Гиперсфера играла значительную роль в ранних работах одного из создателей современной топологии – Анри Пуанкаре. Он работал на рубеже XIX-XX веков и, являясь одним из ведущих математиков того времени, чуть было не опередил Эйнштейна с созданием специальной теории относительности[58]. В начале XX века Пуанкаре разработал множество базовых инструментов топологии. Он знал, что гиперсфера является фундаментом трёхмерной топологии, точно так же как сфера – двухмерной. В частности, гиперсфера не имеет «дыр», как в бублике-торе, а следовательно, в определённом смысле она является простейшим трёхмерным топологическим пространством. Пуанкаре априори предположил, что верно и обратное: любое трехмерное топологическое пространство без дыр будет гиперсферой.
Однако в 1904 году он изобрёл более сложное додекаэдрическое пространство, не имеющее дыр, но не являющееся гиперсферой. Существование подобного частного случая формы доказало, что его изначальное предположение было ошибочно. Эта неожиданная проблема заставила его добавить ещё одно условие, которое, как он надеялся, будет более полно характеризовать гиперсферу. Как известно, двухмерная поверхность является сферой тогда и только тогда, когда любая замкнутая петля на ней может быть стянута в одну точку. Пуанкаре предположил, что тем же свойством должно обладать и трёхмерное пространство гиперсферы. Он был прав, но математикам потребовалось почти сто лет для доказательства его гипотезы. В 2003 году молодой русский математик Григорий Перельман успешно доказал идею Пуанкаре. За это ему полагался миллион долларов, но, как все прекрасно помнят, от денег он отказался.
Хотя гиперсферичность Вселенной является самым простым и наиболее очевидным объяснением, с экспериментальным подтверждением у этой гипотезы пока туговато. Когда-то самой простой и очевидной формой Земли считалась плоскость, и посмотрите, к чему это привело. Поэтому космологи перестали по умолчанию полагать, что Вселенная имеет форму гиперсферы, и принялись искать другие варианты. Некоторое время одной из наиболее популярных версий, разрекламированных масс-медиа, была Вселенная в виде футбольного мяча. Издателям эта идея также весьма по душе, поскольку читатели обычно не слишком сведущи в космологии, зато все прекрасно знают, что такое футбол.[59]
Учтите, футбольный мяч – это вам не сфера. Тогда на какое-то небольшое время футбольный мяч утратил привычную форму (18 прямоугольников, сшитых во что-то вроде куба) и приобрёл новую стильную форму: 12 пятиугольников и 20 шестиугольников, сшитых в виде усечённого икосаэдра[60]. Это геометрическое тело возвращает нас прямиком в Древнюю Грецию. Вообще нам повезло, что мы можем говорить о таком прекрасном названии просто как о футбольном мяче. Правда, есть одно но: в действительности это никакой не усечённый икосаэдр. Это трёхмерная гиперповерхность, имеющая к усечённому икосаэдру самое отдалённое отношение. Футбол находится в другом измерении, так сказать.
А если быть совсем точным, это додекаэдрическое пространство Пуанкаре.
Короче, чтобы получить додекаэдрическое пространство Пуанкаре, вам надо начать с додекаэдра. Додекаэдр – геометрическое тело с двенадцатью гранями, каждая из которых правильный пятиугольник. Чем-то он похож на футбольный мяч, только без шестиугольников. После того как разобрались с дедекаэдром, вы соединяете вместе его противоположные грани. С реальным додекаэдром такой фокус не пройдёт, а вот с математической точки зрения можно представить всё так, что различные грани – это одно и то же, тогда нет никакой необходимости мять и плющить настоящий додекаэдр. Точь-в-точь как мы поступили с плоским тором. Хотя топологи всё равно настаивают на термине «склейка».
Додекаэдрическое пространство является более сложной вариацией плоского тора. Напомним, что плоский тор получается посредством склейки противоположных сторон квадрата. Чтобы получилось додекаэдрическое пространство, являющееся при этом трёхмерным объектом, а не поверхностью, вам надо всего-навсего взять додекаэдр и склеить его противоположные грани. В результате у вас получится трёхмерное топологическое пространство. Как и у тора, у него нет границ, причём по той же самой причине: всё, что случайно свалится с одной из граней, тут же объявится на противоположной. Таким образом, покинуть его нельзя, это пространство конечно. И точно так же как гиперсфера, дыр оно не имеет. Будь вы как тополог несколько наивным, у вас возникло бы искушение посчитать, что гипотеза прошла проверку и гиперсфера наконец-то найдена. Однако то, что у вас получилось, отнюдь не гиперсфера, даже в топологическом смысле.
Пуанкаре рассматривал своё додекаэдрическое пространство как чисто математический экзерсис, демонстрирующий ограниченность доступных в то время топологических методов, которую он намеревался преодолеть. Но в 2003 году для додекаэдрического пространства наступили его пять минут славы. Космологи наконец нашли ему применение, когда запущенный НАСА зонд микроволновой анизотропии Уилкинсона (WMAP) проводил измерения флуктуаций реликтового излучения – фонового шума, улавливаемого радиотелескопами, который считается эхом Большого взрыва. Статистика этих флуктуаций предоставляет нам информацию о том, как формировалась материя в молодой Вселенной, становясь семенем, из которого впоследствии выросли звёзды и галактики. Таким образом, WMAP способен заглянуть в далёкий космос, а по сути в прошлое, в момент, отстоящий всего на 380 тысяч лет от Большого взрыва.
Некогда большинство космологов полагало, что Вселенная бесконечна. (Пусть это и противоречит стандартной модели Большого взрыва, но так хочется как-нибудь разрешить это противоречие, ведь в образе Вселенных «до упора» есть, что ни говори, внутреннее обаяние, которое мы с вами уже почувствовали в картинке Вселенных «вниз, до самого конца». Правда, по несчастной иронии судьбы это не согласуется с теорией Большого взрыва.) Тем не менее, судя по данным WMAP, Вселенная всё-таки конечна. В бесконечной Вселенной должны были бы существовать флуктуации шума во всех частотных диапазонах, однако в полученных данных длинные волны отсутствовали. Как написали тогда в отчёте, опубликованном в журнале Nature, «в ванне не может быть океанского прибоя». Подробные результаты предоставляют нам дополнительные подсказки о возможной форме нашей маленькой вселенской «ванны», в которой не бывает прибоев. Математик Джеффри Уикс, рассчитывая статистистическую значимость флуктуаций в применении к различным вариантам потенциальных форм Вселенной, заметил, что додекаэдрическое пространство прекрасно и без каких-либо специальных оговорок описывается данными. Группа Жан-Пьера Люмине опубликовала анализ, показывающий, что, если выводы верны, размер Вселенной равняется примерно 30 миллиардам световых лет в поперечнике[61]. Однако затем последовали другие наблюдения, и гипотеза была подвергнута остракизму, хотя, пока она существовала, было весело.
Мы, человеческие мураши, можем воспользоваться другим фокусом, чтобы узнать форму Вселенной. Если она конечна, можно предположить, что некоторые лучи света возвращаются в исходную точку. Если бы вы могли посмотреть вдоль «замкнутой геодезической»[62] (кратчайшее расстояние на геодезической поверхности) в достаточно мощный телескоп, а скорость света была бы бесконечна, то вы могли бы увидеть собственный затылок. С учётом же ограниченности скорости света в реликтовом излучении должен быть некий порядок, формирующий в пространстве концентрические круги. Расположение этих кругов дало бы информацию о топологии пространства. Космологи и математики пытались их найти, однако без каких-либо заметных успехов. Даже если Вселенная конечна, она слишком велика, чтобы мы сумели заглянуть достаточно далеко и их обнаружить.
Поэтому сейчас ответить на вопрос о форме Вселенной легче лёгкого: она неизвестна. Мы не знаем даже, гиперсфера это или что-нибудь более замысловатое. Вселенная слишком огромна, чтобы мы могли рассмотреть её целиком, но даже если бы и могли, наше нынешнее понимание космологии и фундаментальной физики никак не соответствует уровню задачи.
Отдельные трудности современной космологии проистекают из комбинаторного подхода, при котором для одних задач применяется теория относительности, а для других – квантовая механика, без учёта того, что они противоречат друг другу. Теоретики не склонны отказываться от привычных инструментов, даже если эти инструменты никуда не годятся. Однако проблема формы Вселенной действительно нуждается в комбинации этих двух великих физических теорий. Это подводит нас к идее необходимости создания единого теоретического подхода, то есть некой «теории всего на свете», над которой много лет безуспешно бился Эйнштейн. Каким-то образом теория относительности и квантовая механика должны быть трансформированы в последовательную и непротиворечивую теорию.
Как мы уже упоминали в «Науке Плоского мира III», сегодня в этом «забеге» лидирует теория струн, в которой элементарные частицы-дробинки сменились некими многомерными формами. Некоторые вариации теории струн настаивают на девятимерном пространстве – в этом случае пространство-время должно быть десятимерным. Дополнительные шесть измерений пространства, как предполагается, либо плотно свёрнуты и мы их не замечаем, либо вообще нам недоступны. Точно так же А. Квадрат не мог без посторонней помощи покинуть пределы Флатландии, для восприятия третьего измерения ему потребовался «пинок» от Сферы. Кроме того, модная ныне теории струн ввела в оборот принципы «суперсимметрии», предсказывающие существование множества «суперпартнёров» уже известных элементарных частиц. Электрону, например, должен составлять пару «скалярный суперпартнер электрона», или, коротко, «сэлектр