Применение эпидемических моделей в области экономических нарративов
Эпидемиология как раздел медицины получила наибольшее развитие в ХХ веке. Важнейшим достижением этой научной дисциплины стало создание теории математического моделирования эпидемий, пролившей свет на вопрос о влиянии эпидемий на ход экономических событий. Эту теорию мы можем применить также при создании моделей распространения экономических нарративов.
Теоретическое обоснование механизма распространения заболеваний
Теория математического моделирования эпидемий болезней была впервые предложена в 1927 году шотландскими биохимиком Уильямом Огилви Кермаком и врачом Андерсеном Греем Маккендриком. Она ознаменовала собой революцию в сфере медицины, создав реальную базу для понимания динамики распространения инфекционных заболеваний.
В соответствии с разработанной ими простейшей моделью, популяция делилась на три группы: восприимчивые, инфицированные и выздоровевшие. Поэтому данная модель получила название «модель SIR» или «камерная модель». S в данном случае – это процент представителей популяции, которые восприимчивы к инфекции, ранее с конкретной болезнью не сталкивались и потенциально могут ею заразиться; I – процент заразившихся представителей популяции, способных заразить других и активно распространяющих инфекцию; R – процент выздоровевших представителей популяции, которые уже переболели и приобрели иммунитет и больше не могут заразиться или распространять болезнь. Случаи болезни, завершившиеся смертью, исходная модель не учитывала. В сумме перечисленные выше процентные показатели составляли 100 % (то есть 100 % = S + I + R), а численность популяции считалась постоянной величиной.
Согласно теории математического моделирования эпидемий Кермака – Маккендрика в масштабах тщательно перемешанной популяции, численность которой считается постоянной, скорость прироста числа заражений в ходе эпидемии болезни равна разности произведения показателя интенсивности заражения с, доли восприимчивого населения S и инфицированного I и произведения показателя интенсивности выздоровления r и доли инфицированного населения I. Каждый раз, когда восприимчивый человек встречает инфицированного, может произойти заражение. Когда численность популяции велика, заражения практически неизбежны. Частота таких встреч на определенном временном отрезке зависит от количества в популяции пар «восприимчивый-инфицированный», которое можно рассчитать, умножив показатели S и I (1). Состоящая из трех уравнений модель SIR Кермака – Маккендрика выглядит следующим образом:
dS/dt = – cSI
dI/dt = cSI – rI
dR/dt = rI
Алгебраического решения эта модель не имеет, возможны лишь приближенные расчеты (2).
Подобные уравнения также встречаются в химии, где они называются кинетическими уравнениями или последовательными химическими реакциями (3).
В модели, которая применялась в этой книге, коэффициент заразности равен произведению постоянного показателя интенсивности заражений c и меняющейся с течением времени доли восприимчивых людей S. Показатель интенсивности выздоровления r неизменен. Если мы разделим обе части второго уравнения на показатель доли зараженных людей I, мы увидим, что второе уравнение представляет собой не что иное, как утверждение о том, что скорость увеличения доли зараженного населения равна разности между коэффициентом заразности cS и скорости выздоровления (или забывания) r. Такой вывод вполне логичен: для того чтобы эпидемия нарастала, люди должны заражаться быстрее, чем выздоравливают, и резонно предположить, что коэффициент заражения будет зависеть от того, какова доля населения, восприимчивого к инфекции.
Рис А.1. Теоретическая оценка путей распространения эпидемии согласно модели SIR Кермака – Маккендрика для показателей I0 = 0,0001 %, c = 0,5, r = 0,05.
Толстые линии отражают процент инфицированного и распространяющего инфекцию населения. Модель не предполагает медицинского вмешательства; эпидемия заканчивается сама по себе, даже если к тому моменту в популяции остаются восприимчивые к инфекции и не переболевшие. Источник: расчеты автора.
Первое и третье уравнения очень просты. Первое уравнение говорит о том, что число восприимчивых к инфекции сокращается с каждым новым случаем заражения, поскольку восприимчивые становятся инфицированными. Суть третьего уравнения состоит в том, что число выздоровевших увеличивается с каждым новым выздоровлением, поскольку выздоравливая (или, как в нашем случае, забывая нарратив) человек превращается из инфицированного в выздоровевшего. Далее мы увидим, что эта простейшая модель, дающая базовое представление о путях распространения эпидемий, может быть преобразована с учетом увеличения численности популяции и иных факторов, характерных для конкретного эпидемического процесса.
Пример, который иллюстрирует рис. А.1, вытекает из трех упомянутых выше уравнений, где воздействию инфекции изначально подвергается один человек из миллиона (I0 = 0,0001 %), а показатели c = 0,5 и r = 0,05. В этом случае инфицированной в конечном счете будет практически вся популяция. В ходе эпидемии внимание общественности, как правило, приковано к изменению количества зараженных, которое на рисунке отражает колоколообразная кривая. Кроме того, людей интересует изменение таких показателей, как количество новых зарегистрированных случаев болезни и скорость перехода из группы восприимчивых в группу инфицированных, которые также отражает колоколообразная кривая в том случае, если показатель r ненамного ниже показателя c. Работая с нарративами, мы сравниваем графики, отражающие количество слов и публикаций, с кривой заражения, подобной той, что изображена на рисунке.
Модель SIR предполагает, что от эпидемии к эпидемии небольшое количество случаев заражения на начальном этапе возрастает в соответствии с той же изогнутой графической структурой, а затем идет на спад. Мутация возникшего давно и утратившего свою силу вируса может привести к появлению человека, зараженного новым штаммом. Затем последует некоторая задержка – а если показатель c невысок, она может быть достаточно продолжительной – и продлится она до тех пор, пока не заразится достаточно большое количество людей и болезнь не привлечет к себе внимание масс. Затем эпидемия достигнет своего пика. Прежде чем заразится все население, эпидемия пойдет на спад и завершится, причем показатели интенсивности заражения c и выздоровления r останутся неизменными.
Заразится не каждый. Некоторых людей болезнь не коснется, поскольку они не столкнутся с ее возбудителем. Постепенно окружающая среда будет становиться все более безопасной для таких людей, поскольку количество инфицированных будет сокращаться вследствие выздоровления и приобретения людьми иммунитета к болезни. Новых встреч с возбудителем болезни, провоцирующих новые случаи инфицирования, станет недостаточно для дальнейшего роста заболеваемости. В конце концов инфицированных почти не останется, и популяция будет практически полностью состоять из восприимчивых и выздоровевших. Эта модель применима и к нарративам: поскольку заражается не каждый, после завершения эпидемии экономического нарратива некоторые люди скажут, что даже не слышали о нем, и скептически отнесутся к рассказам о его влиянии на экономику, пусть даже этот нарратив действительно способен определять ход экономических событий.
Какие факторы в комплексе приводят к распространению серьезного заболевания, которое в результате охватывает широкие общественные массы (ту часть населения, которая инфицируется и выздоравливает)? Насколько широко распространится заболевание – определяет соотношение показателей с и r. Поскольку время стремится к бесконечности, доля людей, когда-либо перенесших конкретную болезнь, достигает предельного значения R∞ (называемого «масштабом эпидемии»), которое всегда строго меньше 1. Непосредственно из первого и третьего уравнений следует, что dS/dR = – (c/r)S. Принимая во внимание исходное условие относительно доли популяции, заразившейся на раннем этапе I0, заключающееся в том, что S = (1 – I0)e—(c/r)R, и поскольку I∞ = 0,1 = S∞ + R∞, мы получаем: c/r = R∞–1log(1 – I0 / 1 – R∞) – и обнаруживаем взаимосвязь между окончательным числом людей, когда-либо перенесших это заболевание, и соотношением показателей с и r. Если бы мы могли выбирать, какими будут показатели c и r, мы могли бы сделать масштаб эпидемии R∞ любым, вплоть от отметки I0 до 100 %. Если «масштаб распространения заразы» мы определим как R∞ > 1/2, тогда заражение стартует на отметке I0 близкой к нулю, тогда как c/r > 1,386. Если мы умножим оба показателя c и r на положительную константу a, трем уравнениям, речь о которых шла ранее, будут удовлетворять функции S(at), I(at), R(at).
Высокий показатель c/r соответствует эпидемии большого масштаба R∞, вне зависимости от того, каковы показатели с и r, в то время как высокий показатель с, при котором соотношение с и r остается неизменным, приводит к более стремительному развитию эпидемии. Для того чтобы на начальном этапе эпидемии уровень заражения был очень низким, когда значение S близко к 1, показатель с/r должен быть больше 1. В зависимости от показателей с и r эпидемии могут нарастать стремительно либо, наоборот, медленно, хотя если изменить масштаб графиков таких эпидемий, выглядят они одинаково.