u
(
t
)=
x
2
(
t
) и, соответственно, будет иметь вид:
(63)
при a=0 функция будет иметь вид:
(64)
Математическое ожидание этой квадратичной функции mu вычислим как первый момент случайной величины:
(65)
и после подстановки пределов получаем:
(66)
Тогда математическое ожидание огибающей случайного процесса, то есть функции E(t), будет определяться:
(67)
В данном случае математическое ожидание огибающей будет и ее медианным значением.
Дисперсию квадратичной функции Du вычислим как второй момент случайной величины:
(68)
и после подстановки пределов получаем:
(69)
Тогда среднеквадратическое отклонение квадратичной функции будет равно:
(70)
Дисперсия огибающей случайного процесса, то есть функции E(t), будет определяться:
(71)
Среднеквадратическое отклонение огибающей случайного процесса от медианного значения будет вычисляться по формуле:
(72)
Обратим внимание на то, что для случайной величины, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием mx=0, параметры огибающей вычисляются по одной и той же формуле:
Это означает, что в шуме, моделируемом посредством основного и сопряженного процесса, формула (57), соотношение всегда будет равно единице. Поэтому этим способом также невозможно смоделировать случайный процесс с требуемыми параметрами огибающей.
Третий способ.
Рассмотрим еще один способ формирования помехи посредством формирования двух процессов: процесса, соответствующего среднеквадратическому отклонению от медианного значения огибающей, и процесса, соответствующего медианному значению огибающей.
Для этого сформируем случайные величины x(t) огибающей случайного процесса X(t), распределенные по нормальному закону с параметрами: mx=0 и σx. Сформируем случайные величины y(t) случайного процесса Y(t), распределенного по равномерному закону в котором случайная величина может принимать только два значения: y(t)=± my. Вычислим случайные величины z(t)=x(t)+y(t), генерируемого процесса Z(t). Для формирования случайных величин x(t) в MATLAB можно сгенерировать случайную величину x1=rand, распределенную по равномерному закону в диапазоне [0,1], а затем по интегральной функции нормального закона распределения получить случайные величины x(t).
Для формирования случайных величин y(t) в MATLAB можно сгенерировать случайную величину y1=randi([0,1],1), распределенную по равномерному закону и имеющую значения только 0 и 1, а затем сформировать случайную величину y(t) по следующему закону:
y= my при y1=1;
y= -my при y1=0,
или наоборот, это значения не имеет.
Рассмотрим формируемую таким способом помеху. Плотность распределения формируемой случайной величины x(t), распределенной по нормальному закону, запишется в виде [4]:
(73)
Случайная величина y(t) распределена по равномерному закону и имеет всего два значения +my и –my, вероятность появления которых Р=1/2.
Суммарная случайная величина z(t)=x(t)+y(t)=x(t)±my, определена на двух интервалах: z≥0 и z≤0. При z≥0 случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами σx и плюс my, а при z≤0 с параметрами σx и минус my. С учетом вероятности появления положительных и отрицательных значений случайной величины ее плотность распределения можно записать в виде:
(74)
(75)
Определим медианное значение огибающей этого случайного процесса в соответствии с (51).
Подставив медианное значение, вычисленное в (53) для нормального закона распределения получим:
(76)
Определим дисперсию огибающей этого случайного процесса в соответствии с (54).
Подставив значение дисперсии огибающей, вычисленное в (55) для нормального закона распределения получим:
Соответственно
(77)
Из (76) и (77) найдем значения параметров σx и my, необходимых для формирования случайного процесса с огибающей, соответствующей рассчитанной.
(78)
(79)
Задача решена. С помощью данного способа имеется возможность формировать случайный процесс с параметрами огибающей, соответствующими требуемым.
Формирование случайной величины с огибающей, распределенной по логарифмически нормальному закону.
Если случайная величина x(t) распределена по логарифмически нормальному закону, то ее плотность вероятности запишется в виде [4]:
(80)
Тогда случайная величина
(81)
будет распределена по нормальному закону с плотностью распределения [4]
(82)
Как видно из (70) и (71), при переходе от одного закона распределения к другому параметры mx и σx не изменяются, поэтому и параметры случайной величины с огибающей, распределенной по нормальному закону, mE и σE не будут изменяться при переходе к огибающей, распределенной по логарифмически нормальному закону. Из (71) находим формулу для перехода от случайной величины, распределенной по нормальному закону, к случайной величине, распределенной по логарифмически нормальному закону
(83)
Способ формирования случайной величины z(t) с огибающей, распределенной по нормальному закону бы определен выше в третьем способе. Остается по формуле, аналогичной (83), от случайной величины z(t) перейти к случайной величине z1(t) с огибающей, распределенной по логарифмически нормальному закону
(84)
Таким образом, способ формирования случайной величины с огибающей, распределенной по логарифмически нормальному закону, также определен.
Формирование случайной величины с огибающей, распределенной по полунормальному закону.
Под полунормальным законом распределения (Half-normal distribution) понимают нормальный закон распределения, заданный на половине интервала, но для которого площадь под кривой спектральной плотности равна площади под кривой спектральной плоскости нормального закона распределения, заданного на всем интервале от -∞ до +∞. В литературе на русском языке упоминание об этом законе распределения встречается крайне редко, в основном под названием «усеченный слева нормальный закон распределения».
Плотность распределения и интегральная функция для полунормального закона распределения записывается в виде [5]:
(85)
(86)
Из формулы (85) видно, что это центрированный (mx=0) нормальный закон распределения с удвоенной плотностью, заданный на половине интервала.
Определяя по формулам (51) и (54) медианное значение огибающей этого закона распределения и стандартное отклонение от медианного значения получаем:
(87)
(88)
Сравнивая с аналогичными параметрами, полученными для нормального закона в (53) и (56), видим, что для полунормального закона распределения эти параметры в два раза больше, чем для нормального закона.
Формировать случайную величину с огибающей, распределенной по полунормальному закону будем аналогично рассмотренному выше третьему способу формирования случайной величины, но с учетом значений, полученных в формулах (87) и (88). Медианное значение огибающей и стандартное отклонение от огибающей должны бать в 2 раза больше, чем для огибающей, распределенной по нормальному закону, полученные в (76) и (77), в результате чего будем иметь:
(89)
(90)
Откуда получаем параметры для формирования случайной величины с огибающей, распределенной по полунормальному закону:
Заключение
Для моделирования радиоканала, сформированные таким образом с помощью ПЭВМ сигнал и помехи следует подать на вход радиоприемного устройства или его имитатора, при этом отношение с/ш на входе радиоприемного устройства для каждого вида помехи должно соответствовать вычисленному значению.
Программа расчета параметров для моделирования КВ радиоканала KVkanal приведена в приложении А, инструкция по работе с программой KVkanal приведена в приложении Б.
Литература
Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Издательство «Советское радио», М-1969.
Надененко С.И. Антенны Государственное издательство литературы по вопросам связи и радио, М-1959.
Рекомендация МСЭ-R Р.372-9 Радиошум, 2007.
Вентцель Е.С. Теория вероятностей. Издательство «Наука», М-1969.
Википедия (на английском языке), Half-normal distribution.
Приложение АПрограмма
KVkanal
(Расчет параметров для моделирования КВ радиоканала)
Исходный код программы
clc; clear; close all;
% расчет отношения сигнал/шум на входе приемника в КВ диапазоне
% ввод исходных данных
D=2600; % км – дальность связи
f=11.75; % МГц – рабочая частота
Ec=1.28; % мкВ/м – напряженность поля сигнала в точке приема
a=7.1; % град. – угол прихода сигнала
A=2; % применяемая антенна: A=1 – ближе к полуволновому вибратору; A=2 – ближе к волновому вибратору.
Tp=300; % град. К – абсолютная температура входных цепей приемника
Ta=40; % град. К – эффективная температура антенны
df=3000; % Гц – полоса пропускания приемника (тракта ПЧ)
dU=1; % мкВ – чувствительность приемника
Fama=45; % дБ – медианное значение коэффициента атмосферного шума
dFama=6; % дБ – стандартное отклонение Fama
A0=3; % дБ – превышение напряжения огибающей над медианным значением