В 1816 году Гаусс оценил следующим образом все эти попытки: «Немного в области математики вопросов, о которых так много писалось бы, как о пробеле в началах геометрии, и все-таки мы должны признаться честно и откровенно, что в сущности мы не ушли за две тысячи лет дальше Евклида. Такое откровенное и прямое сознание более отвечает достоинству науки, чем тщетные желания скрыть пробел…»
Из всего этого мы видим, что в то время, когда Лобачевский вступал на математическое поприще, все было подготовлено к решению вопроса о теории параллельных в том смысле, в каком это было сделано Лобачевским. В 1825 году вышла теория параллельных немецкого математика Тауринуса, в которой упоминается о возможности такой геометрии, в которой постулат Евклида не имеет места. Первое сочинение Лобачевского, относящееся к этому предмету, представлено было физико-математическому факультету в Казани в 1826 году; оно вышло в свет в 1829 году, а в 1832 году появилось собрание трудов венгерских ученых, отца и сына Болиай, по неевклидовой геометрии. Нам известно, что Болиай-отец был другом Гаусса; из этого можно заключить, что ему более чем Лобачевскому были известны мысли Гаусса; между тем, право гражданства получила в Западной Европе геометрия Лобачевского. Первый труд Лобачевского, появившийся на немецком языке, заслужил, как мы сказали, одобрение Гаусса. По поводу его Гаусс писал к Шумахеру: «Вы знаете, что уже пятьдесят четыре года, как я разделяю те же взгляды. Я, собственно, не нашел в сочинении Лобачевского ни одного нового для меня факта; но изложение весьма различно от того, какое я предполагал дать этому предмету. Автор толкует о предмете как знаток, в истинно-геометрическом духе. Я считал себя обязанным обратить ваше внимание на эту книгу „Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien“,[6], чтение которой непременно принесет вам большое удовольствие». Письмо это написано в Геттингене и относится к 1846 году. Из него, однако, нельзя заключить, чтобы Гаусс не знал и раньше от Бартельса о трудах Лобачевского. Мы скажем более: невозможно допустить, чтобы Бартельс умолчал об успехах своего талантливого ученика.
Из сказанного нами очевидно, что краеугольный камень геометрии Лобачевского – это отрицание постулата Евклида, без которого геометрия около двух тысяч лет казалась немыслимой. Нам известно, как крепко всегда держались люди за наследие веков и сколько отваги требуется от человека, разрушающего вековые заблуждения. Из очерка жизни Лобачевского мы видели, как мало ценили и понимали его современники как ученого. И теперь, через сто лет после его рождения, в обыкновенных образованных людях держится глубокое предубеждение против геометрии Лобачевского, если только им известно о ее существовании. Изложить эту геометрию в популярной форме невозможно, как невозможно объяснить человеку, лишенному слуха, прелести соловьиных трелей. Для того чтобы понять значение этой отвлеченной науки, необходимо уметь отвлеченно мыслить, что дается только долгими занятиями философией и математикой. Имея это в виду, мы о созданной Лобачевским геометрии скажем только то, в чем она заключается, какое ей приписывают значение современные ученые, как и кем она разрабатывалась после Лобачевского и какое эти позднейшие труды имели отношение к трудам самого Лобачевского. Во всем этом читателю, не посвященному в тайны высшей математики, придется верить на слово авторитетам.
В юбилейных речах и брошюрах, посвященных памяти Лобачевского, русские математики употребили все усилия, чтобы разъяснить общественности характер и значение научных заслуг Лобачевского, и, так как они касались главным образом воображаемой геометрии, нам в данном случае предстоит воспользоваться этими усилиями. Но, проследив внимательно устные и печатные отзывы образованной публики, мы подметили общую неудовлетворенность и довольно определенно высказанные следующие требования: для человека, знающего только геометрию Евклида, самым существенным является вопрос, какое отношение имеет геометрия Лобачевского к этой геометрии. И об этом предмете также говорится в упомянутых речах, но все же здесь, как видно, публика требует прямые ответы на следующие вопросы: опровергает ли геометрия Лобачевского геометрию Евклида, заменяет ли ее, делая излишней, или представляет только обобщение последней? Какое она имеет отношение к четвертому измерению, которое сослужило такую службу спиритам? Следует ли Лобачевского считать, несмотря на все его достоинства, мечтателем в науке, и почему Лобачевского называют Коперником геометрии?
Мы уже говорили, что Лобачевский сначала имел в виду только улучшить изложение евклидовой геометрии, сообщить ее началам большую строгость и нисколько не думал подрывать этих начал. Попытки такого сильного ума, каким обладал Лежандр, убедили наконец истинных математиков в невозможности доказать постулат Евклида логически, то есть вывести его из свойств плоскости и прямой линии. Тогда Лобачевскому, имевшему вообще склонность к философии, пришла мысль проверить, подтверждается ли постулат Евклида опытом в пределах наибольших доступных нам расстояний.
Заметим, что в опыте он искал проверки, а не доказательства постулата.
Наибольшие доступные человеку расстояния – это те, которые дают ему астрономические наблюдения. Лобачевский убедился, что для этих расстояний результаты наблюдений совместимы с постулатом Евклида. Из этого следует, что и отсутствие логического доказательства этого постулата нисколько не подрывает истинности геометрии для доступных нам расстояний, а вместе с тем сохраняют свою истинность законы механики и физики, на ней основанные.
Но человеку свойственно задаваться мыслью: «Что там, за пределами доступных нам расстояний? Для тех, которые мы называем бесконечными, имеют ли абсолютное значение свойства нашего пространства?» Вот вопрос, который предложил себе Лобачевский.
Лобачевский построил свою геометрию логически, приняв известные нам аксиомы, относящиеся к прямой и к плоскости, и допустив как гипотезу, что сумма углов треугольника менее двух прямых. Но и при таком допущении, которое может иметь место только для пространств, размерами своими значительно превосходящих нашу солнечную систему, геометрия Лобачевского для доступных нам измерений дает те же результаты, что и геометрия Евклида. Совершенно правильно или, вернее, основательно один геометр назвал геометрию Лобачевского звездной геометрией. О бесконечных же расстояниях можно составить себе понятие, если вспомнить, что существуют звезды, от которых свет доходит до Земли тысячи лет. Итак, геометрия Лобачевского включает в себя геометрию Евклида не как частный, а как особый случай. В этом смысле первую можно назвать обобщением геометрии нам известной. Теперь возникает вопрос, принадлежит ли Лобачевскому изобретение четвертого измерения? Нисколько. Геометрия четырех и многих измерений создана была немецким математиком, учеником Гаусса, Риманном. Изучение свойств пространств в общем виде составляет теперь неевклидову геометрию, или геометрию Лобачевского. Пространство Лобачевского есть пространство трех измерений, отличающееся от нашего тем, что в нем не имеет места постулат Евклида. Свойства этого пространства в настоящее время уясняются при допущении четвертого измерения. Но этот шаг принадлежит уже последователям Лобачевского. Поэтому к неевклидовой геометрии примыкает и составляет как бы продолжение ее геометрия многих измерений, которая, придавая большую общность и отвлеченность многим вопросам геометрии, в то же время является незаменимым пособием при решении многих вопросов анализа.
Риманн в трактате «О гипотезах, лежащих в основе геометрии» высказал мысль, что геометрия Евклида не составляет необходимого следствия наших понятий о пространстве вообще, но есть результат опыта, гипотез, которые находят себе подтверждение в пределах наших наблюдений. Риманн дал общие формулы, воспользовавшись которыми и применяя которые к исследованию так называемой псевдосферической поверхности (бокального вида), итальянский математик Бельтрами нашел, что все свойства линий и фигур геометрии Лобачевского принадлежат линиям и фигурам на этой поверхности. Вот какое отношение имела геометрия многих измерений к геометрии Лобачевского.
Труды Бельтрами привели к следующим важным заключениям: 1) геометрия двух измерений Лобачевского не есть воображаемая геометрия, а имеет объективное существование и вполне реальный характер; 2) то, что в геометрии Лобачевского соответствует нашей плоскости, есть псевдосферическая (бокальная) поверхность, а то, что он называет прямой линией, – геодезическая линия (кратчайшее расстояние между двумя точками) этой поверхности.
Существование геометрии двух измерений, отличной от нашей планиметрии, легко себе представить. Вообразим себе шаровую поверхность, эллиптическую или какую-нибудь вогнутую, и представим себе на ней линии и фигуры. Выпуклые и вогнутые поверхности называются кривыми поверхностями.
Наша плоскость, прямая поверхность, не имеет кривизны, и в математике принято говорить: кривизна плоскости равна нулю. Аналогично этому наше пространство не имеет кривизны. Кривые же поверхности имеют или положительную, или отрицательную кривизну. Бокальная поверхность имеет отрицательную кривизну, а эллиптическая – положительную. Аналогично этому пространству Лобачевского приписывают отрицательную кривизну.
Пространство Лобачевского, как отличающееся существенно от нашего, нельзя себе представить, оно только мыслимо. То же относится и к пространствам четырех и многих измерений.
К исследованиям Риманна тесно примыкают труды Гельмгольца, который справедливо говорит: «В то время, как Риманн вступил в эту новую область знания, отправляясь от самых общих и основных вопросов, я сам пришел к подобным же выводам».
Риманн исходил в своих исследованиях от алгебраического общего выражения расстояния между двумя бесконечно близкими точками и отсюда вывел различные свойства пространств; Гельмгольц же, исходя от факта возможности движения фигур и тел в нашем пространстве, вывел в конце концов формулу Риманна. Обладая умом в высшей степени ясным, Гельмгольц как бы осветил нам всю глубину мыслей Риманна.