Затем Галилей обращается непосредственно к доказательству квадратичной зависимости пути от времени. В нем он опирается на другое положение, выдвинутое им ранее, а именно, что скорость падения пропорциональна времени падения. Трактовка доказательства этого положения, данного в «Беседах», заслуживает отдельного рассмотрения, поскольку она является ошибочной в большинстве историко-научных работ, посвященных этому вопросу.
К моменту написания «Бесед» Галилей уже давно пришел к ясному пониманию скорости движения, а следовательно, и к пониманию того, что скорость падения пропорциональна времени. Все это, как показано выше, еще не было достигнуто тогда, когда он впервые пришел к установлению квадратичной зависимости пути от времени около 30 лет назад. И вот, в «Беседах» он специально останавливается на выборе альтернативы: чему пропорциональна скорость — времени или пути, и отвергает второе предположение с помощью следующего доказательства от противного:
«Если бы скорости были пропорциональны пройденным или имеющим быть пройденными расстояниям, то такие расстояния проходились бы в равные промежутки времени; таким образом, если бы скорость, с которой падающее тело проходит расстояние в четыре локтя, была вдвое больше скорости, с которою оно проходит расстояние в первых два локтя (на том основании, что одно расстояние вдвое больше другого), то промежутки времени для прохождения того и другого расстояния должны были бы быть одинаковыми. Но прохождение одним и тем же телом четырех локтей и двух локтей в один и тот же промежуток времени могло бы иметь место лишь в том случае, если бы движение проходило мгновенно; мы же видим, что падающее тело совершает свое движение во времени и что два локтя оно проходит в меньший срок, нежели четыре локтя. Следовательно, утверждение, что скорости растут пропорционально пройденным путям, ложно» [16, II, с. 245].
Некоторые исследователи творчества Галилея рассматривают этот отрывок из «Бесед» как пример неправильного доказательства истинного утверждения. Одни связывали доказательство Галилея с использованием мертоновского правила [11, II, с. 95—99; 25]; предполагалось, что здесь Галилей оперирует с понятием средней скорости. В другом случае указывалось, что рассуждение Галилея неубедительно по той причине, что «Галилей рассуждает так, как будто весь путь s, пройденный за время t, проходится со скоростью, достигаемой лишь в конце пути!» [16, II, с. 461]. На самом деле Галилей имел в виду совершенно другое, а неверная интерпретация возникает в результате неточного перевода, когда слово «скорости», стоящее в оригинале во множественном числе, переводится словом «скорость», стоящим в единственном числе. Эта ошибка, как ни странно, имеется во многих переводах «Бесед», в частности, во французском 1970 г., немецком 1891 г. и позднейших изданиях, английском 1914 г. и позднейших изданиях, и наконец, русском 1964 г. Весьма удивительно, что правильный перевод, как и правильная интерпретация данного отрывка ускользнули от внимания исследователей, тем более, что уже в 1649 г. и то и другое было сделано в книге Ж. А. Тенера «Об ускоренном движении». Тенер дает следующее исчерпывающее объяснение ходу мыслей Галилея:
«Пусть тяжелое тело падает (из состояния покоя) и проходит при этом два равных расстояния АВ и ВС, так что скорость в С вдвое больше, чем в В, Без сомнения, на линии АС невозможно найти точку, скорость которой не была бы вдвое больше скорости соответствующей точки на линии АВ. Следовательно, скорость на протяжении всего пути АС будет вдвое больше скорости вдоль всего пути АВ, именно потому, что расстояние АС вдвое больше ВС: а следовательно, АС и АВ проходятся в равное время» [26, с. 8]. Таким образом, вместо понятия средней скорости Галилей основывается на идее взаимно однозначного соответствия между двумя бесконечными множествами скоростей, и приведенные выше возражения снимаются.
В зарубежной литературе на этот факт впервые обратил внимание Стиллман Дрейк в своей книге «Галилеевские исследования», опубликованной в 1970 г. [27, с. 228—236], который дал точный перевод, подробный анализ и правильное толкование отрывка. Но интересно отметить, что ошибка в переводе была обнаружена много раньше советским исследователем В. П. Зубовым, который отверг трактовку Коэна, связанную с мертонским правилом, хотя и не подверг это место детальному анализу. Приведем здесь перевод В. П. Зубова, адекватный галилеевскому оригиналу:
«Если скорости стоят друг к другу в том же отношении, что и пройденные или имеющие быть пройденными расстояния, то такие расстояния проходятся в равные промежутки времени: в самом деле, если скорости (le velosita), с которыми падающее тело проходит расстояние в четыре локтя, вдвое больше скоростей (delle velocita), с которыми оно прошло первые два локтя (ибо одно расстояние вдвое больше другого), то, стало быть, промежутки времени, затраченные для прохождения того и другого расстояния, одинаковы. Но прохождение одним и тем же телом четырех локтей и двух локтей за один и тот же промежуток времени может иметь место лишь в том случае, если движение происходит мгновенно; мы же видим, что тяжелое тело, падая, совершает свое движение во времени, и что два локтя оно проходит в меньший срок, нежели четыре. Следовательно, неверно, что скорости растут пропорционально пройденным путям» [2, с. 153].
Итак, вооруженный тезисом, что скорость падения пропорциональна лишь времени, Галилей приступает к доказательству своего закона:
«Теорема II. Предложение II. Если тело, выйдя из состояния покоя, падает равномерно-ускоренно, то расстояния, проходимые им за определенные промежутки времени, относятся между собой как квадраты времени» [16, II, с. 249]. Свое доказательство Галилей вновь иллюстрирует чертежом, он говорит: «Изобразим промежуток времени, начинающийся с какого-либо мгновения А, линией АВ и представим себе, что AD и АЕ суть некоторые части этого промежутка времени. Пусть, далее HI будет линией, вдоль которой падающее тело, вышедшее из состояния покоя, движется равномерно-ускоренно, HL — расстояние, пройденное в течение первого промежутка времени AD, HM — расстояние, пройденное в промежуток времени АЕ» [16, II, с. 250].
Затем Галилей несколько усложняет чертеж, введя горизонтальные отрезки OD и РЕ, представляющие максимальную скорость, приобретенную телом к моменту D и Е соответственно. Для доказательства теоремы он пользуется сперва правилом средней скорости. Слегка модернизируя запись и введя vDcp и vEср, обозначающие соответственно среднюю скорость движения к моменту D и Е, получаем: MH=vEср∙AE, H=vDcp∙AD; откуда MH/LH =
(vEср/vDcp)∙(AE/AD), но
и последнее отношение равно: PE/OD = AE/AD, т. е. скорости пропорциональны времени движения; тогда, с одной стороны, MH/LH = (vEср/vDcp)∙(AE/AD), а с другой (vEср/vDcp) = PE/OD = AE/AD.
Комбинируя эти две пропорции, получаем: MH/LH = (AE/AD)∙ (AE/AD) = AE2/AD2, «следовательно, расстояния относятся, как квадраты промежутков времени, что и требовалось доказать».
После этого легко доказывается, что если «скорость возрастает в равные промежутки времени как простой ряд последовательных чисел, то расстояния, пройденные за те же промежутки времени, относятся между собой как последовательные нечетные числа» [16, II, с. 251]. Этот результат, который Галилей приписывает исключительно себе, на самом деле был получен ранее средневековыми физиками, но они опять же не применяли его к исследованию реального движения и не увидели в нем квадратичного закона падения, легко из этого результата получаемого.
Дальнейшие беседы Третьего дня касаются проблемы движения тел по наклонной плоскости, и получающиеся результаты являются следствиями установленного ранее закона падения. Среди них имеются два замечательных утверждения, первое из которых относится к проблеме наискорейшего спуска — одной из наиболее знаменитых задач конца XVII в., а второе содержит наиболее близкую к современной формулировку принципа инерции. Задача наискорейшего спуска может быть сформулирована так: по какой траектории, соединяющей две точки, находящиеся на разных высотах, должно двигаться тело, чтобы переместиться из верхней точки в нижнюю за минимальное время? Постановка и решение этой проблемы положили начало вариационному исчислению. Инфинитезимальными методами было показано, что брахистохроной, т. е. линией наискорейшего спуска, будет не отрезок прямой, соединяющей обе точки, а проходящая через них циклоида. Решение было получено благодаря усилиям самых выдающихся математиков эпохи, включая Иоганна (в первую очередь) и Якоба Бернулли, Лейбница, Лопиталя, Гюйгенса и Ньютона. Галилей близко подошел к правильному результату и в замечании к теореме XXII указал, «что быстрейшее движение от одной конечной точки до другой происходит не по кратчайшей линии, какой является прямая» [16, II, с. 300]. Без помощи методов дифференциального исчисления он, естественно, не мог установить, что траекторией спуска является дуга циклоида, вместо этого он говорит о дуге окружности.
Другое замечание, содержащееся в задаче IX, еще более интересно. Оно касается существа понятия движения и гласит, «что степень скорости, обнаруживаемая телом (при движении) ненарушимо лежит в самой его природе, в то время как причины ускорения или замедления являются внешними» [16, II, с. 282]. Это утверждение определяет фундаментально новый подход к проблеме движения и покоя, получивший в дальнейшем исчерпывающую разработку в трудах Декарта и Ньютона. До сих пор покой и движение рассматривались как категории, имеющие различный онтологический статус, покой понимался как состояние, естественное для тела и не нуждающееся ни в какой внешней причине. Напротив, движение всегда подразумевало внешнюю причину, необходимо его обусловливавшую. «Естественные» движения надлунных сфер Аристотеля не идут в расчет, поскольку для земной физики они всегда являлись недостижимой абстракцией. Разрушение Галилеем дихотомии земной и небесной физики, естественных и насильственных движений неизбежно должно было привести к изменению точки зрения на движение как таковое. В процитированном выше утверждении Галилея это продемонстрировано с наибольшей ясностью: равномерное движение — так можно перефразировать его слова — ненарушимо лежит в природе тела (этим сам