НАСТОЯЩЕЕ И БУДУЩЕЕ СОЛИТОНОВ
В науках же и искусствах... все должно шуметь но-
выми работами и дальнейшим продвижением вперед.
Френсис Бэкон
Глава 6 СОЛИТОНЫ ФРЕНКЕЛЯ
Итак, вернемся в наш ХХ в. И обратимся к новым работам и новым идеям. Большинство новых идей, относящихся к солитонам, зародилось в умах физиков-теоретиков. С некоторыми такими идеями мы теперь познакомимся.
Что такое теоретическая физика
Из всех услуг, которые могут быть оказаны науке,
введение новых идей самая важная.
До сих пор мы говорили о физиках или математиках. Кто же такие физики-теоретики? Это, очевидно, люди, которые занимаются теоретической физикой. Тогда что такое теоретическая физика? Я. И. Френкель как-то определил предмет теоретической физики так: «Физическая теория подобна костюму, сшитому для природы. Хорошая теория подобна хорошо сшитому костюму, а плохая — тришкиному кафтану. Физик-теоретик подобен портному». В этом определении, конечно, чувствуется влияние Козьмы Пруткова, и в другом месте Френкель дал более серьезное определение профессии физика-теоретика: «...если отрицательной характеристикой физика-теоретика является неумение ставить физические эксперименты, то положительной... является широкая энциклопедичность в вопросах физики, соединенная с достаточной математической вооруженностью. В зависимости от соотношения между этими двумя факторами физик-теоретик может приближаться по своему профилю либо к физику-экспериментатору, либо к математику. Последних обычно относят к специалистам по математической физике».
Это деление достаточно условно, но если принять его, можно сказать, что физик-теоретик осмысливает добытые на опыте факты, рисует на них, говоря словами Френкеля, «карикатуру» и пытается облачить эту карикатуру в некий «математический костюм». Иными словами, он переводит с невнятного языка природы на точный и ясный язык математики. Коль скоро эта задача решена, теория переходит во владения математической физики для окончательной отделки и извлечения многочисленных полезных следствий.
Другая, не менее важная задача физика-теоретика — «допрашивать природу» (Ф. Бэкон), ставить новые задачи перед экспериментаторами. Ясно, что разумный вопрос можно поставить только в том случае, если есть какая-то теория или хотя бы правдоподобная гипотеза.
«Природа с красоты своей покрова снять не позволяет. И ты машинами не вынудишь у ней, чего твой дух не угадает». Так когда-то сказал об отношениях между природой и допрашивающим ее человеком философ и поэт Владимир Соловьев (1853—1900), окончивший физико-математический факультет Московского университета.
Поэты вообще склонны подчеркивать трудности общения с природой — «равнодушная природа» (А. С. Пушкин), «природа-сфинкс» (Ф. И. Тютчев). Подход физика-теоретика можно назвать более практическим. Берясь за какую-либо проблему, он сначала пытается понять, на что похожа эта новая проблема, ищет аналогии с тем, что уже известно и изучено. Здесь очень пригодится как широкая энциклопедичность, так и математическая вооруженность. Как мы уже видели, часто это приводит к успеху. Однако бывает, что этого недостаточно, и нужно угадать нечто необычное, сделать какой-то «нелогичный» скачок.
Желание понять, как это ни парадоксально, является лишь выражением нашего консерватизма, нашего нежелания допустить существование чего-то такого, что не укладывается в знакомую схему... Вот почему прогресс науки часто обязан радикально настроенным теоретикам, ломающим старые схемы и открывающим путь к новым фактам...» Это высказывание Я. И. Френкеля относится не только к физике, но и к другим наукам, не только к большим научным проблемам, но и к скромным малым задачам. Многим, наверное, знакомо чувство внезапного «озарения», когда что-то не поддававшееся умственным усилиям вдруг стало совершенно ясным. О таком скачке и идет речь.
Один из моих друзей определил практика как человека,
ничего не понимающего в теории, а теоретика — как
мечтателя, вообще не понимающего ничего.
Л. Больцман
Отделение теоретической физики от общей или экспериментальной физики произошло на грани XIX—XX вв., когда появились первые курсы теоретической физики. Один из первых физиков-теоретиков Дж. К. Максвелл вовсе не считал себя и, пожалуй, и не был — чистым теоретиком *). В его «Трактате об электричестве и магнетизме» мирно сосуществуют опыт, механические модели и весьма математизированная теория. Может быть поэтому его труд смогли прочесть и полностью понять лишь немногие избранные, которые и извлекли из него самое существенное — новую теорию. Возможно, в этот момент и совершилось окончательное отделение теоретической физики и родилась профессия физика-теоретика. Людвиг Больцман, который первым глубоко понял Максвелла, — классический образец чистого теоретика **).
*) На доме в Эдинбурге, в котором он родился, помещена мемориальная доска: «Джеймс Кларк Максвелл, естествоиспытатель. Родился здесь 13 июня 1831 г.»
**) Впрочем, Л. Больцман был не совсем чужд практики. Известно, например, что он сконструировал для своей жены электрическую швейную машину. Отметим, что теоретик нашего времени Я. И. Френкель испытывал большие затруднения, если надо было заменять электрические пробки.
В нашей стране теоретическая физика сформировалась несколько позже, в основном усилиями нескольких ученых, родившихся в последнее десятилетие прошлого века, и молодых, ярких талантов, вступивших в науку примерно на десятилетие позже. Все эти люди были очень талантливыми и очень разными. Одни вошли в науку очень быстро. Путь других, особенно старшего поколения, был более долгим и сложным, но всех объединяла бескорыстная увлеченность, одержимость наукой. В результате уже 50 лет назад в нашей стране сложилась сильная, самостоятельная и признанная во всем мире теоретическая физика. Большинство теоретиков работали в тесном контакте с такими же талантливыми и увлеченными экспериментаторами и инженерами, круг их интересов был необычайно широк. Если попытаться в нескольких словах выразить основное настроение физиков в эту эпоху «бури и натиска», то можно сказать, что для них, как и для их предшественников, о которых мы говорили в первой главе, девизом было: «Все можно понять, объяснить, изобрести, сделать, нет ничего невозможного».
Идеи Я. И. Френкеля
В квантовой физике, да и в теоретической физике во-
обще, пожалуй, не было вопросов, которыми не зани-
мался бы Яков Ильич. Он был средоточием новых
физических идей...
Яков Ильич Френкель (1894—1952) занимает свое особое место в созвездии неповторимых талантов этой эпохи. «Как музыкант уже по первым тактам узнает Моцарта, Бетховена, Шуберта, так и математик по нескольким страницам отличит своего Коши, Гаусса, Якоби, Гельмгольца» (Л. Больцман). Точно так же физик-теоретик легко узнает «почерк» Френкеля, Фока, Боголюбова, Ландау. Особенность Френкеля как теоретика — применение очень простых и оригинальных моделей при использовании минимального математического аппарата. Говорят, что Ландау как-то пошутил: «Фок любую задачу сводит к уравнениям с частными производными, я — к обыкновенным дифференциальным уравнениям, а Френкель — к алгебраическим».
Любовь к моделям и аналогиям, чрезвычайно острая наблюдательность, склонность к объяснению не только физических опытов, но и явлений окружающего нас мира несомненно роднят Френкеля с естествоиспытателями XIX в. С таким же детским любопытством он наблюдал и старался объяснить явления окружающего мира.
По воспоминаниям В. Я. Френкеля *) идеи многих работ Я. И. Френкеля возникали из таких наблюдений: «Иногда такого рода наблюдения Яков Ильич проводил и дома. Вспоминается, как он подошел к электроплитке, на которой в алюминиевом тазу грелась вода. Дно таза было буквально усеяно мелкими пузырьками, и Яков Ильич, присев на корточки, внимательно следил, как они всплывают, отрываясь от дна, как вода начинает закипать. Или за ужином, придвинув к себе стакан крепкого чая, наблюдал за пленкой на поверхности чая, которая периодически покрывалась какими-то извилистыми трещинами, вдруг, как по команде, разбегавшимися в разные стороны. Объектами таких наблюдений бывала и лаборатория природы: структура дна на мелях Рижского залива с характерными волнистыми узорами... Иногда в этой упорядоченной структуре намечались дефекты, обрывы, напоминающие картинки дислокаций».
*) Многие из приведенных здесь высказываний Я. И. Френкеля заимствованы из книги: Френкель В. Я. «Яков Ильич Френкель». — М.; Л.: Наука, 1966.
Работы Френкеля часто были связаны с наблюдениями явлений природы — облаков, молний, вихрей и водоворотов... Некоторым такое пристрастие к «пузырькам и каплям» казалось смешным и несовременным в век квантовой физики. Однако время показало, что многие модели Френкеля чрезвычайно живучи и плодотворны. Он обладал даром увидеть новое и неожиданное в самых, казалось бы, знакомых и общеизвестных явлениях и сам очень ясно сознавал эту устремленность в будущее: «Познавая законы природы, мы должны научиться видеть не столько старое в новом, сколько новое в старом».
Хотя круг интересов Якова Ильича был невероятно широк — от шаровой молнии до распадов атомного ядра все волновало его ум и порождало в нем новые идеи — наибольших успехов добился он в теории твердых тел и теории жидкостей. Здесь он высказал несколько основных идей. Лауреат Нобелевской премии профессор Невилл Мотт, возглавлявший, между прочим, в течение многих лет Кавендишскую лабораторию (после Максвелла, Рэлея, Дж. Дж. Томсона, Резерфорда и Л. Брэгга), сказал о вкладе в физику твердого тела Я. И. Френкеля так: «Я. Френкель был одним из основоположников физики твердого тела... В Англии каждый студент-физик знает «о дефектах по Френкелю»... — это узел в кристаллической решетке, оставленный атомом или ионом... и блуждающий по кристаллу... Эта идея вообще одна из фундаментальных идей в физике...»
В ней самое важное для нас — мысль о том, что «пустое место», «дырка» в решетке, может перемещаться по кристаллу подобно частице *)! Этот вывод высказан уже в работе 1926 г.: «Принимая во внимание подвижность дырок, можно рассматривать их как своего рода «отрицательные атомы...»
*) См. книгу: Бокштейн, Б. С. Атомы блуждают по кристаллу. — М.: Наука, 1984. — Библиотечка «Квант», вып. 28.
Представление о дырке как частице оказалось исключительно плодотворным. Вскоре понятие о дырке в «море» заполненных состояний было применено П. Дираком для создания теории антиэлектронов, т. е. позитронов. Фундаментальную роль играет идея о «дырках» и в теории полупроводников. Конечно, вполне оценить значение такой простой, но парадоксальной идеи о «дырках» в свое время было не так-то просто. Лишь дальнейшие исследования выявили всю ее глубину. Такой же была судьба и многих других идей Френкеля, в том числе и модели Френкеля — Конторовой.
Атомная модель движущейся дислокации по Френкелю и Конторовой
...что такое теория? Неспециалисту бросается в глаза...
что она окружена грудой формул, ничего не говорящих
непосвященному. Но эти формулы не составляют ее
существо.
Солитон, или дислокация ФК, — это особого рода дефект в кристаллической структуре твердого тела. Если стремиться к точности, то лучше сказать, что это модель такого дефекта в простейшей мыслимой модели (карикатуре) твердого тела. Забегая вперед, сразу скажем, что эта карикатура очень удачная и позволяет качественно понять многие свойства реальных твердых тел.
Предельный случай дислокации (от лат. dislocatio — смещение) — это «дырка» в кристаллической решетке. Как уже говорилось, такая дырка может перемещаться по кристаллу. Перемещение затрудняется тем, что для переброса какого-нибудь соседнего атома на пустое место нужно сначала его достаточно сильно «раскачать», чтобы он мог оторваться от окружающих его атомов. Гораздо легче перемещается дефект, в котором атомы вокруг «дырки» также смещены. Такой дефект и есть дислокация.
Совсем простую модель дислокации можно сделать так. Представим себе периодическую последовательность горок и ложбинок (см. рис. 6.1, α). Пусть в ложбинках лежат шарики, связанные упругими пружинками. Эти шарики изображают слой «атомов», а пружинки изображают силы, связывающие атомы этого слоя друг с другом. Атомы, изображенные шариками, на самом деле взаимодействуют с атомами другого слоя, изображенными крестиками. Вместо сил взаимодействия верхнего слоя с нижним мы построили горки, изображающие это взаимодействие. Атомы нижнего слоя считаются неподвижными.
Ясно, что в этой системе не может быть просто «дырки», т. е. не может случиться так, чтобы одна ямка была пустой, а во всех остальных атомы лежали бы на дне. Вместо этого равновесие может установиться в состоянии, изображенном на рис. 6.1, б. Это и есть дислокации Френкеля — Конторовой. Если в центре каждой ямки отложить по вертикальной оси смещение каждого атома (рис. 6.1, в), то ясно видно, что огибающая кривая напоминает график движения маятника, соответствующего сепаратрисе (рис. 4.10) *). Чуть позже мы убедимся, что слово «напоминает» можно заменить на «совпадает», если дислокация простирается на расстояние, много большее расстояния между атомами.
В предельном случае, когда пружинки очень мягкие, дислокация ФК превращается в «дырку» по Френкелю.
*) Такие движения называют «асимптотическими», имея в виду, что график движения приближается к прямой, соответствующей положению равновесия, подобно тому как гипербола приближается к своей асимптоте.
На рис. 6.1, б и в изображена дислокация, в которой вблизи точки О «меньше» атомов, чем в недеформированном состоянии (рис. 6.1, α). Может случиться так, что вместо этого образуется «сгущение» атомов, как изображено на рис. 6.1, г и д. График смещений атомов в такой дислокации также соответствует асимптотическому движению маятника, но в обратном направлении. В предельном случае мягких пружин получается состояние, в котором одна ямка содержит лишний атом.
На самом деле понятие дефекта по Френкелю включает пару — дырку и ячейку с лишним атомом. Их можно считать как бы «частицей» и «античастицей», родившимися в тот момент, когда один из атомов перескочил в соседнюю ячейку. Эта пара может разойтись, и тогда можно говорить отдельно о «дырке» или «сгущении». Точно так же и распределенные дефекты-дислокации могут порождаться и уничтожаться парами. Дислокацию разрежения условимся называть «положительной» или просто дислокацией. Дислокацию сгущения назовем «отрицательной» или антидислокацией.
Дислокация, размер которой значительно превышает шаг решетки α, свободно перемещается. Чтобы сдвинуть всю дислокацию на расстояние α, нужно сместить каждый атом на относительно малую длину; при этом нужно затратить совсем немного энергии. Таким образом, дислокации могут перемещаться по кристаллу как частицы, не изменяя свою форму. Разумеется, это относится к идеальным системам, когда все горбики и ямы одинаковы, а грузики и пружинки также не отличаются друг от друга. Если, однако, один горбик заметно выше других, то ясно, что дислокация будет как бы «отталкиваться» от него и сможет проскочить эту неоднородность только при достаточно большой скорости движения. Наоборот, более низкий, чем другие, горбик будет «притягивать» к себе дислокации. К похожим эффектам могут привести и неоднородности в пружинах и массах гpyзиков.
Немного поразмыслив, можно понять, что одна дислокация действует на другую как неоднородность. Точнее, две положительные или две отрицательные дислокации как бы «отталкиваются» друг от круга, а положительная и отрицательная — «притягиваются». Притяжение дислокации и антидислокации — вещь довольно очевидная, так как в дислокации пружины растянуты, а в антидислокации сжаты. Столь же очевидна причина отталкивания «одноименных» дислокаций. Психологически легче понять, как отталкиваются две антидислокации, в которых пружинки сжаты. Однако дислокации отталкиваются точно так же.
Из всего, что пока было сказано, вовсе не очевидно, что такие равновесные конфигурации, как показанные на рис. 6.1, б или г, существуют. Могло бы случиться и так, что при всяком отклонении грузиков от равновесных положений по цепочке просто бегут волны. Именно так обстоит дело в обычной ньютоновой цепочке (рис. 5.1), в струне и в других одномерных системах. На самом деле точно так же «распадаются» на волны и все достаточно малые начальные отклонения в модели ФК. Все дело здесь именно в «достаточной малости». Действующие на грузики силы тяжести и натяжения пружин могут уравновешиваться только при больших смещениях атомов. Если каким-то способом создать вначале достаточно большое смещение атомов, скажем, перебросить один или несколько атомов в соседние ямки, то в результате по цепочке побегут волны сжатия и разрежения. Оказывается, что когда мелкие волны убегут далеко, останется некоторое количество дислокаций и антидислокаций, которые сравнительно медленно движутся или покоятся.
Таким образом, любое начальное возмущение «распадается» на бегущие волны и несколько дислокаций и антидислокаций. Их форма не зависит от начального возмущения, а определяется лишь параметрами модели (массами грузиков, жесткостью пружин, формой волнистой поверхности).
Взаимодействие дислокаций
Без достаточно сложных математических расчетов невозможно понять, что будет происходить с двумя дислокациями, сталкивающимися друг с другом. Точное решение уравнений показывает, что одноименные дислокации взаимодействуют точно так же, как солитоны Рассела, т. е. подобно сталкивающимся мячам (см. рис. 2.4). Попробуем если и не понять, то хотя бы описать, что происходит, когда на покоящуюся антидислокацию налетает другая антидислокация. Обе дислокации во время «соударения» несколько деформируются. За время их соприкосновения кинетическая энергия налетевшей дислокации перейдет к первоначально покоившейся, которая и начнет двигаться вперед, сохраняя свою форму. В общем, можно сказать, что дислокация подобна мячу. Главное здесь то, что дислокация сохраняет форму. Ее легче сдвинуть, чем деформировать.
На самом деле, как мы скоро увидим, дислокация не деформируется лишь при малой скорости ее движения, много меньшей скорости распространения продольной звуковой волны по цепочке атомов. В общем случае все продольные (по оси, соответствующей направлению движения) размеры дислокации уменьшаются, т. e.где v — скорость дислокации, v0 — скорость распространения звука. Зависимость энергии движущейся дислокации от скорости дается формулой. Как формула для размеров дислокации, так и формула для энергии аналогичны соответствующим формулам специальной теории относительности *). C учетом всего, что мы узнали о дислокациях, можно сказать, что дислокация подобна элементарной частице. В довершение этой поразительной аналогии, имеются еще и «античастицы» — антидислокации.
*) Нелишне подчеркнуть, что эта аналогия чисто математическая. В теории относительности написанные формулы имеют совершенно другой физический смысл. К тому же, для реальных дислокаций они выполняются лишь приближенно.
Как же происходит столкновение дислокации с антидислокацией? Когда антидислокация (антисолитон) налетает слева на покоящуюся дислокацию D (солитон), то сжатые в пружины распрямляются, из в D пробегает волна сжатия, которая превращает D в , и наоборот. Все эти события происходят очень быстро, так как передача энергии от к D и распространение волны сжатия, превращающей D в и в D, происходят со скоростью звука. Если начальная скорость налетающего солитона намного меньше скорости звука, то оба солитона не успеют заметно изменить свою форму и разлетятся, как мячи. В результате налетевший антисолитон превратился в солитон D и остановился несколько левее положения первоначально покоившегося солитона D. Тот, в свою очередь, превратился в антисолитон и летит направо, занимая положение немного правее того, которое занимал бы налетающий антисолитон, если бы не было столкновения. Таким образом, мы совершенно ясно видим, что ничего похожего на прохождение одного солитона «сквозь другой» не происходит. Только на первый взгляд может показаться, что солитоны ведут себя как импульсы в струне, движение которых мы изучали в гл. 5.
На примере дислокации особенно ясно видно, что солитон подобен частице. Его движение при слабом взаимодействии с другими солитонами, в основном, определяется законами механики. Нужно только учитывать, что солитоны способны при этом деформироваться и «перекрашиваться» — «положительный герой», сталкиваясь с «отрицательным», сам становится «отрицательным», и наоборот.
До сих пор слова «положительная» и «отрицательная» дислокации были просто некоторыми фигуральными выражениями. Замечательно, что им можно придать буквальный смысл, приписав дислокациям соответствующие заряды. В положительной дислокации общий эффект смещения атомов такой же, как при образовании дырки. Если бы атомы нижнего неподвижного ряда были электрически заряжены положительно, а верхнего отрицательно, то дислокация, как и дырка, переносила бы положительный электрический заряд. Независимо от того, заряжены или не заряжены атомы, припишем дислокации (как и дырке) заряд +1. Тогда антидислокации надо приписать заряд -1. Если есть несколько дислокаций и антидислокаций, то алгебраическая сумма их зарядов будет сохраняться, что бы с ними ни происходило (докажите это утверждение!). Конечно, выбор для зарядов дислокаций значений +1 — дело соглашения. Ясно также, что сравнивать заряды дислокаций можно лишь в одной и той же решетке. В отличие от настоящих частиц, дислокации не существуют вне породившей их среды, и понятие заряда имеет смысл лишь для определенной, заданной решетки.
Читатель, несомненно, уже уловил, куда завело нас исследование совсем простой модели. У нас есть частицы и античастицы, которые могут порождаться и уничтожаться парами. Есть сохраняющиеся заряды, причем одноименные заряды отталкиваются, а разноименные притягиваются. Есть и нечто похожее на электромагнитные волны. Это, как вы уже, конечно, догадались, бегущие волны с малой амплитудой колебаний грузиков, когда грузики колеблются вблизи своих положений равновесия. Иначе говоря, это просто звуковые волны *), распространяющиеся в нашей «среде» из грузиков и пружин.
*) В отличие от обычных звуковых волн, эти волны сильно диспергируют при больших значениях λ. Как и для волн на глубокой воде, их фазовая скорость v растет с ростом λ. Позже мы получим соответствующую дисперсионную формулу, а пока этим отличием можно пренебречь.
В общем, мы создали целый мир. Конечно, это довольно простой мир. Трудно себе представить, чтобы из таких элементарных частиц могли бы возникнуть, скажем, мыслящие существа. Одномерность этого «мира» сильно ограничивает возможности образования достаточно сложных структур (не случайно мы с вами трехмерны!). Тем не менее не нужно и недооценивать возможности этой простой модели. В конце этой книги мы познакомимся с некоторыми идеями применения подобных одномерных систем, а в следующем разделе увидим, что даже в самом простом «мире» может существовать очень своеобразный «атом», построенный из дислокации и антидислокации.
«Живой» солитонный атом
Естественно думать, что дислокация D и антидислокация могут притянуться и образовать некоторую связанную, неразлучную пару, нечто вроде атома водорода (или, скорее, «атома» позитрония, т. е. атома водорода, в котором протон заменен на позитрон). Тут, однако, сразу возникает непростой вопрос: а не уничтожат ли дислокация и антидислокация друг друга? С атомом водорода такая катастрофа невозможна, так как протон и электрон не являются античастицами друг для друга. Наоборот, жизнь пары из электрона и позитрона в позитронии довольно короткая. Электрон и позитрон в конце концов сливаются друг с другом (т. е. аннигилируют) и превращаются в фотоны. Вообще говоря, такая судьба грозит и солитонному атому. Однако в «непрерывной» модели Френкеля и Конторовой, о которой речь пойдет ниже, могут образоваться солитонные атомы, живущие бесконечно долго! Эти атомы устроены довольно хитро, и без математики их не получишь. Однако описать их очень просто.
Допустим, в начальный момент слева стоит солитон D, а справа около него — антисолитон . Смещения атомов изображены на рис. 6.2, α, где по вертикальной оси отложено смещение в единицах расстояния α, т. е. у/α. Нa оси х изображены также реальные смещения атомов. Справа атомы сгущены, а слева разрежены. Теперь ясно, что налево пойдет волна сгущения, и через некоторое время получится картинка, изображенная на рис. 6.2, б. Все происходит так же, как при столкновении движущегося солитона с покоящимся антисолитоном, но теперь нет запаса кинетической энергии, который позволил бы им оторваться. В результате образуется стоящее на месте пульсирующее состояние.
Его называют бризером (от англ. breath — дышать, одно из значений слова breather — живое существо), или бионом, (живая частица»). Бризер внешне выглядит как стоячая волна. Странно в этой волне то, что ее ничто не удерживает на краях. Можете ли вы представить подобную вещь на поверхности воды? Конечно, нет. К сожалению, на воде таких удивительных «живых существ» действительно не бывает.
Другая удивительная особенность этой стоячей волны состоит в том, что она тоже ведет себя как частица! Бризер может равномерно двигаться. Он ускоряется или замедляется вблизи неоднородностей. При столкновениях с солитонами или другими бризерами он также ведет себя как частица. С другой стороны, в бризере наглядно проявляется волновая природа солитонов. Бризер нельзя описать просто как две частицы D и , связанные пружинкой. «Внутри» него действительно пульсирует стоячая волна сжатий и разрежений «среды».
Здесь, похоже, внимательный читатель не может уже сдержать желания задать автору несколько вопросов.
Диалог читателя с автором
Ч и т а т е л ь. Мне трудно уследить за скачками Вашей мысли. Вы довольно долго убеждали меня, что солитон — частица. Теперь скажите, что я должен думать о бризере? Это ведь явно стоячая волна, хотя и не совсем обычная. В то же время, если я правильно понял, бризер тоже настоящий солитон, такой же, как солитон Рассела или дислокация Френкеля. Что же все-таки солитон — частица или волна?
А в т о р. Если сказать кратко, то солитон — не частица и не волна. Солитон — это солитон, новый объект физического мира. Однако многие солитоны рождаются «из волн» и наследуют некоторые свойства волн. Для понимания многих свойств солитонов помнить об их волновом происхождении не только полезно, но порой и необходимо. С другой стороны, солитоны движутся и сталкиваются как частицы, но частицы эти, как мы видели, очень необычные. Дислокация, например, имеет конечный размер, но ее нельзя разбить на меньшие части, она неделима.
Ч и т а т е л ь. Но это совершенно непонятно! Дислокация, в конце концов, состоит из грузиков и пружин. Где же тут неделимость?
А в т о р. Я позволю себе ответить на вопрос вопросом. Помните ли Вы улыбку Чеширского Кота из знаменитой книги Льюиса Кэрролла? *).
«...первым исчез кончик его хвоста, а последней — улыбка; она долго парила в воздухе, когда все остальное уже пропало. — Д-да! — подумала Алиса. — Видала я котов без улыбок, но улыбка без кота! Такого я в жизни еще не встречала».
*) Кэрролл Л. Приключения Алисы в Стране Чудес: Пер. с англ. — М.: Книга, 1982.
Так вот, грузики и пружинки — это кот, а дислокация — его улыбка. Ясно, что улыбка относится к состоянию кота, но она не состоит из кота, и она, конечно, «неделима» — либо она есть, либо ее нет! Когда я говорю о дислокации как о солитоне, я как раз и имею в виду «улыбку без кота». Дело здесь не только в том, что одни и те же солитоны, описываемые совершенно одинаковыми математическими уравнениями, могут существовать в самых различных средах. Самое интересное, что можно действительно изучать и, видимо, наблюдать улыбку без кота!
Ч и т а т е л ь. Извините, но я опять Вас перебью. Я, конечно, не думаю, что Вы имеете в виду что-нибудь сверхъестественное. Но в таком случае Вы, по видимому, хотите сказать о радио, телевидении, голографии и тому подобном. Мне это все объяснять не надо. Вполне понятно, что можно закодировать и кота, и его улыбку, и нашу беседу, и многое другое в электромагнитные волны, и все это сможет существовать само по себе, в вакууме. Это ясно. Мне кажется, что ничто не препятствует и существованию «электромагнитных солитонов». Если это возможно, то Ваша мысль мне совершенно понятна. В конце концов, и сами электромагнитные волны — тоже «улыбка без кота».
А в т о р. Эта беседа начинает мне нравиться все больше. Вы уже объясняете мне, что я собирался сказать! Хотя я, честно говоря, не думал о телевидении и голографии, но вот с электромагнитными волнами Вы попали почти «в десятку». После того как из физики было изгнано представление об эфире, электромагнитные волны действительно стали «улыбкой без кота». Современная теория пошла дальше. В ней и другие элементарные частицы, например электроны, тоже описываются полями, во многом подобными электромагнитному полю. Есть, конечно, и существенные отличия между этими полями, и самое главное для нас — в законе дисперсии. Электромагнитные волны распространяются в пустоте без дисперсии. Скорость группы волн (фотона) равна скорости распространения волн, т. е. скорости света. Волны, описывающее электроны, должны быть устроены так, чтобы группы этих волн (электроны) могли двигаться с любой скоростью, меньшей скорости света. Волны, из которых мы строили дислокации, как раз удовлетворяют этому требованию, только роль скорости света играет скорость звука. Я скоро это покажу, а сейчас только замечу, что эта дисперсия никак не связана с дискретностью цепочки. Вы можете, как это делалось в предыдущей главе, перейти к пределу непрерывной среды, а затем вообще забыть о среде, оставив одно поле.
Ч и т а т е л ь. Мне не совсем понятно, что у Вас останется.
А в т о р. Останется поле, которое в простейшем случае характеризуется функцией у (t, х), описывающей отклонение от равновесия каждой точки среды. Точка зрения теории поля состоит в том, что материальной среды, по которой распространяются волны, нет, а эта функция описывает само распределение вещества, например электронов.
Ч и т а т е л ь. Нет, давайте лучше вернемся к солитонам в какой-нибудь среде. К этому я уже привык. А то, что от электрона осталась только функция, я так сразу не могу переварить. Это чересчур абстрактно.
А в т о р. Беда не в том, что это абстрактно, к этому нужно только привыкнуть: хуже, что для электрона эта картина, строго говоря, неправильна. Если Вы рассматриваете электромагнитное поле, то все эти представления имеют смысл как в обычной классической теории прошлого века, так и в квантовой теории. Поле же, описывающее электроны, имеет смысл только в квантовой теории. Но и там при описании взаимодействия электронов и фотонов возникают большие трудности. Эти трудности еще удалось как-то преодолеть, но вот не менее важную частицу, протон, таким способом, на языке теории поля, совсем не удалось описать. Поэтому и возникла замечательная мысль — а не является ли протон солитоном какого-нибудь поля?
Ч и т а т е л ь. Нет, давайте все же закончим наш разговор. Кое-что я, пожалуй, уловил. Вы хотите, чтобы я рассматривал отклонения частиц в модели Френкеля как поле у (t, х), похожее на электромагнитное поле. Тогда периодические волны небольшой амплитуды будут подобны электромагнитным волнам, а дислокации будут частицами... X-м?... Какими частицами?... Не фотонами же?
А в т о р. Что Вас смутило? Конечно, это не фотоны! Вы же знаете, что фотоны движутся со скоростью света. Вы можете представлять себе фотон просто как группу волн. В пустоте скорость этой группы совпадает с фазовой, ну и так далее...
Ч и т а т е л ь. Тогда, может быть, дислокации подобны электронам или протонам? У них ведь и заряд есть, и античастицы, и атом из них можно составить?.. Нет, это просто здорово! Из одного и того же материала делается все — и фотоны, и электроны... Постойте, постойте! Вы говорили, что эти волны сильно диспергируют. Значит, они не могут быть фотонами!
А в т о р. Вы хотите понять все чересчур буквально. Конечно, эти волны не совсем похожи на электромагнитные. Если хотите более точную аналогию, то волны в модели Френкеля — Конторовой описывают мезоны, а дислокации — протоны.
Ч и т а т е л ь. А что такое мезон? Я слышал про π-мезон и μ-мезон. Вы их имеете в виду?
А в т о р. Во-первых, μ-мезон вовсе не мезон, а лептон. Он входит в одно семейство с электроном и нейтрино. Это имя он получил случайно, теперь его называют мюоном. Он почти ничем не отличается от электрона, только в 207 раз тяжелее. А вот π-мезон действительно относится к семейству мезонов. В каком-то смысле его можно считать аналогом фотона. Если электромагнитное поле необходимо для того, чтобы связать электроны и протоны в атомы, то поле π-мезонов необходимо, чтобы протоны и нейтроны связывались в атомные ядра. Правда, дело здесь обстоит гораздо сложнее...
Ч и т а т е л ь. Нет-нет! Довольно сложностей! Скажите только, почему Ваши «мезонные волны» должны обязательно диспергировать? И потом, все-таки не понятно, какое отношение имеют эти волны к мезонам. Мезоны ведь частицы?
А в т о р. Отвечу сначала на второй вопрос. Правда, точный ответ на него возможен лишь в квантовой теории. Мезон — это квант мезонного поля, точно так же, как фотон — квант электромагнитного поля. Если это непонятно, то можете себе представлять фотон как группу электромагнитных волн, а мезон как группу «мезонных волн». Тогда Вы сразу получаете ответ на первый вопрос: дисперсия нужна для того, чтобы групповая скорость отличалась от фазовой. Фотон — это частица с нулевой массой, скорость такой частицы всегда равна скорости света. Мезон — частица с конечной массой (π-мезон примерно в 270 раз тяжелее электрона), и закон дисперсии должен быть таким, что группа волн движется как частица с такой массой. Учтите только, что этот ответ неполный, а по существу даже и неправильный. Правильный ответ можно дать только в квантовой теории.
Для понимания соотношения между полем и солитоном, напротив, не требуется никакой квантовой теории, и я постараюсь больше не вспоминать ни о каких квантах. Давайте действительно вернемся к солитонам. Я покажу, как основные свойства солитона Френкеля можно получить на точном языке математики. При этом Вы увидите, что все опять сводится к движению маятников, точнее, к асимптотическим движениям маятника (вспомните рис. 4.14). Надеюсь, Вы еще не забыли, что это такое?
Ч и т а т е л ь. Признаться, я не очень внимательно прочел главу о маятнике. Она мне показалась слишком длинной. К тому же я не понимаю, как Вы хотите связать дислокацию с маятником. Понятно, что каждую частицу в ямке можно считать маятником. Однако когда дислокация стоит на месте, грузики неподвижны, речь, по-моему, может идти не о колебаниях, а о равновесии маятников, связанных пружинами... Впрочем, если дислокация движется, то грузики действительно ведут себя как маятники, делающие одно полное колебание. Только почему оно асимптотическое?
А в т о р. Я мог бы ответить на этот вопрос, но давайте лучше сначала уточним модель и напишем некоторые формулы.
Признаюсь, что я пока немного обманывал Вас, выдавая за модель Френкеля — Конторовой более наглядную, но и более сложную систему. Теперь займемся настоящей моделью Френкеля — Конторовой.
Если Вы хотите по-настоящему понять, как устроен хотя бы один солитон, попробуйте разобраться в следующих двух параграфах, возвращаясь время от времени к формулам, описывающим маятник и движения грузиков в пружинной модели. Если у Вас нет желания заниматься этой работой, можно бегло просмотреть эти параграфы. Советую все же постараться понять, что изображено на рис. 6.3 и 6.4 и обратить внимание на закон дисперсии волн в модели Френкеля — Конторовой.
Дислокации и маятники
В настоящей модели ФК атомы, естественно, движутся по прямой (ось х) и все силы, действующие на них, направлены также по оси х. Действие соседних атомов верхнего слоя представим, как всегда, пружинами, а действие атомов нижнего слоя («подкладки») описывается периодической синусоидальной силой
f(х) = -f0 sin (2πx/α).
Как и в предыдущей главе, обозначим отклонение n-го атома от положения равновесия функцией yn(t) = xn(t) - nα, где xn(t) — координата n-го атома. Со стороны «подкладки» на n-й атом действует сила
Пружины действуют на n-й атом с силой, равной
k (yn+1 - yn) - k (yn - yn-1).
Уравнение движения n-го атома поэтому принимает вид
Если f0 = 0, то мы получаем уравнение (5.8), уже изученное раньше.
Итак мы получили уравнение (6.1), соответствующее модели Френкеля — Конторовой. Сейчас мы найдем решение этого уравнения, описывающее движущуюся дислокацию. Читателя, разобравшегося в предыдущей главе, уже не смущает что это не одно уравнение, а бесконечная система уравнений. Мы знаем что движущаяся дислокация подобна волне, бегущей по цепочке маятников, в которой каждый маятник с некоторым запаздыванием точно повторяет все движения предыдущего. Время этого запаздывания Δt определяется скоростью перемещения волны v = α/Δt. Таким образом (вспомните рис. 5.7)
Смещения yn (t + Δt) можно найти, считая движение атома от момента t - Δt до момента t + Δt равномерно ускоренным. Тогда, как мы уже писали,
Подставляя это в уравнение (6.1), получаем замечательно простое уравнение
Присмотримся к этому уравнению повнимательнее. Если отвлечься от обозначений, то видно, что оно почти совпадает с уравнением маятника, о котором так много говорилось в гл. 4. Когда периодической силы не было, т. е. f0 = 0, мы должны были положить m = k (Δt)2, откуда и определили скорость распространения звука в свободной цепочке:
Теперь квадратная скобка не равна нулю. Перепишем ее в виде
Теперь ясно, что при медленном движении дислокации, когда vv0, квадратная скобка отрицательна, а определенная нами эффективная масса m•, зависящая от скорости v, положительна.
Легко свести уравнение (6.2) к уравнению маятника (4.1). Вспомним, что sin (π + φ) = -sin φ, и положим 2π(yn/α) = π + φn, т. е. будем измерять отклонение атома от положения равновесия «углом» φn. Если атом остался на месте, то yn = 0 и φn = -π. Если он смещается вправо, то угол φn возрастает и при yn = α принимает значение +π. Таким образом, переходу атома со дна одной «ямки» на дно другой соответствует асимптотическое движение «маятника». При таком изменении обозначений уравнение движения (6.2) можно записать в виде (проверьте это!)
Движение «маятника» по сепаратрисе, когда φn (t) изменяется от -π до +π, мы уже определили раньше (вспомним формулу (4.9) и рис. 4.10). Напишем эту формулу еще раз:
Так как маятники качаются с запаздыванием, мы выбрали свое начало отсчета времени tn для каждого из маятников. Поскольку смещение атомов от ячейки к ячейке распространяется со скоростью v = α/Δt, надо взять tn = nΔt. Тогда φ1(t) = φ0(t - Δt), и вообще φn(t) = φ0(t - nΔt).
Выразим теперь tn через скорость дислокации, т. е. tn = nα•(Δt/α) = nα/v, и заменим nα на х. Будем писать соответственно φn(t) = φ(t, х), где х = nα. Тогда функцию φ(t, х), описывающую движущуюся дислокацию, можно записать в виде
φ(t, х) = π - 4 arctg [e-ω(t - x/v)].
Эта функция определяет форму дислокации в любой момент времени:
yn(t) = α/2 + (α/2π) φ (t, nα).
Удобно записать показатель экспоненты в форме (х - vt)/lv, где lv = v/ω. Вспоминая определения «частоты» ω и «массы» m• (см. формулы (6.4) и (6.3)), после простых преобразований получаем
В этом выражении для величины l0 под корнем написана безразмерная величина, равная отношению неких двух энергий. Выясним смысл этих энергий. Вспоминая, что v0 = , представим mv02 как kα2. Эта величина пропорциональна энергии, необходимой для растяжения пружины на величину порядка α. В знаменателе стоит произведение силы f0 на расстояние α, что, очевидно, пропорционально работе, которую надо затратить на преодоление барьера, отделяющего одну ямку от другой. Таким образом, l0 увеличивается при увеличении жесткости пружин и уменьшении силы со стороны «подкладки», привязывающей атомы к определенным местам. В дальнейшем будем считать, что упругая энергия kα2 значительно превосходит f0α, и, таким образом, величина l0α.
Теперь посмотрим на окончательное выражение для функции φ(t, х), описывающей дислокацию
Эта функция представлена на рис. 6.3, б. На рис. 6.3, α изображена кривая зависимости φ от х в момент t = 0. Вдали от центра дислокации, расположенного в точке х = 0, атомы расположены вблизи положений равновесия, т. е. φ π или φ -π. Атомы находятся далеко от положений равновесия лишь на расстояниях lv от центра. Мы можем поэтому называть lv полушириной дислокации или просто ее размером:
Если скорость дислокации равна нулю, то ее размер lv = l0 зависит лишь от характеристик решетки. Размер равномерно движущейся дислокации tv с увеличением скорости уменьшается, причем это уменьшение определяется формулой
напоминающей преобразование длины при переходе в движущуюся систему координат в специальной теории относительности, только вместо скорости света с
в ней стоит скорость звука v0. Эту аналогию с теорией относительности можно провести достаточно далеко. Можно показать, что энергия Е и импульс р движущейся дислокации также выражаются формулами «теории относительности»
Таким образом, быстро движущиеся дислокации подчиняются не механике Ньютона, а механике специальной теории относительности. При малой скорости движения дислокации (v2/v02 1) можно пользоваться обычной нерелятивистской теорией.
Эта модель, вероятно, очень понравилась бы Джозефу Лармору (1857—1942), считавшему частицы чем-то вроде дислокаций в эфире. Правда, его теория намного сложнее, но суть дела именно такая. С интересом отнесся бы к этой модели и Пуанкаре. В своем докладе «Новая механика» (1909 г.) он говорил: «Инерцией обладает не материя, а эфир; он один оказывает сопротивление движению, так что можно было бы сказать: нет материи, есть только дыры в эфире». В конце этой книги мы познакомимся с некоторыми современными идеями, связывающими элементарные частицы с солитонами некоторых нелинейных полей, играющих в какой-то степени роль эфира.
Во что превратились звуковые волны
Итак, мы уже поняли, что солитоны перемещаются со скоростями, меньшими v0. А как же с обычными звуковыми волнами — могут ли они распространяться в среде, смоделированной Френкелем и Конторовой?
Возвратимся к уравнению (6.2). Даже для волн очень малой амплитуды его правую часть отбросить нельзя. Можно только приближенно заменить ее на -2πf0(yn/α). Тогда сразу видно, что yn(t) будет изменяться по синусоидальному закону, если величина «эффективной массы» m• отрицательна. При положительной эффективной массе никаких колебаний yn(t) не получится (вспомните гл. 4!). Предположим поэтому, что m• 0. Тогда из формулы (6.3) следует, что скорость распространения волны v должна быть больше v0, т. е. больше чем в свободной цепочке атомов! Не противоречит ли это только что сделанным вычислениям? Конечно, нет. Скорость v — это фазовая скорость волны, и мы сейчас увидим, что скорость группы волн оказывается всегда меньше v0.
Итак, подставим в формулу (6.2) соотношение (6.3) и заменим sin [2π (yn/α)] на 2π (yn/α). Для уn(t) получаем тогда уравнение малых (линейных) колебаний
Решения этого уравнения, например
уn(t) = уn(tn) соs [ω(t - tn)],
описывают, как и раньше, бегущие волны. Вспоминая рассуждения, приведенные при выводе формулы (6.5), представим волну смещения атомов в виде
у(t, х) = у0 соs [ω(t - x/v)].
Зависимость круговой частоты волны ω от фазовой скорости определяется формулой (6.8). Из условия связи длины волны с частотой и скоростью, т. е. из обычного соотношения λ = v/ = 2πv/ω, легко находим зависимость фазовой скорости от длины волны:
Упражнение: получите формулы (6.8), (6.9), воспользовавшись формулами (6.2), (6.3). Найдите групповую скорость и из формулы (5.23).
О т в е т:
Зависимость скорости v от длины волны λ изображается хорошо изученной нами кривой — гиперболой. Обозначив v/v0 = X и λ/λ0 = Y, можно записать уравнение (6.9) в более знакомом и приятном виде как Y2 - Х2 = 1. Как мы уже убедились в гл.4, точки этой кривой можно находить с помощью циркуля и линейки. Это построение выполнено на рис. 6.4, где
введены обозначения X1 = λ1/λ0 , Y1 = v1/v0, 1/Y1 = u1/v0, λ1 — интересующее нас значение длины волны, v1 — соответствующее значение фазовой скорости, определяемое формулой (6.9), а u1 = v02/v1 — значение групповой скорости.
Упражнение: выполните построение рис. 6.4. Покажите, что координаты точки А1 подчиняются соотношению (6.9), координаты точки С1 равны ω0/ω1 и u1/v0 = v0/v1, где ω1 — значение ω, соответствующее заданному значению λ = λ1.
Полученный нами закон дисперсии очень часто встречается в самых разных физических явлениях, и стоит потратить некоторое время, чтобы как следует понять его. Особенно полезно представить его с помощью дисперсионной формулы
которая легко получается заменой в формуле (6.9) отношения v/v0 на (λω/λ0ω0).
Отсюда сразу видно замечательное свойство этого закона дисперсии — частота распространяющихся по цепочке волн всегда выше частоты ω0, с которой колебался бы каждый атом цепочки вблизи своего положения равновесия, если бы он находился только под действием «подкладки». Физически очевидно, что частота ω0 достигается при очень большой длине волны, когда соседние атомы смещаются без изменения относительно расстояния (как твердое тело). При этом пружины настолько слабо деформируются, что их как бы и нет.
Другое свойство закона дисперсии (6.9) роднит его с гравитационными волнами на глубокой воде. Мы видим, что фазовая скорость v(λ) увеличивается с увеличением длины волны. Правда, эта зависимость несколько иная — скорость очень длинных волн на воде пропорциональна , а скорость волн смещения пропорциональна λ (при λ λ0). Тем не менее можно считать, что природа прохождения дисперсии в обоих случаях качественно сходна. Во всяком случае, найденная нами дисперсия волн смещения в атомной цепочке не связана с ее дискретной структурой, которая может проявиться лишь при очень малых длинах волн, порядка постоянной решетки α.
При выводе закона дисперсии мы, в сущности, с самого начала пренебрегали дискретной структурой, предполагая, что α λ и α λ0. Нетрудно проверить, что λ0 = 2πl0 (проверьте!). Поэтому при α λ0 будет также выполнено условие α l0, т. е. размер дислокации l0 должен быть большим по сравнению с межатомным расстоянием. Отсюда ясно, что дефект по Френкелю, размер которого примерно равен α, нельзя описать с помощью изложенной здесь теории. Если, однако, не гнаться за точностью, то можно считать дефект по Френкелю просто дислокацией малого размера l0, сравнимого с α. Описание при этом будет качественно правильным.
Если это не вполне понятно, нужно вспомнить начало предыдущей главы, где описаны колебания системы из двух и трех грузиков, соединенных пружинками. Эти колебания соответствуют стоячим волнам сплошной резинки (рис. 5.4 и 5.5), но только нельзя рассматривать волны с длиной, меньшей 2α. Более точное описание дефекта по Френкелю можно найти с помощью исходного уравнения (6.1). Если пружины очень мягкие, т. е. если kαf0, то существует равновесное состояние, в котором один из атомов смещен примерно на α, а все остальные смещены мало (попробуйте это проверить самостоятельно!). Это и есть дефект по Френкелю.
Раз уж мы вспомнили переход от цепочки атомов к сплошной среде, стоит написать, во что превратится при таком переходе основное уравнение (6.1). Как и при выводе уравнения Д'Аламбера, можно считать, что второй член в правой части перейдет в kα2y". Переходя от y(t, х) к φ(t, х) (вспомните вывод уравнений (6.4), (6.5), найдем в результате, что
Если ω0 = 0, то из этого уравнения получается уравнение Д'Аламбера.
К уравнению (6.11) приклеилось странное название — уравнение «синус-Гордона». Происхождение этого жаргонного наименования связано с тем, что при значениях φ, мало отличающихся от π, т. е. φ = π + ψ, гдеоно переходит в уравнение
Это, а если говорить совсем точно, несколько более общее уравнение было предложено в 1926 г. Э. Шрёдингером, О. Клейном, В. Гордоном и В. А. Фоком, и обычно физики для краткости называют его уравнением Клейна — Гордона. Подобное стремление к укорочению названий породило и сочетание «синус-Гордона».
На самом деле уравнение (6.12) было известно уже в прошлом веке и называлось уравнением струны в упругой среде (действие упругой среды на каждый кусочек струны описывается членомв правой части уравнения). Уравнение (6.11) также встречалось математикам в конце прошлого века. Оно появилось в связи с исследованиями по геометрии Лобачевского *) и было известно лишь геометрам. Достаточно полное изучение решений уравнения (6.11) было выполнено лишь в 1936 г. немецким математиком Р. Штойервальдом. Он нашел решения, соответствующие (на нашем с вами языке) одному солитону, двум солитонам и бризеру. Эти результаты до самого последнего времени были известны лишь немногим специалистам по геометрии и не оказали никакого влияния на развитие науки о солитонах. Для физики уравнение «синус-Гордона» было открыто Френкелем и Конторовой, и они же нашли его солитонное решение. Связать эти открытия с их именами естественно и справедливо, хотя наиболее удивительные свойства модели ФК были обнаружены позднее другими исследователями. Как сказал Больцман: «Еще почти никогда... не бывало, чтобы та самая голова, которая впервые натолкнулась на ту или иную новую идею, до конца исчерпала бы ее».
*) Любому решению этого уравнения соответствует некоторая поверхность, на которой выполняются аксиомы геометрии Лобачевского. Такие реализации геометрии Лобачевского сыграли основную роль в признании его идей.
Как увидеть дислокации?
Что, наконец, представляется нам затверделым и плот-
ным, то состоять из начал крючковатых должно не-
сомненно, сцепленных между собой наподобие веток
сплетенных.
Всякий знает, что металлы сами по себе довольно «мягкие» или, лучше сказать, пластичные. Речь идет о «совершенном» металле, который имеет простую, не искаженную примесями и дефектами кристаллическую структуру. Кристаллическая решетка большинства металлов построена из одинаковых «кубиков». Вдоль плоскостей этих «кубиков» кристалл легко можно сдвинуть. Если вы сложите стопкой монеты, то небольшим боковым усилием легко сдвинете ее. Точно так же легко сдвигается по некоторым плоскостям идеальный кристалл. Такой сдвиг происходит совсем легко, если приложенное усилие создает дислокации, которые бегут одна за другой. Вам не нужно сдвигать сразу много атомов, а достаточно образовать дислокацию, для чего требуется небольшое усилие. По этой причине чистые, правильные кристаллы многих металлов очень мягкие. Однако бывает, что куски одной и той же на вид проволоки гнутся совсем не одинаково. Эти куски одинаковы лишь внешне, а внутренняя структура у них совсем разная. Те, которые гнутся плохо, подверглись обработке: вероятно, их уже сгибали. Возможно, вы замечали, что проволоку часто легче согнуть, чем разогнуть. А причина тому — дислокации. При сгибании в кристалле неизбежно образуется большое число дислокаций. Расстояния между атомами при этом практически не изменяются, но кристалл в одних направлениях растягивается, а в других — сжимается. Обратимся к рис. 6.5: линии изображают, конечно, довольно схематично, правильные ряды атомов кристалла, а их обрывы — это дислокации.
Если при сгибании образуется очень много дислокаций, они начинают «мешать» друг другу. Точнее говоря, кристалл становится настолько несовершенным, что дислокации по нему уже не смогут распространяться свободно. Если вспомнить модель, с которой мы начинали, то можно сказать, что правильно чередующиеся ямки становятся довольно нерегулярными.
Образуются широкие холмы и овраги, за которые дислокации «зацепляются». Чтобы разогнуть кристалл, вам приходится перемещать уже огромные коллективы атомов, а не «передислоцировать» их небольшие группки. Вот и выходит, что разогнуть совсем не то, что согнуть! Между прочим, то же самое — образование большого числа перепутанных дислокаций и других дефектов — происходит при ковке металлов. Можно сильно уменьшить число дислокаций, которые образовались при сгибании и разгибании проволоки, если «отжечь» проволоку. После отжига она снова станет совсем мягкой. Вы можете удивить своих менее просвещенных друзей простым фокусом — «я пятаки могу ломать». Прокалите достаточно толстую проволоку в огне газовой горелки. Остыв, она останется мягкой, и из нее легко можно сделать кольцо на палец или браслет на запястье, в зависимости от толщины проволоки. Предложите затем доверчивому зрителю разогнуть это кольцо!..
Почему кольцо стало таким неподатливым? Дело в том, что при сильном нагревании дислокации «распутываются», атомы, в основном, становятся на свои места и проволока смягчается. После сгибания структура проволоки становится, как сказал Лукреций Кар, «крючковатой»...
Здесь могут возникнуть два вопроса. Во-первых, почему должны обязательно образовываться дислокации, а не просто дефекты по Френкелю? Во-вторых, можно ли увидеть сами дислокации, а не делать умозаключения об их существовании?
Попробуем сначала разобраться с первым вопросом. В реальных кристаллах на создание дислокации нужно затратить меньше энергии, чем на образование одного дефекта по Френкелю. Энергия покоящегося дефекта примерно равна kα2, а энергия покоящейся дислокации равна
Не приводя вывода этой формулы, напомним только, что m0 — это эффективная масса покоящейся дислокации. Энергию движущейся дислокации можно найти с помощью (6.7).
Теперь ясно, что если размер дислокации l0 много больше постоянной решетки α, то для создания одиночного дефекта Френкеля требуется примерно во столько же раз большее количество энергии, поскольку . Это дает ответ на первый вопрос.
Ответ на второй вопрос дали замечательные эксперименты, выполненные в Кавендишской и в других лабораториях лет тридцать назад. С помощью электронного микроскопа удалось буквально увидеть картину, изображенную на рис. 6.5. Больше того, удалось даже снять кинофильм с большим числом движущихся дислокаций, которые, по выражению первых его зрителей, «суетились, как мыши». Возможно, что внимательное изучение подобных фильмов позволило бы увидеть столкновения дислокаций и даже бризеры.
Замечательную модель кристалла, позволяющую увидеть дислокации невооруженным глазом, придумали Л. Брэгг и Дж. Най. В этой модели двумерный кристалл делается из мыльных пузырьков. Лучше всего прочесть саму работу Брэгга и Ная и посмотреть полученные ими фотографии дислокаций. Работа написана очень просто и занимательно, перевод ее на русский язык помещен в Приложении ко второму тому «Фейнмановских лекций по физике» (М.: Мир, 1966). Модель Брэгга — Ная описана также в «Опытах в домашней лаборатории». На рис. 77 этой книги можно ясно увидеть три френкелевских дислокации. Одна на средней фотографии и две на нижней. Чтобы их разглядеть, надо рассматривать плоскость страницы под малым углом, при этом должны быть ясно видны параллельные ряды «атомов». В месте расположения дислокаций эти линии «перебиваются», и ясно видна френкелевская структура дислокаций.
Настольные солитоны
Простую реализацию модели Френкеля — Конторовой можно изготовить из нашего скрепочного устройства (вспомните рис. 5.2). Прикрепите к концам скрепок грузики из пластилина — и прибор готов! Если резинка достаточно близка к идеальной, то наше устройство есть не что иное, как набор маятников в поле силы тяжести, упруго связанных друг с другом благодаря закручиванию резинки. После всех наших занятий с маятниками совсем не трудно понять, что будет происходить со скрепками, и написать уравнения, описывающие их движения.
Читатель, вероятно, уже догадался, что эти уравнения совершенно подобны уравнениям (6.1). Чтобы их написать, удобно идеализировать скрепки, заменив их грузиками с массой m на невесомых твердых стерженьках длины l. Эта упрощенная модель изображена на рис. 6.6. Закручивание резинки, на которой подвешены маятники, создает момент упругой силы, действующей на маятник. Этот момент зависит от углов закручивания соседних маятников. Очевидно, что момент, действующий на n-й маятник, можно записать в виде K(φn+1- φn)-K(φn - φn-1). Закончить это небольшое исследование предоставим читателю.
Упражнение: получите уравнение типа уравнения (6.1), описывающее движение маятников. Найдите максимальную скорость (скорость «звука») и длину солитона.
О т в е т:
Конечно, на таком примитивном устройстве можно увидеть немногое. В лучшем случае удастся изучить движение одного солитона и дисперсию волн малой амплитуды. На рис. 6.6 схематически изображены отклонения маятников, соответствующие одному солитону, т. е. угол закручивания изменяется от 0 до 2π. Из-за большого затухания, вызванного трением в резинке, солитон довольно быстро останавливается.
Более совершенный «генератор солитонов», основанный на том же принципе, можно сделать из гвоздей и пружин. Основная идея должна быть понятна из рис. 6.7.
Маятники насаживаются на хорошо натянутую фортепианную струну диаметром 1 мм. Необходимо, чтобы трение при вращении держателя D на струне было как можно меньше. В приборе, который был построен в 1969 г. А. Скоттом (примерные параметры его и приведены на рис. 6.7), длина солитона была 5 см, а v0 50 см/с. На своем приборе А. Скотт наблюдал столкновения солитона с солитоном и антисолитоном, зависимость размера солитона от скорости, дисперсию волн и другие закономерности и явления.
В общем, частная и в какой-то степени общественная жизнь солитонов вполне доступна наблюдению невооруженным глазом. Ясно, что она была столь же доступна наблюдению и в 1869 г. Только, как мы знаем, она тогда никого не интересовала. Общая идея солитона родилась в наше время, и солитон — дитя середины ХХ в. Нам пора вернуться в него, но сначала надо сказать еще несколько слов о «ручном» солитоне и о некоторых других солитонах, похожих на солитоны Френкеля.
Другие близкие родственники дислокаций по математической линии
Покоящийся «ручной» солитон, или солитон Эйлера, тоже описывается, как уже говорилось в гл. 3, уравнением маятника. Только роль времени играет длина дуги. Показать это совсем не сложно, если взять дискретную модель проволоки, сделанную из твердых стерженьков, соединенных пружинными шарнирами (вспомните, как устроены бельевые прищепки). Рассмотрим несколько секций этой модели проволоки, изображенных на рис. 6.8. Проволока растягивается силой F. Применяя третий закон Ньютона к каждому стерженьку длины α, легко понять, что на него действует пара сил F, момент которой равен Fα sin φn. Пружинные шарниры стремятся выпрямить «проволочку». Полный закручивающий момент, действующий на n-й стерженек, можно представить в виде К (φn+1 - 2φn + φn-1). Равновесие устанавливается, если этот момент равен нулю. Переходя, как обычно, к пределу непрерывной проволочки, т. е. считая длину стерженька малой, получим уравнение маятника
Здесь, как всегда, функция φ(s) получена переходом φn → φ(nα) → φ(s), штрихи обозначают дифференцирование по длине дуги s.
Величина l0 имеет размерность длины, так как [К] = [F] · [L]. Как мы сейчас увидим, l0 — это размер ручного солитона. Предполагается, конечно, что при уменьшении α жесткость пружин возрастает так, чтобы величина Кα оставалась конечной.
Форма солитона описывается хорошо знакомым выражением
φ(s) = π - 4 arctg (е-s/l0).
На первый взгляд кажется, что нарисовать эту кривую не так-то просто. Действительно, здесь s — длина дуги, а φ(s) — угол наклона касательной к оси х, так что совсем неясно, как изобразить реальную кривую у(х), а не график зависимости φ от s. Оказывается, однако, что можно довольно просто построить кривую у(х) по точкам, пользуясь лишь циркулем и линейкой. Это построение изображено на рис. 6.9. Основано оно на том, что точка кривой Эйлера, имеющая на ней «координату» s, лежит на окружности в плоскости (х, у) с радиусом 2l0 и центром на оси х с координатой s. Математически это можно записать следующим образом:
[х(s) - s)]2 + [у(s)]2 = 4l02.
Если найдена, скажем, точка А2, лежащая на окружности с радиусом l0 и центром в точке — 2α, то для отыскания точки А3 построим окружность с центром в точке — 3α (α — малая длина) и найдем точку пересечения с ней малой окружности радиуса α с центром в точке А2, которая и оказывается точкой А3. Точно так же строятся остальные точки А4, А5, ... Чем меньше Δs = α, тем ближе будет построенная по точкам ломаная кривая к гладкой кривой Эйлера.
Если построение выполнено достаточно точно, угол самопересечения кривой будет равен примерно 110°. На рис. 6.9 мы взяли l0 = 1. От l0 зависит не форма, а лишь общий размер кривой, так как все они подобны. Солитон с размером l0 1 получается увеличением всех размеров нарисованного солитона в l0 раз (преобразование подобия, или «фотоувеличение»). Это замечательное свойство ручного солитона легко увидеть на опыте. Если же угол сильно отклоняется от 110° или заметно меняется при уменьшении размера петли, когда вы увеличиваете силу натяжения F, ваша проволочка не годится для наблюдения солитона, надо подыскать другую.
Если вы хорошо разобрались с выводом формул (4.9) и (4.10) для асимптотического движения маятника, то вам нетрудно будет понять и происхождение рис. 6.9. Представьте себе только, что φ — угол отклонения маятника, а s — время. Тогда рассуждения, которые были приведены в гл. 4, можно просто повторять, заменив t на s и ω0 на 1/l0.
Попробуем теперь разобраться, почему ручной солитон может двигаться. В опытах он обычно останавливается примерно на середине проволочки. Дело в том, что проволочка, во-первых, далеко не идеальная, а, во-вторых, слишком короткая. Неидеальность означает, что в ней всегда есть остаточные деформации, которые мешают солитону двигаться. Но даже если эти деформации очень малы, солитон отталкивается от краев и останавливается посредине. Само это доказывает, что он может двигаться, иначе бы он застревал где попало. На рис. 6.9 изображен кусок солитона, сдвинувшегося на расстояние α. Легко увидеть, что каждая точка проволоки при движении солитона (сама проволока закреплена неподвижно, бежит только «волна!») движется по нарисованным окружностям. В частности, точка с «координатой» s = 0 движется по окружности с центром в точке O. Это движение, однако, не равномерно, оно замедляется по мере приближения точки к оси Ох. Вы видите, что в движении ручного солитона проявляется замечательное сходство с волной на глубокой воде, в которой частички жидкости также движутся по окружностям!
Мы, однако, так и не ответили на вопрос, почему все-таки солитон будет двигаться, а не стоять на середине проволочки. Представьте себе, что проволочка бесконечна. Тогда все положения солитона на ней совершенно эквивалентны. Отсюда и следует, что он может медленно перемещаться, не меняя форму. В нашем же случае, когда проволочка имеет конечный размер, хорошо как раз то, что ручной солитон может находиться в покое и его можно хорошенько рассмотреть.
Можно также рассмотреть, что два солитона отталкиваются друг от друга, хотя процесс столкновения солитонов увидеть, скорее всего, невозможно. Зато на ручной модели солитона замечательно ясно видна его «неуничтожаемость», а также истинная природа сохранения «заряда» солитонов.
На бесконечной проволочке нельзя создать солитон (если проволочка остается в одной плоскости) и нельзя его уничтожить. Точно так же нельзя уничтожить, оставляя проволочку в одной плоскости, два и большее число солитонов (рис. 6.10, α: «протаскивание» проволочки под ней самой не требует вывода «бесконечно тонкой» проволочки из плоскости). Наоборот, пару из солитона и антисолитона (рис. 6.10, б) легко сделать и уничтожить, оставляя проволочку в одной плоскости. Легче это проверить, взяв кусок шпагата, который не сопротивляется изгибу. Если попробовать таким же способом «развязать» узелки, изображенные на рис. 6.10, α, то получится двойной узелок (рис. 6.10, в), который никакими ухищрениями нельзя «развязать», не выводя проволочку из плоскости. Подобные и более сложные узлы образуются, например, когда запутывается длинная леска на спиннинге. Те, кто сталкивался с такой неприятностью, знают, что для распутывания лески ее ни в коем случае нельзя тянуть, а надо терпеливо и аккуратно крутить узелки в трехмерном пространстве.
Все это дает право назвать ручной солитон топологическим, а определенный нами «солитонный заряд» естественно — топологическим зарядом. Как известно *), топология изучает свойства фигур, сохраняющихся при их непрерывных деформациях. С топологической точки зрения проволочка с узлами, изображенными на рис. 6.10, б, эквивалентна проволочке без узлов, а проволочка с узлами, показанными на рис. 6.10, α, не эквивалентна. Заряд солитонов, причина сохранения которого коренится в топологических свойствах солитонов, позволяет дать количественную характеристику этому соотношению эквивалентности. То же самое можно сказать и о других солитонах, описываемых уравнением Френкеля — Конторовой. Внешне они выглядят по-разному, но их математическое устройство одинаково. Одинакова, следовательно, и их топологическая сущность, нужно только уметь их сравнивать. Например, установив соответствие между углом наклона касательной к ручному солитону и углом отклонения маятников при их солитонном движении (длине дуги s соответствует в этом случае расстояние по оси, на которой подвешены маятники), мы можем полностью отождествить оба солитона, по крайней мере, в состоянии покоя.
*) См., например, книгу: Болтянский В. Г., Ефремович В. А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1982. — Библиотечка «Квант», вып. 21.
Магнитные солитоны
Солитоны, очень похожие на дислокации, можно найти в очень многих физических системах. О некоторых из них будет коротко рассказано в самом конце книги, а здесь стоит сказать несколько слов о магнитных солитонах. Они изучались сначала независимо от дислокаций, и их родство с дислокациями было замечено очень не скоро.
Речь идет о намагничивании ферромагнетиков, например, железа. Они намагничиваются с большой легкостью из-за того, что в них могут образовываться солитоны. Понять это можно на очень простой модели. Представим себе, что на рис. 6.6 вместо маятников вращаются магнитики. Они находятся не в поле силы тяжести, а в некотором «кристаллическом» поле, которое устроено так, что энергия отдельно взятого магнитика минимальна, когда он находится в вертикальном положении (т. е. φ = 0 или φ = π). Это поле аналогично полю окружающих атомов в случае дислокаций. Простейшая модель получится, если момент силы кристаллического поля, стремящегося выстроить магнитики, пропорциональна sin 2φ. Направления вверх и вниз называются направлениями легчайшего намагничивания. Обычно они связаны с осями симметрии кристаллической решетки.
Если соседние магнитики никак не связаны, то наш кристалл намагничивается только во внешнем магнитном поле. Для того чтобы он сохранил намагниченность при выключении поля, нужны еще силы между соседними магнитиками, подобные тем, которые создаются в механических моделях пружинками или резинками. Действие этих сил могло бы обеспечить удержание магнитиков в одном направлении, скажем, в верхнем. Природу таких сил удалось понять только после создания квантовой механики. Она была выяснена в 1928 г. Я. И. Френкелем и одним из творцов современной квантовой теории Вернером Гейзенбергом. Для понимания магнитного солитона разбираться в происхождении этих сил не нужно, достаточно знать, что в ферромагнетике они действуют наподобие пружин или резинок.
В результате магнитики проявляют сильно выраженный коллективизм. Скажем, если один из них находится между двумя другими, смотрящими вверх, то он тоже будет стремиться смотреть вверх. Коллективу магнитиков энергетически выгодно смотреть либо вверх, либо вниз. Однако мы забыли еще об одном обстоятельстве. Такой коллектив будет создавать свое собственное магнитное поле, и, помимо энергии взаимодействия магнитиков друг с другом и с кристаллическим полем, нужно учесть еще энергию этого поля. Полная энергия, т. е. энергия нашего коллектива вместе с энергией его магнитного поля, будет минимальной, если коллектив разобьется на группы. В одних члены группы смотрят вниз, а в других — вверх. Эти группы называются доменами (от фр. domaine — область).
Границы между доменами, в которых индивидуальные магнитики постепенно меняют направление ориентации с верхнего на нижнее, называются доменными стенками. Они-то и являются магнитными солитонами, совершенно подобными дислокациям и механическим солитонам. Как и дислокации, доменные стенки могут свободно перемещаться по кристаллу, если, конечно, им не мешают несовершенства кристаллической решетки или другие доменные стенки. Ненамагниченный кристалл состоит из большого числа доменов, направления намагниченности которых противоположны. Если поместить кристалл в магнитное поле, то стенки приходят в движение. В результате размеры доменов, магнитики которых направлены вдоль поля, увеличатся, а размеры остальных соответственно уменьшатся. При выключении поля стенки двигаются назад, но если их движению что-то мешает, то возникает «остаточная намагниченность». Это настолько похоже на описанный выше механизм пластической деформации, что термины «мягкое» и «жесткое» (магнитно) железо должны быть понятны сами собой.
Чтобы оценить число и размеры доменов в ненамагниченном, мягком железе, надо знать величины магнитной энергии и энергии доменной стенки. Для оценок достаточно знать, что объемная плотность магнитной энергии полностью намагниченного однородного кристалла равна примерно 0,1 Дж/см3, а поверхностная плотность энергии доменной стенки — примерно 10-7 Дж/см2. Полная энергия будет минимальной, когда магнитная энергия каждого домена и энергия его стенок будут примерно равными. Если взять кубик объемом примерно 1 см3 , то легко видеть, что это осуществится, когда он разбит примерно на тысячу плоских доменов. Тогда энергия всех стенок и энергия магнитного поля равны примерно 10-4 Дж. Один домен распространяется на несколько десятков тысяч межатомных расстояний, а ширина доменной стенки в несколько сот раз больше размера атомов (т. е. порядка 10-5 см) *). Таким образом, расстояния между стенками достаточно велики и толщина их также заметно больше размеров дислокаций. Поэтому наблюдать доменные стенки несколько легче.
*) Из этих оценок следует, что при описании магнитных солитонов можно пренебречь атомной структурой, т. е. перейти к непрерывной модели. Другое интересное следствие состоит в том, что достаточно малые частицы, размером меньше 10-4 см, не могут содержать в себе стенок и составляют один домен.
Идея наблюдения очень проста. Тонко измельченный порошок магнитного материала (частицы размера 10-4—10-5 см) насыпают на гладко отполированную поверхность кристалла. Если эта поверхность проходит через ось легчайшего намагничения, то магнитное поле будет «вылезать» на поверхность только вблизи доменных стенок и порошок будет собираться в этих местах (рис. 6.11).
(Таким же образом выглядят домены в тонкой магнитной пленке, например в магнитофонной ленте.) Такие опыты были выполнены в 1931 г. Ф. Биттером.
Наблюдения эти не были случайными. Идея о существовании доменов была высказана еще в 1907 г. французским физиком Пьером Вейссом (1865—1940). Причины дробления на домены были впервые выяснены Я. И. Френкелем и Я. Г. Дорфманом в 1930 г. Они же оценили размеры доменов. После наблюдения доменов американский физик Феликс Блох высказал мысль, что стенки должны быть довольно толстыми, и оценил их толщину. Очень общая и точная теория, позволяющая описывать всевозможные домены и стенки, была создана в 1935 г. Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшицем.
Уравнения Ландау и Лифшица до сих пор используются для получения многочисленных новых солитонов. Ландау и Лифшиц не только нашли структуру описанной нами доменной стенки, но и описали движение стенки под действием слабого внешнего магнитного поля, т. е., по существу, медленное движение солитонов.
Солитонная природа стенок была, однако, выяснена гораздо позже, лет через пятнадцать-двадцать. Сначала никто просто не заметил, что движение стенки похоже на движение частицы. Вероятно, это было связано с тем, что уравнения Ландау — Лифшица, в общем, намного сложнее уравнения Френкеля — Конторовой. Не удивительно, что доменные стенки долго жили своей жизнью, независимой от жизни других солитонов.
Любопытно, что доменные стенки наблюдались еще сто лет назад, но не в реальных магнетиках, а в простой модели, состоящей из взаимодействующих маленьких магнитиков.
Идею о том, что магнетизм связан с молекулярными магнитиками, впервые высказал Френель в письме к Амперу, который и рассчитал поведение газа из таких магнитиков. В. Вебер первым догадался, что нужно привязать эти магнитики, сделав их маятниками. Идею Вебера подхватил и к 1890 г. весьма последовательно разработал в стройную теорию шотландский физик Джеймс Юинг (1855—1935).
Для нас наиболее интересно, что он делал опыты с моделью, состоящей из решетки большого числа очень маленьких стрелок компасов, взаимодействующих между собой. На этой плоской модели магнитного кристалла, подобной пузырьковой модели Брэгга и Ная, он наблюдал образование доменов и даже перемещение их границ.
Эксперименты и теория Юинга оказали большое влияние на Вейсса, но потом были забыты. Теория Юинга была вытеснена квантовой теорией и оставлена вполне заслуженно. Модель же Юинга интересна и сегодня.
Наша одномерная модель магнитного солитона — это просто разновидность, частный случай модели Юинга. Будем надеяться, что ее рано или поздно извлекут из забвения.
На этом придется покончить с солитонами Френкеля и доменными стенками. Это семейство столь многочисленно и так быстро растет, что трудно даже просто перечислить входящие в него солитоны. Доменные стенки, видимо, встречаются на всех уровнях организации Вселенной. Во всяком случае физики-теоретики изучают сегодня «стенки» от самого малого масштаба в теории элементарных частиц до самого огромного — в теории расширяющейся Вселенной.