Определенное количество, лишь как таковое, ограничено вообще; его граница есть его абстрактная, простая определенность.
Количество «как таковое» здесь противопоставляется количеству как указанию в том числе на возможность реализации данных количеств.
Но так как оно число, эта граница положена как многообразная внутри себя самой. Число содержит те многие «одни», которые составляют его наличное бытие, но содержит их не неопределенным образом, а определенность границы относится именно к нему; граница исключает другое наличное бытие, т. е. другие «многие», и охватываемые ею «одни» суть определенное множество, численность, для которой как дискретности, какова она в числе, другим служит единица, ее непрерывность. Численность и единица составляют моменты числа.
Численность – у Гегеля означает не подведенный количественный итог («численность населения»), а способность числа указывать на свой состав. Скажем, численность 6 это 2+2+2 или 1*6 или 2*3. Впрочем, употребление этого термина содержит в себе возможность и привычного нам понимания.
Что касается численности, то следует еще рассмотреть подробнее, каким образом многие «одни», из которых она состоит, заключены в границе. О численности правильно говорится, что она состоит из «многих», ибо «одни» находятся в ней не как снятые, а суть в ней, только положенные вместе с исключающей границей, к которой они безразличны. Но граница не безразлична к ним. При [рассмотрении нами] наличного бытия отношение к нему границы оказалось прежде всего таким, что наличное бытие как утвердительное оставалось по сю сторону своей границы, а граница, отрицание, находилась вне его, у его края; точно так же во многих «одних» прерыв их и исключение других «одних» выступает как определение, которое имеет место вне охватываемых «одних». Но там оказалось, что граница пронизывает наличное бытие, простирается столь же далеко, как оно, и что вследствие этого нечто ограничено по своему определению, т. е. конечно. – В числе как количестве представляют себе, например, сто так, что только сотое «одно» ограничивает «многие» таким образом, что они составляют сто. С одной стороны, это правильно; с другой же, из ста «одних» никакое не обладает преимуществом, так как они только одинаковы; каждое из них есть в такой же мере сотое, как и другие; все они, следовательно, принадлежат к той границе, благодаря которой данное число есть сто; для своей определенности это число не может обойтись ни без одного из них; прочие «одни», следовательно, не составляют в сравнении с сотым «одним» такого наличного бытия, которое находилось бы вне границы или лишь внутри ее, вообще было бы отлично от нее. Численность не есть поэтому некоторое множество в противоположность охватывающему, ограничивающему «одному», а сама составляет это ограничение, которое есть некое определенное количество; «многие» составляют одно число, одну двойку, один десяток, одну сотню и т. д.
Прерыв – не простое «прерывание», но способность данным числом исчислить разные изменения начального числа. Так, 100 будет прерывом не только для числа 100, но и для числа 0,01 как одной сотой или для 100 миллионов или 100 дюжин или 2 в 100 степени. Иметь место – в таком случае означает использоваться вне самой числовой последовательности, скажем, если 100 входит в последовательность, где будут и другие натуральные числа, включая 100 и 100 миллионов, то в последовательность, где есть 0,01, оно не входит. Имение места у Гегеля – это чаще всего существование вне ряда, который мы назначаем для данного класса явлений.
Итак, ограничивающее «одно» есть определенность в отношении другого, отличение данного числа от других. Но это отличение не становится качественной определенностью, а остается количественным, относится лишь к сравнивающей внешней рефлексии. Число как «одно» остается возвращенным к себе и безразличным к другим. Это безразличие числа к другим есть его сущностное определение; оно составляет его в-себе-определенность, но в то же время и его собственную внешность. – Число есть, таким образом, нумерическое «одно» как абсолютно определенное «одно», которое имеет в то же время форму простой непосредственности и для которого поэтому соотношение с другим совершенно внешнее. Как такое «одно», которое есть число, оно, далее, имеет определенность (поскольку она есть соотношение с другим) как свои моменты внутри самого себя, в своем различии между единицей и численностью, и численность сама есть множество «одних», т. е. в нем самом имеется этот абсолютно внешний характер. – Это противоречие числа или определенного количества вообще внутри себя составляет качество определенного количества, – качество, в дальнейших определениях которого это противоречие получает свое развитие.
Гегель обращает внимание на противоречие между тем, что новое число получается в результате внешнего прибавления, но при этом оно при любом употреблении применяется как целое. Например, 2,5 получается как 2+1/2, но как число используется одинаково для обозначения 2,5 яблока или 2,5 метра независимо от того, измеряются ли им предметы или меры.
А. ПРЯМОЕ ОТНОШЕНИЕ
1. В отношении, которое как непосредственное есть прямое отношение, определенность одного определенного количества заключается в определенности другого определенного количества и наоборот. Имеется лишь одна определенность или граница обоих, которая сама есть определенное количество, – показатель отношения.
Показатель – у Гегеля это слово ближе к нашему «показания» (термометра, барометра), но только не при измерении фактов, а при их создании или установлении. Например, целое число – показатель того, что им подсчитаны целые, а не дробные предметы.
2. Показатель есть некоторое определенное количество. Но в своей внешности он соотносящий с собой в самом себе качественно определенный квант лишь постольку, поскольку он в самом себе имеет отличие от себя, свое потустороннее и инобытие. Но это различие определенного количества в самом себе есть различие единицы и численности; единица есть самостоятельная определенность (Fur sich Bestimmtsein), численность же – безразличное движение по отношению к определенности, внешнее безразличие определенного количества. Единица и численность были сначала моментами определенного количества; теперь в отношении, поскольку оно реализованное определенное количество, каждый из его моментов выступает как собственное определенное количество, и оба – как определения его наличного бытия, как ограничения по отношению к определенности величины, которая помимо этого есть лишь внешняя, безразличная определенность.
Показатель есть это различие как простая определенность, т. е. он имеет непосредственно в самом себе значение обоих определений. Он есть, во-первых, определенное количество; в этом смысле он численность; если один из членов отношения, принимаемый за единицу, выражен численной единицей – а ведь он считается лишь таковой единицей, – то другой член, численность, есть определенное количество самого показателя. Во-вторых, показатель есть простая определенность как качественное в членах отношения; если определенное количество одного из членов определено, то и другое определенное количество определено показателем, и совершенно безразлично, как определяется первое; оно как определенный сам по себе квант не имеет уже никакого значения и может с таким же успехом быть также любым другим определенным количеством, не изменяя этим определенности отношения, которая зависит только от показателя. Одно определенное количество, принимаемое за единицу, как бы велико оно ни стало, всегда остается единицей, а другое определенное количество, как бы велико оно при этом также ни стало, непременно должно оставаться одной и той же численностью указанной единицы.
Иметь значение – Гегель говорит в алгебраическом смысле: быть решением уравнения. Если Х+2=3, то значение Х равно 3–2. Ясно, что здесь может иметь значение только Х как неопределенный квант или математическое действие, которое уже не есть просто показатель.
3. Согласно этому, оба они составляют, собственно говоря, лишь одно определенное количество; одно определенное количество имеет по отношению к другому лишь значение единицы, а не численности; другое имеет лишь значение численности; стало быть, по определенности своего понятия они сами не полные определенные количества. Но эта неполнота есть отрицание в них, и притом отрицание не со стороны их изменчивости вообще, сообразно которой одно (а каждое из них есть одно из двух) может принимать всевозможные величины, а со стороны того определения, что если одно изменяется, то и другое настолько же увеличивается или уменьшается; это, как мы показали, означает: лишь одно, единица, изменяется как определенное количество, другой же член, численность, остается тем же определенным количеством единиц, но и первый член сохраняет значение лишь единицы, как бы он ни изменялся как определенное количество. Каждый член есть, таким образом, лишь один из этих двух моментов определенного количества, и самостоятельность, относящаяся к его отличительным свойствам, подверглась в себе отрицанию; в этой качественной связи они должны быть положены один по отношению к другому как отрицательные.
Член — это слово употреблено в смысле «член уравнения», то есть, например, 7 представляется как 7 единиц, а значит, как уравнение 7 = 7*1. Далее Гегель рассуждает о том, что ничего нам не мешает дать и такое уравнение 7 = 1*7, полагая, что отсчитывается одна семерка как уже известное определенное количество. В конце концов, тогда, по Гегелю, мы получим «обратное отношение», иначе говоря, возможность определять Х через семерки, а не единицы, что понимается как свойство Х быть определенным и таким образом.