Когда Галлей прочел рукопись Ньютона, он сразу понял, что имеет дело с гениальной научной работой, и снова поспешил в Кембридж, чтобы вместе с Ньютоном ее обсудить. Он убедил Ньютона послать свое исследование в Королевское общество, но тот решил сначала дополнить его и расширить. Прошел год, прежде чем он смог послать его секретарю Общества. За это время девять страниц первоначального трактата превратились в две книги. Первую книгу Ньютон назвал «О движении тел» («De motu corporum»), и она впоследствии составила основу Книги I и Книги II «Начал». Вторая книга под заглавием «О системе мира» («De mundi systemate») была опубликована лишь после смерти Ньютона. Рукопись обеих книг была передана в университетскую библиотеку в качестве отчета о лекциях, которые Ньютон должен был читать в 1684, 1685 и 1687 гг.
С декабря 1684 г. Ньютон был буквально одержим работой над книгой, которую он назвал «Математические начала натуральной философии». Гук, а затем Галлей побудили его взяться за труд, революционное значение которого для науки он понимал лучше всех, а главное — теперь он был в состоянии его выполнить. Однофамилец Ньютона, его секретарь Гемфри Ньютон рисует в своих записках впечатляющий образ человека, целиком поглощенного своими исследованиями: «Его занятия были столь напряженными и серьезными, что он едва-едва ел, а часто и вовсе забывал о еде. Входя к нему в комнату, я часто видел, что еда осталась нетронутой, а когда я напоминал ему о ней, он отвечал мне: “Разве?” И подойдя к столу, съедал кусочек-другой, стоя... В некоторых редких случаях, когда он намеревался обедать в столовой колледжа, он выходил на улицу и вдруг поворачивал в другую сторону, затем останавливался, поняв, что ошибся, и быстро возвращался назад. Иногда вместо того, чтобы идти в столовую, он снова шел в свой кабинет... Случалось, что во время прогулок в саду он вдруг внезапно останавливался, резко поворачивался и взбегал по лестнице, как новый Архимед восклицая “Эврика!”. Затем он бросался к столу и начинал писать стоя, даже не позаботившись подвинуть к себе кресло» [2, с. 406]. Целью Ньютона было построение динамики как точной математической науки, чтобы затем с ее помощью указать путь решения конкретных физических и астрономических проблем. Эта задача была решена в поразительно короткий срок: 5 апреля 1687 г. Галлей, который взял на себя все хлопоты по публикации «Начал» и даже заплатил издателю из своего кармана, сообщил Ньютону, что получил «последнюю часть его божественного трактата». 5 июля 1687 г. книга была напечатана. Ньютон впоследствии постоянно обращался к работе над ней, внося изменения и поправки. Второе издание «Начал» вышло в свет в 1713 г. под наблюдением Роджера Котса, а третье — в 1724 г. под наблюдением Генри Пембертона.
Первое издание в ряде пунктов существенно отличалось от последующих. Например, в нем отсутствовала знаменитая фраза «Гипотезам не место в натуральной философии», как, впрочем, и все целиком «Общее поучение», из которого она взята. Более того, Книга III начиналась с «Гипотез», которые в дальнейшем были частично исключены, а частично переработаны и названы «Явлениями» или же «Правилами философствования». Кардинальной переработке подверглась вся Книга II. Очевидно, Ньютон не был полностью удовлетворен тем, как были им первоначально написаны некоторые разделы: не все важные проблемы ему удалось решить полностью, это были в первую очередь вопросы, относящиеся к траектории комет, движению Луны и так называемой проблеме Кеплера. Наконец, появились новые астрономические данные, которые следовало учесть,— сообщения Дж. Кассини о спутниках Сатурна и таблицы Флемстида.
«Начала» состоят из трех больших частей, или Книг. В Книге I «О движении тел» Ньютон шаг за шагом развивает основы классической механики, в результате получая достаточно полную систему определений и теорем. Затем он использует полученную теорию для решения задач Книги III «О системе мира» — расчета движения планет, спутников и комет. Книга II, имеющая тот же заголовок, что и Книга I, — «О движении тел», стоит особняком в общем плане его труда и посвящена механике сплошных сред, в основном гидродинамике.
Книга I предваряется двумя разделами. В первом из них даются определения основных физических понятий: массы, количества движения, инерции (которую Ньютон называет vis insita, т. е. «врожденная сила»), приложенной силы и центростремительной силы.
«Определение I. Количество материи (масса) есть мера таковой, устанавливаемая пропорционально плотности и объему ее» [15, I, с. 22].
«Определение II. Количество движения есть мера такового, устанавливаемая пропорционально скорости и массе» [15, I, с. 23].
«Определение III. Врожденная сила материи есть присущая ей способность сопротивления, по которой всякое отдельно взятое тело, поскольку оно предоставлено самому себе, удерживает свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения» [15, I, с. 24-25].
«Определение IV. Приложенная сила есть действие, производимое над телом, чтобы изменить его состояние покоя или равномерного прямолинейного движения» [15, I, с. 25].
Первое среди этих определений, т. е. определение массы, неоднократно вызывало возражения. Многие видели в нем порочный круг: плотность есть количество материи на единицу объема. Э. Мах утверждал, например, что формулировка Ньютона равносильна констатации, что «масса есть масса», а А. Зоммерфельд назвал ньютоново определение «бессодержательным». Возможно, Ньютон действительно не очень четко сформулировал это понятие. Однако для него это не было столь существенным. Важно, что он все прекрасно понимал. В трактате «О тяжести и равновесии жидкостей», написанном в начале 70-х годов, мы находим следующее определение плотности: «Тела являются более плотными, если их инерция более сильная, и более разреженными, если их инерция более слабая» [16, с. 150].
Затем Ньютон вводит понятия абсолютного времени и абсолютного пространства. Он вынужден был прибегнуть к этому, так как считал, что Солнечная система покоится, а не движется равномерно. Кроме того, он думал, что существование абсолютного пространства обнаруживается в опытах вращательным движением.
Во втором предварительном разделе он дает «Аксиомы, или Законы движения» — то, что сегодня мы называем законами Ньютона:
«Закон I. Всякое тело продолжает пребывать в своем состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, поскольку оно не принуждается приложенными силами изменить это состояние.
Закон II. Изменение движения пропорционально приложенной силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует.
Закон III. Действию всегда есть равное противодействие, или: действия двух тел друг на друга равны и направлены в противоположные стороны» [17, I, с. 54—55].
За изложением Законов следует изложение Следствий — формулируется правило параллелограмма для сложения сил, законы сохранения количества движения и скорости центра тяжести, а также механический принцип относительности.
Отметим, что ньютоновская формулировка второго закона отличается от привычной для нас записи F = ma. Более того, Ньютон не говорит, как именно действует сила, и по-видимому, закон формулируется в предположении об импульсе силы. «Но по всему тексту “Начал” Ньютон использует закон для непрерывно действующей силы, включая тяготение. В действительности для Ньютона понятия импульса и постоянно действующей силы были инфинитезимально эквивалентны. Таким образом, существуют два условия действия сил во втором законе. Соответственно этот закон Ньютона может быть записан как f ~ d(mv) и в другой форме как f ~ d(mv)/dt, причем для этих двух видов записи требуется различный коэффициент пропорциональности. Две формулировки закона могут считаться эквивалентными вследствие ньютоновского понятия о равномерном течении времени, что делает dt некоторой вторичной константой, которая может быть произвольно включена в коэффициент пропорциональности» [18, с. 70].
Книга I открывается разделом, посвященным систематическому изложению теории пределов, которую Ньютон использует в «Началах». Доказательства теорем в этом разделе, как и во всей книге, даются в синтетико-геометрической форме, однако при внимательном чтении видно, «что скрытое математическое здание построено в манере целиком не-классической, при помощи предельных отношений бесконечно малых приращений рассматриваемых отрезков, координаты которых изменяются с изменением независимого параметра — времени» [6, VI, с. 24].
В последующих разделах доказывается второй закон Кеплера, а дальше рассматриваются различные задачи о движении тела в поле центральных сил. Среди них содержится ответ на вопрос, который Ньютону в свое время задавали Гук и Галлей, а именно, доказывается, что если тело движется в поле центральной силы, подчиняющейся закону обратных квадратов, то его орбитой будет эллипс, парабола или гипербола. В разделе VIII получен результат, эквивалентный доказательству закона сохранения полной энергии в поле центральной силы, хотя в явном виде формулировки такой теоремы нет. В разделе XI методами теории возмущений рассматривается задача трех тел. В конце Книги I приводится теорема о том, что две тяжелые сферы притягиваются друг к другу как две точечные массы, а затем излагается теория притяжения эллипсоидов.
Книга II, хотя и имеет тот же заголовок, что и Книга I — «О движении тел», отнюдь не является ее продолжением. Это совершенно отдельное сочинение, посвященное механике жидкости и газа, во времена Ньютона почти совершенно не изученной и не имевшей того теоретического фундамента, какой в механике точки составляли работы Кеплера, Галилея, Гюйгенса и других ученых. Эта Книга, пишет К. Трусделл, один из крупнейших современных специалистов по механике и ее истории, «является полностью оригинальной и во многом ошибочной. Дедуктивный метод, который столь замечательно представлен в Книге I, здесь отброшен, и с каждым новым рассуждением выдвигаются новые гипотезы. Здесь Ньютон проявляется во всем величии своего гения. Хотя его решения не всегда правильны, все же он — первый, кто выдвинул эти проблемы и энергично принялся за их разрешение» [19, с. 91]. Как и во многих других своих работах по истории науки, Трусделл в этом высказывании чересчур категоричен. Книга II оказывается отнюдь не столь «ошибочной»: в ней сформулирована теория подобия, рассмотрено распространение волн, причем Ньютон дает метод определения длины волны, устанавливает соотношения между длиной волны, ее скоростью и частотой колебаний; получен закон сопротивления для тела, движущегося в жидкости (сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости тела).