том, что и сегодня многим не дает спокойно спать, а именно – почему Бог, если он есть, допускает страдания и убийства ни в чем не повинных людей.
Вторая книга, небольшая, вначале мало кому показалась заслуживающей внимания, тем более что в ней были достаточно сложные формулы. В этой книжке Байес дал ответ на вопрос, как новые факты меняют наше первоначальное мнение о вероятности того или иного события. Или как новое условие (положительный результат диагностики) повлияет на нашу оценку вероятности заболеть редкой болезнью. С тех пор такая условная вероятность носит название байесовой.
Мы не будем здесь приводить формулу условной вероятности. Вместо нее давайте построим матрицу рассуждений, которая даст ответ на поставленный в начале главы вопрос: какова вероятность того, что Елена все же болеет той самой редкой болезнью.
Предположим, что мы случайным образом отобрали 10 000 человек. Нам известно, что болезнь эта крайне редкая и вероятность заболеть не превышает 0,8 %. Это означает, что из 10 000 только 80 человек априори больны, а оставшиеся 9920 здоровы (нижняя строчка матрицы).
По вертикали в нашей матрице будут два столбца: больные и здоровые. Как мы уже выяснили, всего больных 80, здоровых 9920. По горизонтали – результаты диагностики (положительный и отрицательный). Сколько людей, у которых положительный результат, реально больны? Если бы аппаратура никогда не ошибалась, то этот вопрос не имел бы смысла. Однако со слов врача мы знаем, что вероятность правильной диагностики не 100 %, а только 90 %.
90 % от 80 – это 72. Соответственно, оставшиеся 8 человек имеют отрицательный результат диагностики, но все же больны (первый столбец матрицы).
Смотрим далее. Сколько здоровых людей получили положительный результат диагностики? Ответ во втором столбце матрицы. Опять же, со слов врача мы знаем, что если болезни нет, то диагностика ошибочно покажет ее с вероятностью 7 %. А 7 % от 9920 – это 694. Оставшиеся 9226 людей не болеют и имеют отрицательный результат.
Таким образом, получается, что по причине несовершенства диагностической аппаратуры лишь 72 человека из 766, имеющих положительный результат, реально болеют. А 72 из 766 – это примерно 9,4 %. Таким образом, даже при положительном результате вероятность того, что вы больны, менее 10 %. Причина – очень низкое значение априорной вероятности (0,8 %).
Поэтому решение, которое приняла Елена, оказалось правильным. Низкая априорная вероятность означает, что шансов заболеть этой болезнью крайне мало, и даже положительный результат диагностики повышает эти шансы лишь до 9,4 %.
Итак, если априорная вероятность маленькая, это означает, что, скорее всего, данное событие не произойдет, а наша чересчур эмоциональная реакция вызвана доверчивой и падкой на яркие события Системой 1. Когда в США в 2001 году самолеты врезались в башни-близнецы и погибли тысячи людей, многие американцы отказались от путешествий на самолетах и пересели на автомобили. Как результат, в первый же год в ДТП погибло людей больше, чем унесла катастрофа 11 сентября.
Редкие события на то и редкие, что не стоит тратить ресурсы и время на их профилактику и постоянное обдумывание. Вместо того чтобы беспокоиться о редких событиях, лучше сфокусироваться на чем-то более реальном, на что мы можем оказать влияние.
Понимание априорной вероятности поможет вам не только правильно оценить вероятность редких событий, но и защититься от статистических манипуляций. Нас часто пугают страшными последствиями событий, имеющих призрачные шансы случиться. И наша доверчивая Система 1, опасаясь их, принимает нерациональные решения. Чтобы убедиться в этом, предлагаю решить следующую задачу.
Задание
Представьте, что вам надо купить систему видеонаблюдения. Менеджер по продажам сообщает, что 60 % всех раскрываемых домовых краж раскрываются благодаря системе видеонаблюдения. И менеджер прав, статистика именно такова.
Перед тем как принять решение, вы собрали следующую информацию:
Половина всех домов имеет видеонаблюдение.
Вероятность кражи имущества из дома составляет 1,7 %.