Фазовые переходы второго рода, определяемые критическими показателями температуры, давления, и напряженности поля, характеризуются такой особенностью: закон изменения этих величин при подходе к критической точке один и тот же, вне зависимости от того, какой параметр рассматривается, а все попытки расчетов давали только расходящиеся (бесконечные, лишенные физического смысла) значения.
Вильсон подошел к этой проблеме с неожиданной стороны. Он рассчитал эти величины не в обычном трехмерном пространстве или в виде модели в двухмерном или одномерном пространстве, а в пространстве нецелой размерности. Математически можно, например, рассчитать интегралы в пространстве размерности 2,745. Что это такое? — Не знаю.
Но зато, я знаю иное: Вильсон провел расчеты термодинамических величин в пространстве размерности (3 минус малая величина), а по окончании всех расчетов устремил эту самую малую величину к нулю — осталось, как и должно быть, пространство трех измерений и… правильные значения всех величин[10]!
Такие геометрии нецелых размерностей (они называются фрактальными) еще раньше рассматривались математиками. Сейчас они находят интересные применения в теории хаоса: в физике, экономике, социологии и т. д.
А всегда ли можно доверять математике и математикам? В 1931 г. знаменитый логик и математик Курт Гедель (1906–1978) показал, что всякая логическая система аксиом в результате развития теории обязательно приводит к таким теоремам, которые противоречат исходному набору аксиом, т. е. приводит к внутренним противоречиям. Заранее установить, когда это произойдет (и подложить мягкую подушку), по-видимому невозможно — остается проверять на опыте… Иными словами, Гедель показал, что одна лишь логика не может дать ответ на все вопросы — необходимо вмешательство человеческой интуиции, и в этом смысле математика остается искусством.
Итак, проблема соответствия между физикой и математикой существует. Можно и нужно ли ее решать? — Неизвестно.
Глава 3Теория относительности: парадигма Эйнштейна
Прости меня, Ньютон! Ты нашел тот единственный путь, который в свое время был возможен для человека наивысшего полета мысли и наибольшей творческой силы.
А. Эйнштейн
1905 г. вошел в историю как год Эйнштейна: в этом году опубликованы три и закончена еще одна работа, все гениальны — они положили начало или завершили четыре направления в физике. О самой революционной из них — о теории квантов — мы уже говорили и еще к ней вернемся, писали и о теории броуновского движения, доказавшей существование атомов, и о теории удельной теплоемкости, с которой началась квантовая теория конденсированных сред. Во всех этих теориях Эйнштейн выступал, фактически, в одиночку, без явных и близких по уровню соперников, а вот в разработке принципа относительности он вступил в заочное соревнование с самыми блестящими умами того времени — и выиграл. По этой причине, а также для того, чтобы лучше понять кажущуюся парадоксальность выводов, начнем с истории проблемы относительности.
Согласно Ньютону, для описания мира вещей достаточно указать (измерить) такие независимые величины: пространственные координаты и скорости (в какой-то один момент времени) всех материальных точек, их массы и действующие силы. Время и пространство рассматриваются при этом как «абсолютные»: они не зависят от объектов, их заполняющих, и от событий, в них происходящих. Все процессы сводятся к перемещениям материальных точек в пространстве и во времени, а сами время и пространство строго разграничены между собой — законы Ньютона устанавливают только взаимосвязи между массами и силами.
Такая «механика материальных точек» была математически обоснована Эйлером, Лагранжем, Лапласом и Гамильтоном. Она блестяще себя оправдывала и оказалась чрезвычайно плодотворной — прежде всего в астрономии, в расчетах движения тел в Солнечной системе на основе сил дальнодействия, т. е. закона Всемирного тяготения. Позднее она так же успешно была распространена на движение жидкостей и газов, на упругие колебания тел, на явления акустики.
Но в оптике, в частности, и в электродинамике в общем, отчетливо выявилась ограниченность этой «механики материальных точек».
Пока свет представлялся в виде продольных волн, можно было вообразить себе эфир как разреженный газ. Если же световые волны являются поперечными, тогда эфир должен рассматриваться как твердое упругое тело, которое при своей малой плотности должно быть тверже стали. Но при этом световой эфир должен еще быть полностью проницаемым — ведь небесные тела движутся сквозь него без помех, это установлено всеми измерениями их движений. Помимо того, эфир не должен обладать гравитационной массой, т. е. не должен притягиваться к другим телам.
Все эти свойства никак нельзя было согласовать между собой, уж очень фантастично они выглядели. Гипотеза эфира (точнее, эфиров — существовало много различных его теорий) оказалась недостоверной в самой своей основе.
Но чем ее заменить? Согласно Фарадею и Максвеллу, существует электромагнитное поле, даже электромагнитные волны, и они распространяются в вакууме, со скоростью света. Существует ли какая-нибудь среда в этом самом пустом пространстве, колебаниями которой являются эти волны? Если такая среда существует, то именно она является главной, так сказать, системой отсчета, и все движения нужно рассматривать относительно именно этой среды, относительно эфира.
Итак, возникает концептуальная проблема, проблема эфира — она даже не связана ни с какими экспериментами, а является проблемой обоснования теории Максвелла.
При этом есть эксперимент Майкельсона — Морли: скорость света не зависит почему-то от скорости источника — она не увеличивается, когда источник движется навстречу наблюдателю, и не уменьшается, когда источник удаляется, — но все это противоречит законам Ньютона!
Теперь нужно как-то объяснить результаты этого эксперимента — даже если не вдаваться глубоко в проблемы эфира.
Таким образом, перед физикой стоят две проблемы: общая проблема эфира и результаты опыта Майкельсона-Морли — и пока не ясно, связаны они друг с другом или нет.
Со времен Галилея известно, что если человек находится в каюте равномерно движущегося корабля и не может выглянуть наружу, то он не может определить, движется ли корабль по инерции или стоит на месте: мячик на горизонтальном столе остается неподвижным, а силы действуют так же, как на берегу. Математически это означает, что уравнения Ньютона не меняются при равномерном движении.
Ясно, что тем же свойством должны были бы обладать и уравнения Максвелла — но при таких преобразованиях они меняются (связано это с тем, что сила, по Ньютону, определяется через ускорение, а в электродинамике, в магнитном поле, согласно Лорентцу, она зависит и от скорости). Появляются две возможности исправить этот явный их недостаток: либо изменить сами уравнения, либо принять какие-то особые правила перехода от неподвижного наблюдателя к движущемуся.
Вольдемар Фойгт (1850–1919), известный своими работами по электродинамике, физике кристаллов и др., принимает вторую точку зрения — в уравнениях Максвелла он уверен, и в 1887 г. выводит первые такие правила преобразования длины и времени, но считает их формальными, не дает никакой физической трактовки и никак не прилагает их к объяснению опытов Майкельсона — Морли. Работа Фойгта долго оставалась вне поля зрения специалистов, а он сам никогда не претендовал на приоритет.
В 1889 г. появляется краткая, в несколько строк и безо всяких формул, заметка Джорджа Фрэнсиса Фитцджеральда (1851–1901): опыт Майкельсона-Морли можно объяснить, если принять, что все тела сокращаются в направлении своего движения. Но идею эту он дальше не разрабатывает, а своему другу Оливеру Хевисайду пишет: «Я совершенно не боюсь допустить ошибку и поэтому предлагаю самые сырые идеи в надежде, что они заставят задуматься других и тем будут способствовать движению вперед».
В 1894 г. X. А. Лорентц соглашается с идеей Фитцджеральда: «Я думал об этих опытах долго и безуспешно и наконец представил только одну возможность для выхода из создавшегося положения». Он продолжает развивать идею таких преобразований, которые приводили бы к сокращению размеров тел в направлении их движения. Окончательный результат он получил к 1899 г. (Эти формулы названы преобразованиями Лорентца, а сокращение длины называют сокращением Фитцджеральда-Лорентца.)
Великий математик Анри Пуанкаре с годами все больше занимался принципиальными проблемами физики. В 1898 г. он — с позиций скорее общефилософских, чем физических — критикует понятие одновременности: как два наблюдателя (возможно, движущихся) могут установить, что часы у них идут одинаково равномерно? Нет, как он говорит, такой реальной процедуры. В статьях 1900 и 1904 гг. Пуанкаре обрушивается на понятие эфира: «А наш эфир — существует ли он в действительности?». Но свое выступление 1904 г. он заканчивает пессимистически: нужны какие-то дополнительные гипотезы, вполне возможно, что старые принципы еще докажут свою справедливость.
Пуанкаре оставалось сделать лишь один шаг для построения теории относительности, практически все, что нужно, плюс колоссальный математический опыт, интуиция и энциклопедические знания — все это было, но решающий шаг так и не был сделан. Его предстояло совершить 26-летнему служащему Патентного бюро в городе Берне.
Пережив период глубокой юношеской религиозности, Альберт Эйнштейн (1879–1955) испытал в 12 лет потрясение, когда ему в руки попала книжка по евклидовой геометрии: утверждения, казалось бы, совсем не очевидные, «могли быть доказаны с уверенностью, исключающей всякие сомнения. Эта ясность и уверенность произвели на меня неописуемое впечатление».