тий сторонники нечеткой логики разрабатывали огромную математическую машину, которая оперирует этими степенями точности. Нечеткая математика всегда приходит к черно-белым границам в крайних случаях.
Истина, как и точность, снова отсылает нас к проблеме рассогласования описания серого мира черно-белым путем. Эйнштейн был прав: логические доказательства идут вразрез с научными исследованиями. Если мы можем доказать заявление на 100 %, то оно не способно описать мир. И, если оно описывает мир, то мы не можем абсолютно доказать это заявление. Мы можем доказать только математические и логические вещи. Доказательные техники плохо применимы к реальному миру: математика точна, в то время как мир неточен.
Описания делятся на группы: логические и фактические; математические и научные; корреспондентные и последовательные. Это разделение зависит от точности. Логические заявления либо абсолютно неточны, либо абсолютно точны. Все или ничего. Фактические заявления частично точны или частично неточны.
Логическое и фактическое не пересекается. Это привело к тому, что философы видят логические истины лишь как крайности на гранях фактических истин точно так же, как черное и белое может выражать крайние степени серого оттенка.
Выглядит иронично, но неточность занимает важное место в науке. Ни одна научная гипотеза и ни одна научная теория не может быть на 100 % точной. Статус 100 %-ной истины присущ только математике, логике и тавтологии. Неточность пронизывает науку насквозь. Цель науки – максимально исключить неточность, исключить ее настолько, насколько возможно. Даже если бы мы исключили всю нечеткость и размытость из утверждений, проблема бы все равно имела место. Ученые постоянно стремятся к точности и четкости.
Итак, «премия Хемингуэя» могла быть присуждена тому кто сделает такое утверждение о факте, которое на 100 % истинно или на 100 % ложно. Чтобы получить эту награду, ученый должен доказать точное соответствие между словами, объектами и даже их молекулами. Затем он должен подтвердить, что факт соответствует заявлению. После этого ученому будет необходимо доказать, что факт ровно на 100 % точно соответствует заявленному им. Это означает, что необходимо применить научный метод для проверки гипотезы.
Западные философы стали большими энтузиастами в конкуренции за так называемую «премию Хемингуэя» с первых дней появления философии. Впрочем, вся философия сводится к тому, чтобы делать «определенные» утверждения о мире, делая логические заявления о фактах, пытаясь «доказать» немотивированные умозаключения. Идеализм и эмпиризм проистекают из попыток доказать утверждение «мир реальный» или «мир существует». Как вы проверите данную гипотезу? Мыслительные доказательства составляют идеалистическую категорию тестовых процедур: «Только идеи реальны, и у меня есть идеи», – как сказал однажды Платон.
Глава VI. Парадоксы
Вся традиционная логика обычно предполагает, что в ней используются только точные символы. Закон исключенного среднего – истина, когда используются точные символы, но он неверен, когда символы являются неопределенными и неточными.
Два события в начале XX века породили нечеткую, или «туманную логику», как ее в то время называли философы. Во-первых, логик Бертран Рассел вновь открыл и раскрыл классические греческие парадоксы на основе современной математики. Затем физик Вернер Гейзенберг обнаружил «принцип неопределенности» в квантовой физике. Парадокс Рассела положил конец тысячелетию слепой веры в точность математики, двухвалентной математики. Некоторые математики описали данный эффект как «потерянный рай».
В начале XX века Рассел заложил логические основы для нечеткой, неопределенной логики, но никогда не концентрировался на данном вопросе и не занимался им всерьез. Но стоит отметить, что, по крайней мере, он наконец выпустил серого кота из черно-белой сумки.
Принцип квантовой неопределенности Гейзенберга закончил или, по крайней мере, помял наше слепое верование в точность науки и фактических истин. Эта вера росла и развивалась со времен Исаака Ньютона, когда она в значительной степени вытесняла веру в религию и Бога. Теперь наука стала более свободной и смогла освещать новые пути. Сначала мы рассмотрим парадоксы Рассела и принцип неопределенности Гейзенберга и поглядим, где заканчивается западная логика и начинается размытость.
Рассмотрим гору песка. Гора ли это? Да. Выбросьте горсть песка из этой кучи, замените часть песка зерном. Будет ли гора песка все еще являться горой песка? Да. Продолжайте убирать песок и задавать себе этот двухвалентный вопрос – и в конце концов вы окажетесь у пустоты: перед вами не будет ни песчинок, ни горы песка. Гора песка превратилась в ничто.
Парадокс Кучи – логический парадокс, сформулированный Евбулидом из Милета (IV век до н. э.), связанный с неопределенностью предиката «быть кучей». Формулировка парадокса основана на базисной предпосылке, согласно которой одно зернышко не образует кучи, и индуктивной предпосылке, по которой добавление одного зернышка к совокупности, кучей не являющейся, несущественно для образования кучи. При принятии этих предпосылок никакая совокупность из сколь угодно большого количества зерен не будет образовывать кучи, что противоречит представлению о существовании кучи из зерен.
Греческое слово sorites означает логическую цепочку высказываний по принципу: «Если А, тогда В; Если В, то тогда и С; Если С… Если Y, то Z», и так далее. Получается, что первое слагаемое влечет за собой последнее: если А, то Z. Утверждения словно спускаются по лестнице.
Бертран Рассел привел пример мужской головы, обрамленной волосами, и задал вопрос, был ли мужчина лысым. Если мы будем состригать волосы с мужской головы по частям и то и дело задаваться вопросом, лысый ли мужчина, то не сможем утвердительно ответить на данный вопрос до тех пор, пока не сострижем все волосы с головы мужчины. Парадокс кучи звучит и выглядит более логично, поскольку в нем мы можем наблюдать последовательность фактов. Например: ваш мозг жив? Да. А если мы убьем одну его живую клетку, будет ли он все еще являться живым? Да. Мы продолжим задавать вопросы до тех пор, пока, в конечном итоге, спрашивать будет уже не о чем. Теперь попробуем перевернуть игру наоборот и представим, что мы имеем дело с безжизненным замороженным мозгом, к которому применили умную армию нечетких роботов, которые в свою очередь являются специалистами в области молекулярной инженерии и восстанавливают молекулы в мертвых клетках мозга и оживляют их. Мозг мертв? Да, он все еще мертв. Восстановим еще одну его клетку, затем еще одну, словно механик часть за частью чинит разбитую машину, и в конечном итоге ваш мозг снова живет, и вы снова живете. Что-то вроде этого случается каждое утро, когда мы просыпаемся и переходим от сна к бодрости.
Эти примеры могут показаться смешными и изобретательными для подтверждения утверждения о том, что все включает Парадокс Кучи. Поэтому рассмотрим любую старую вещь, сделанную из чего угодно. Рассмотрим камень или стул, планету или вовсе Вселенную. Они сделаны из молекул. Вещи и люди – это просто наборы молекул, мешки с атомами. Некоторые молекулы принадлежат к веществу, а остальные – нет. По крайней мере, согласно двухвалентной логике. Молекулы, выходящие за границы предмета, бросают вызов классификации.
Проще говоря, Парадокс Кучи состоит в следующем: если мы рассмотрим кучу песка, из которого постепенно удаляются песчинки, то можно построить рассуждение, используя утверждения: 1000000 песчинок – это куча песка; куча песка минус одна песчинка – это по-прежнему куча песка.
Если без остановки продолжать второе действие, в конечном счете это приведет к тому, что куча окажется состоящей из одной песчинки. На первый взгляд есть несколько способов избежать этого заключения. Можно возразить первой предпосылке, сказав, что миллион песчинок – это не куча. Но вместо 1000000 может быть сколь угодно другое большое число, а второе утверждение будет верным при любом числе с любым количеством нулей.
Таким образом, ответ должен прямо отрицать существование таких вещей, как куча. Кто-то может возразить второй предпосылке, заявив, что она верна не для всех «коллекций зерна» и что удаление одного зерна или песчинки все еще оставляет кучу кучей. Или же может заявить о том, что куча песка может состоять из одной песчинки.
Нечеткая логика берет «парадокс» из парадокса кучи. Это сводится к простой арифметике: умножьте кучу определений и получите определенность. Умножьте кучу неопределенностей, и получите сложную неопределенность. Чем больше неопределенностей вы умножаете, тем больше неопределенностей получаете. Бивалентность гласит, что утверждение «мозг жив» истинно на 100 %. Нечеткая логика или многозначность считает, что это правда в некоторой степени, менее 100 %, сначала, возможно, 99 % истинно, и в конечном итоге только 1 % истинно, когда, допустим, уже почти все клетки мозга мертвы.
Мораль: чем больше шагов в нашем вопросе, тем сложнее опрос. Когда мы спускаемся по лестнице выводов, выводов Шерлока Холмса, каждый шаг становится менее уверенным, менее безопасным, менее убедительным. Чем дольше он объясняется, тем меньше мы доверяем ему. Лучшим аргументом является прямое доказательство или опыт.
А как же дело обстоит с математическими рассуждениями? Они остаются двухвалентными. Они следуют по цепочке 100 %-ной уверенности и точности. Факт А влечет за собой факт В с точностью, факт В с точностью влечет за собой факт С, и так далее, пока дело не дойдет до определенного вывода. Математики часто судят о «глубине» теоремы по количеству шагов в ее доказательстве.
В 1976 году компьютер проверил тысячи случаев, чтобы доказать теорему о четырех цветах, согласно которой возможно окрасить карту только четырьмя цветами, если страны, разделяющие границы, должны иметь разные цвета. «Глубокая теорема» означает твердое доказательство, и это обычно означает длительное доказательство. Парадокс Кучи напоминает нам, что блуждать по просторам математики – совсем другое дело, нежели теоретически блуждать по просторам Вселенной.