° происходит в среднем за 100 лет. Поэтому каждые 50 лет значения положения узлов уточняются (в 11-й колонке нашей таблицы приведены долготы Северных узлов по состоянию на 2000 год).
Если нам потребуется знать более точное значение долготы узла в данный момент, то можно к данному в таблице значению прибавить столько сотых долей градуса, сколько прошло лет с табличного года. Из данных колонки 11 видно, что узлы планет сейчас находятся в относительно узком диапазоне, менее чем в 90° (от 17° 50′ Тельца у Меркурия до 11° 34′ Льва у Нептуна), причем почти равномерно распределяясь по знакам (два узла в Тельце, два – в Близнецах, три – в Раке и один – во Льве).
Довольно ощутимую скорость имеет Лунный узел. Он совершает полный оборот относительно звезд за 18,67 лет. Эфемериды Северного узла обычно приводятся в таблицах вместе с эфемеридами планет.
Элементы небесной сферы
Для любых астрологических расчетов необходимо найти начальную точку отсчета и заранее договориться о принципах ее выбора. На небе нет неподвижных объектов: все перемещается относительно друг друга. Даже звезды в течение тысячелетий изменяют свою конфигурацию. В условиях такой пространственной неопределенности совершенно необходимо условиться о какой-то единой точке отсчета, чтобы понимать друг друга, когда говорится о расположении светил. В противном случае то, что для одного наблюдателя находится справа, для другого будет находиться слева и т.д. Поскольку все мы – жители Земли и все астрономические наблюдения ведутся с ее поверхности, будет удобно выбирать какие-то земные точки отсчета, то есть принимать геоцентрическую точку зрения. Все эти предварительные соображения приводят к необходимости введения так называемых небесных координат. Однако прежде чем приниматься за это дело, надо изучить те небесные элементы, которые могут послужить основой этих координат.
Из популярных курсов астрономии хорошо известно понятие о небесной сфере и взаимодействии ее основных элементов [20, 48, 57]. Поэтому здесь приведены только основные понятия и определения.
Небесная сфера – это воображаемая сфера с центром в глазу наблюдателя, на которую проецируются все небесные объекты (рис. 4).
Рис. 4. Основные элементы небесной сферы
Если представить, что центр этой сферы находится у ног наблюдателя или даже в центре Земли, практически ничего не изменится из-за несопоставимости расстояний до объектов и радиуса Земли. Для задач астрологии этого допущения вполне достаточно. Все расстояния на небесной сфере измеряются в угловых единицах.
Радиус небесной сферы неопределенный, так как все объекты на небе кажутся нам находящимися на одном и том же расстоянии от нас. И хотя истинные расстояния до планет и тем более до звезд очень различны, для любых астрологических расчетов это не имеет значения, важно только направление, в котором тот или иной небесный объект виден с Земли.
Зенит (Z) – это точка на небесной сфере, находящаяся прямо над головой наблюдателя.
Надир (Z′) – точка на небесной сфере, находящаяся прямо под ногами наблюдателя.
Ось Зенит-Надир (Z-Z′) – это отвесная линия, соединяющая точки Зенита и Надира, проходящая через центр небесной сферы и позвоночник наблюдателя.
Плоскость горизонта – это горизонтальная плоскость, проходящая через центр небесной сферы перпендикулярно оси Зенит-Надир (Z-Z′).
Ось мира – это воображаемая ось, вокруг которой происходит суточное вращение небесной сферы, естественно вызываемое вращением Земли вокруг своей оси (Р-Р′). Ось мира совпадает с осью вращения Земли.
Северный (Р) и южный (Р′) полюса мира – это точки, в которых ось мира пересекает небесную сферу.
Небесный экватор – это плоскость, перпендикулярная оси мира (Р-Р′), проходящая через центр небесной сферы.
Небесный меридиан – это плоскость, проходящая через ось мира (Р-Р′) и ось Зенит-Надир (Z-Z′). Или плоскость, проходящая через центр небесной сферы, перпендикулярная плоскостям горизонта и экватора.
Направления на юг (S) и на север (N) задаются линией пересечения плоскостей горизонта и небесного меридиана. Это полуденная линия.
Направления на восток (Е) и на запад (W) задаются линией пересечения плоскостей экватора и горизонта.
Географическая широта для данного места наблюдения (φ) равна углу наклона оси мира к горизонту. Это вытекает из геометрических соответствий (рис. 5).
Рис. 5. Наклон оси мира к горизонту
Плоскость первого вертикала – это плоскость, перпендикулярная плоскостям горизонта и небесного меридиана (проходит через ось Зенит-Надир и точки востока и запада).
Эклиптика – это большой круг небесной сферы, по которому в течение года кажущимся образом перемещается центр Солнца. Фактически эклиптика – это орбита Земли, а плоскость эклиптики – плоскость земной орбиты (рис. 6.).
Рис. 6. Эклиптика и экватор
Ось эклиптики – это перпендикуляр, восстановленный из центра плоскости эклиптики (который совпадает с центром небесной сферы) (П-П′).
Полюса эклиптики северный (П) и южный (П′) – это точки, в которых ось эклиптики пересекает небесную сферу.
Эклиптика образует с экватором угол ε = 23º 27′ и пересекается с ним в точках 0º Овна и 0º градусов Весов , в точках весеннего и осеннего равноденствия. Этот угол практически не меняется, а точнее, очень медленно изменяется на +/– 2º в течение 46000 лет, а также колеблется в пределах нескольких угловых секунд вследствие движения Луны с периодом 18,67 лет, периодом обращения Лунных узлов.
Точки весеннего и осеннего равноденствия медленно двигаются по небесной сфере в сторону, противоположную движению всех планет, с востока на запад (Лунные узлы тоже двигаются в противоположную сторону). Это явление называется прецессией, или предварением равноденствий.
За 72 года точки равноденствий смещаются на 1º, что составляет 50,26″ в год. Полный оборот они совершают за 72 × 360 = 25920 лет, а точнее, 25860 лет. Прецессия вызвана волчкообразным вращением земной оси вокруг ее центра по образующей конуса с объемным углом в 23° 27′.
Земля является не шаром, а эллипсоидом, с полюсов она немного приплюснута. Силы притяжения Солнца стремятся так развернуть Землю, чтобы плоскости экватора и эклиптики совпали, или, другими словами, земная ось стала бы перпендикулярной плоскости эклиптики и совпала бы с ее осью. Если бы это произошло, то исчезли бы сезонные изменения, не было бы ни лета, ни зимы. Но это могло бы произойти лишь в случае, если Земля не вращалась бы вокруг своей оси. Быстрое вращение Земли не позволяет земной оси ликвидировать наклон к плоскости эклиптики, не позволяет ей выровняться, но все же заставляет ее менять свое положение в пространстве и скользить по образующей конуса, совершая полный оборот, как говорилось, за 25860 лет. Значит, угол наклона остается тот же, но положение оси в пространстве меняется.
Математический горизонт – это линия пересечения плоскости горизонта с небесной сферой. Строго говоря, она немного не совпадает с горизонтом, образованным видимой границей между землей и небом, вследствие элипсоидности Земли. Здесь не учитывается отклонение рельефа местности от шарообразности, что может значительно удалять линию видимого горизонта от математического.
Небесный экватор делит небо на Северное и Южное полушария. Суточный путь светил над горизонтом параллелен экватору. Положение эклиптики, в противоположность экватору, который не изменяет своего положения относительно горизонта в данной местности во времени, меняется, и в течение суток эклиптика, как и все остальные небесные объекты, совершает полный оборот вокруг оси мира. Как уже было отмечено, эклиптика пересекается с экватором в точках весеннего и осеннего равноденствия, в точках Овна и Весов, которые в настоящее время среди неподвижных звезд находятся соответственно в созвездии Рыб и Девы.
Восход и заход светил. О кульминации
Небесные светила поднимаются над горизонтом в восточной его части и опускаются к нему в западной. Одни звезды скрываются под горизонт, отделяющий видимое полушарие от невидимого, другие, наоборот, появляются над горизонтом, третьи все время находятся над горизонтом, четвертые – под горизонтом. Следовательно, среди звезд есть такие, которые никогда не заходят, восходят и заходят, и которые никогда не восходят. Для светил, расположенных на экваторе, время от восхода до захода составит ровно 12 часов, для тех, что над экватором, – больше 12 часов; а для тех, что под экватором, – меньше 12 часов.
Прохождение светила через небесный меридиан в результате суточного вращения небесной сферы называется кульминацией. Кульминация бывает верхней, когда светило поднимается на максимальную высоту относительно горизонта, и нижней, когда оно максимально опускается, достигает самой нижней точки. О кульминации светил, о том, как определить восходящие и заходящие, невосходящие и незаходящие светила, можно прочесть в нескольких источниках [20, 48, 57].
Небесные координаты
Системы координат
Положение любой точки на плоскости может быть определено при помощи различных систем координат. Числа, определяющие положение точки, называются ее координатами. Наиболее употребительные системы координат для плоскости – декартова прямоугольная система и полярная система.
Прямоугольными координатами точки P (рис. 7а) называются взятые с определенным знаком расстояния (выраженные в определенном масштабе) от двух перпендикулярных линий, называемых осями координат. Точка пересечения осей называется началом координат. Обычно горизонтальную ось (ось ОХ) называют осью абсцисс, а вертикальную (ось ОУ) – осью ординат. На этих осях устанавливается положительное направление, обычно на оси ОХ – вправо, на оси ОУ – вверх.
Полярными координатами точки Р (рис. 7б) называются радиус-вектор ρ – расстояние от точки Р до заданной точки О (полюса) и полярный угол φ – угол между прямой ОР и заданной прямой, проходящей через полюс (полярной осью). Полярный угол считается положительным при отсчете от полярной оси против часовой стрелки и отрицательным при отсчете в обратную сторону.
Рис. 7. Системы координат на плоскости: а) прямоугольная система; б) полярная система
Теперь переходим от плоскости к трехмерному пространству, где пользуются прямоугольными, цилиндрическими и сферическими координатами. Прямоугольными координатами точки называются расстояния, взятые от этой точки до трех взаимно перпендикулярных плоскостей, или, что то же самое, проекции радиуса-вектора точки Р на три взаимно перпендикулярные оси (рис. 8а). Здесь к абциссе и ординате добавляется еще третья координата – аппликата OZ.
Рис. 8. Системы трехмерных координат: а) прямоугольная система; б) сферическая система
Цилиндрические координаты нас не интересуют, а вот сферические – это аналог полярных координат на плоскости (рис. 8б). Это ρ – радиус-вектор точки Р в пространстве, q – полярное расстояние между радиус-вектором и заданной плоскостью и угол φ – расстояние между проекцией радиуса-вектора на заданную плоскость и заданной прямой на этой заданной плоскости.
Положение точек на небесной сфере, в частности светил, определяется сферическими координатами. Наиболее употребительными являются три системы сферических небесных координат: горизонтальная, экваториальная и эклиптическая.
В любой из них положение точки определяется двумя координатами, одна из которых дает угловое расстояние этой точки от плоскости некоторого основного круга, например горизонта, экватора или эклиптики (аналогично географической широте), а другая отсчитывается от проекции на плоскость этого круга радиуса-вектора определяемой точки, до определенной фиксированной точки на указанном круге, принятой за начало (аналогично географической долготе). Третья координата – радиус-вектор – здесь не рассматривается по вышеуказанным причинам.
Мы рассмотрим все три системы координат, однако пользоваться в основном будем эклиптической системой.
Горизонтальная система координат
Горизонтальная система координат характеризуется высотой и азимутом (рис. 9).
1. Высота (h) отсчитывается от горизонта до данной точки M по большому полукругу, проведенному через точку от зенита. Она изменяется от –90° под горизонтом до 90° над горизонтом.
2. Азимут (А) отсчитывается от точки юга – S по часовой стрелке вдоль горизонта до его пересечения с кругом высоты данной точки. Изменяется азимут от 0° до 360°.
В этой системе высота и азимут являются переменными величинами и зависят от географических координат точки и времени. Это динамичная система координат.
Рис. 9. Горизонтальная система координат
Там, где экватор совпадает с горизонтом, везде юг или север. Это имеет место, когда мы пытаемся определить координаты Северного или Южного полюса.
Экваториальная система координат
Экваториальная система координат характеризуется склонением и прямым восхождением.
1. Склонение (σ) – это расстояние, отсчитываемое от экватора до данной точки М по большому полукругу, проведенному через эту точку из полюса мира.
Экватор делит небесную сферу на два полушария: Северное и Южное.
Склонение бывает больше нуля в Северном полушарии и меньше нуля в Южном и изменяется от –90° до 90°.
2. Прямое восхождение (α) – это расстояние, отсчитываемое от точки весеннего равноденствия против часовой стрелки, если смотреть со стороны северного полюса мира вдоль экватора до круга склонения.
Обычно оно выражается как в градусах, так и в часах из расчета, что 360° = 24 часа и изменяется от 0° до 360° или от 0 до 24 часов.
Рис. 10. Экваториальная система координат
Эклиптическая система координат
Эклиптическая система координат характеризуется эклиптическими или астрономическими широтой и долготой. Мы будем называть их просто широтой и долготой, имея в виду, конечно, их отличие от географических широты и долготы (рис. 11).
Рис. 11. Эклиптическая система координат
1). Широта (b) – это расстояние, отсчитываемое от эклиптики до данной точки М по большому полукругу, проведенному через эту точку из полюса эклиптики.
2). Долгота (l) – это расстояние, отсчитываемое от точки весеннего равноденствия против часовой стрелки, если смотреть из Северного полушария вдоль эклиптики до пересечения с кругом широты.
Эклиптика так же, как и экватор, делит небесную сферу на два полушария: Северное и Южное, только в обоих случаях полушария будут несколько не совпадать.
Как можно заметить, эклиптическая система очень похожа на экваториальную. Те же самые правила, только слово «экватор» заменяется на слово «эклиптика», круг склонения – на круг широты и полюс мира – на полюс эклиптики, склонение – на широту, а прямое восхождение – на долготу.
Широта, как и склонение, изменяется в пределах от –90° до 90°, а долгота, как и прямое восхождение, от 0 до 360° или от 0 до 24 часов. Они так же, как склонение и прямое восхождение, не зависят ни от времени, ни от места наблюдения.
В астрономии чаще пользуются экваториальной системой координат, в астрологии же – преимущественно эклиптической, остальные системы играют вспомогательную роль. Во многих справочниках и астрономических календарях приводятся экваториальные координаты, потому что они более удобны для наблюдения. Но поскольку плоскости орбит большинства планет очень близки к плоскости эклиптики, нагляднее приводить координаты планет в эклиптической системе. Поэтому в принципе необходимо уметь делать переход от одной системы координат к другой. Формулы перехода от экваториальной системы в эклиптическую описаны в работе Е.П. Левитана «Астрономия» [48].
Рис. 12. Астрологический алфавит: основные астрологические символы