В XV и XVI веках люди в основном занимались тем, что сегодня мы бы назвали элементарной математикой, – вычислениями с помощью индо-арабских цифр, а также решением квадратных и кубических уравнений. Эти два типа математики обычно объединялись под общим термином – арифметика, который к этому времени утратил свое исконное греческое значение (теория чисел) и начал вытеснять средневековый термин – алгоритм. (Алгоритм – вычисление с помощью арабских цифр – искажение имени исламского математика IX в. аль-Хорезми; слово алгебра – искажение названия трактата, в котором он описал искусство решения задач арифметическими, а не геометрическими методами.)
Использование арабских цифр было известно специалистам уже несколько веков; трактат аль-Хорезми по этому вопросу был одним из первых арабских текстов, переведенных в XII веке. А трактат XIII века Леонардо Пизанского (его название «Книга абаки» вводит в заблуждение; на самом деле он сделал абаку [счеты] ненужной) был ясным, кратким и очень полезным изложением главных используемых методов. Но арабские цифры медленно вытесняли счеты. И это было вовсе не так странно, как может показаться. Даже в XVI веке правила простой арифметики казались людям очень сложными для понимания, а письменное деление столбиком действительно занимало очень долгое время[136]. В то же время быстрые и несложные методы более простых арифметических операций были востребованы, особенно в торговых городах Италии и Германии. Чтобы удовлетворить спрос, в конце XV века появилось немало трактатов на эту тему на местных языках. В них рассматривались самые разные вопросы от нумерации до двойной бухгалтерии, от простого сложения до решения квадратных уравнений, от умножения до извлечения корней. Самый полный и подробный трактат XV века – «Сумма», написанный Лукой Пачоли в 1487 году (был опубликован только в 1494 г.), – включал арифметику, алгебру и (кратко) практическую геометрию, став полезным учебником математики.
И в арифметических, и в алгебраических операциях были необходимы некоторые сокращения, да и вообще книгопечатание без сокращений являлось неслыханной идеей в XV веке, все еще находящемся под влиянием стиля манускрипта. Первыми арифметическими знаками стали сокращенные формы слов plus и minus. Современные значки, которые мы используем для обозначения этих операций, впервые появились как торговые символы, обозначающие перевес или недовес тюков или ящиков с товарами. Большинство алгебраических символов XVI века также были не столько символами, сколько сокращенными формами слов. Отдельные термины использовались для степеней, чтобы избежать написания целого словесного выражения. Преимущества символизма становились очевидными медленно. (Даже в конце XVII в. математики писали то аа, то а2.) Все мы хорошо знакомы с системой арифметического и алгебраического символизма, которая считается стандартной уже больше двух веков, и потому мы склонны предполагать, что каждый символ имеет присущие ему достоинства, и считать раннее принятие любого из них достижением. События XVI века показывают, что это заблуждение, и большинство современных символов обязаны своим появлением одной лишь удаче. Пока математики медленно и с трудом переходили от алгебры сокращений (часто ее называют синкопированной алгеброй) к алгебре символов, многие полезные знаки были утрачены[137].
Каждый автор создавал свой собственный символизм, опираясь на предшественников, писавших на его языке, – так что мало-помалу появились национальные школы алгебраических условных знаков. Правда и то, что нет ни одного автора XVI века, трудившегося в этой области, который не изобрел хотя бы одного символа, который до сих пор используется. Так, например, Роберт Рекорд, учитель, а не математик, первым применил современный знак равенства, хотя его использовали и раньше как нематематический коммерческий символ. В работе 1557 года он объяснил, что, по его мнению, ничто не может быть более равным, чем две одинаковые параллельные прямые. Трудно найти пример, лучше иллюстрирующий сложность оценки вклада в символизм, чем работа Симона Стевина о десятичных дробях. Его небольшой труд по этому вопросу был опубликован в 1585 году на голландском языке под названием «Десятая часть» (De Thiende) и имел большое влияние на популяризацию десятичных долей для упрощения арифметических расчетов, но его нотация оказалась сумбурной, нескладной и впоследствии была заменена. Первое предложение о необходимости использования общих правил выдвинул Франсуа Виет (1540–1603). Он предложил использовать гласные для неизвестных количеств и согласные для известных или постоянных количеств. Этот принцип был в конце концов принят (в несколько другой форме), когда Декарт начал ставить буквы в конце алфавита (в первую очередь х) для обозначения неизвестных, а буквы в начале алфавита – для обозначения констант. Это правило быстро вошло в практику XVII века.
Более важным, чем развитие символизма, было открытие общих методов действий с алгебраическими степенями и сложными уравнениями. Греки решали квадратные уравнения геометрически. Исламские математики пошли по их стопам и нашли решения некоторых форм кубических уравнений. Но многие из них впоследствии не нашли решения математическими методами XVI века: немногие квадратные уравнения могли решаться алгебраическими методами, в отличие от геометрических. Пачоли сформулировал простые общие правила для таких уравнений, как х2+ х = а, но для более сложных случаев использовал громоздкие геометрические решения. Цель заключалась в нахождении простых методов, которыми любой может научиться пользоваться, – вот только поиск этих простых методов оказался сложным. Сегодня мало кто сочтет сложной задачу: «Найдите число, которое, умноженное на свой корень плюс 3, составит 21». То есть найти х2, если х3 + 3х2 = 21. Даже если мы не помним, как ее решить, мы точно знаем, что для этого есть метод. А Кардан, гордившийся своими алгебраическими знаниями, не сумел этого сделать, когда Тарталья предложил ему в 1539 году, среди прочих задач, решить эту. Тогда Тарталья подумал, что Кардан хочет заставить его разгласить свой метод решения простых кубических уравнений.
Репутация Тартальи как профессионального преподавателя математики (он читал лекции в Вероне и Венеции), а также его благосостояние зависели от его умения продемонстрировать свои возможности на публичных выступлениях, которые были обычными в XVI веке (и оставались таковыми еще полтора столетия). Такой человек должен всегда иметь что-то в запасе, чтобы завоевать известность и произвести впечатление на коллег. До 1539 года Тарталья нередко сталкивался с публичными вызовами, всякий раз опасаясь, что речь пойдет о кубических уравнениях, он разработал правила для решения одного или нескольких типов. И всегда он успешно отвечал на заданные ему публично вопросы и задавал свои – встречные. Неудивительно, что он писал только о прикладной математике, предпочитая насладиться публичными почестями и славой, прежде чем поведать остальному математическому миру, как решать подобные задачи. В 1539 году к нему обратился Кардан с задачами, которые были частью состязания между Тартальей и другим математиком двумя годами ранее. Тарталья, должно быть сдавшись перед настойчивостью Кардана, дал ответ, который Кардан не смог найти сам. При этом он взял с Кардана обещание не открывать секрет – это обещание Кардан легко нарушил, опубликовав свой алгебраический трактат «Великое искусство» (Ars Magna) шестью годами позже. И хотя Кардан отдал должное Тарталье, последний был раздражен и обижен и в отместку опубликовал всю историю в мельчайших подробностях. Репутация Кардана в глазах историков и математиков совершенно не пострадала, а ведь у Тартальи были все основания обижаться. Дело в том, что, получив метод решения, Кардан сумел проанализировать разные виды кубических уравнений и впервые признал отрицательные корни значимыми. Но он не был автором метода, который описал.
Алгебра в конце XVI века продолжала прогрессировать, особенно в работах Виета и Томаса Гариота (1560–1621). Оба трудились над кубическими уравнениями, изобретая новые методы их решения и решения уравнений более высокой степени. (Они сводили кубическое уравнение к форме у6 + у3 = а, которую можно было рассматривать как квадратное уравнение, а уравнения более высоких степеней решали методом аппроксимации.) Другим серьезным шагом вперед стал разработанный Виетом способ понижения степеней уравнений, то есть сведения сложных уравнений к более приемлемым формам. Виет также уделял много времени площадям фигур, ограниченных сложными кривыми. Продолжало развиваться национальное деление: труды Виета оказали влияние в основном на французскую математику, а английские математики предпочитали черпать идеи у Гариота.
Арифметика была полезна в домашнем хозяйстве и на рынках; алгебра позволяла решить хитроумные задачи, которые, в свою очередь, были применимы в коммерческой практике. Но только к науке все это не имело отношения. Арифметика, конечно, использовалась в астрономических расчетах, но предлагаемые ею методы были слишком обременительными. Астрономические вычисления оставались тяжелой монотонной работой, которую мало кто любил. К счастью для астрономии, во все времена находились ученые, которым нравилось сражаться с большими цифрами. Яркий пример – Кеплер. Даже сравнительно несложные астрономические расчеты затрагивали еще одну отрасль математики, интересную только для астрономов, – древнее искусство тригонометрии. Она получила свое развитие у греческих астрономов, в первую очередь у Гиппарха и Птолемея, поскольку существовала необходимость измерять и линейную, и угловую скорости. Греческая тригонометрия первоначально занималась определением длины дуги путем измерения длины хорды соответствующего круга. Таким образом, на рис. 8, если тело движется от