Нечеткая логика основывается на двухвалентном рассуждении математики. Мы используем много маленьких черно-белых кирпичиков для построения математической теории серости. Тогда возникает вопрос: можем ли мы найти математическое утверждение, которое является серым? Проблема несоответствия (вызов Хемингуэя) заставляет нас отказаться от поиска утверждения о мире, которое является определенным, черно-белым описанием серой вещи. Но как насчет обратного? Можем ли мы найти серое описание черно-белой математики?
Парадоксы в тех случаях, когда некое понятие ссылается само на себя, облачены в такие формы, в которых они одновременно утверждают и отрицают себя. Они обладают логической формой и во многом способны раздосадовать западных математиков.
Существует множество парадоксов, которые имеют одну из конечных точек, – факт А или не факт А. Из всех правил есть исключения. Это правило. Есть ли у него исключения? Предположим, что есть. Но тогда оно перестает быть правилом. Если у него есть исключения, тогда есть правила без исключений, и оно опровергает себя. В таком случае получается, что конечная точка данного парадокса находится где-то между фактом А и фактом не А. То же самое справедливо и для обобщения – все обобщения ложны.
Вы можете создать свой собственный парадокс лжеца на карточке. Для этого на одной стороне карточки напишите: «Предложение с другой стороны карточки истинно». С другой стороны напишите: «Предложение с другой стороны ложно».
В таких случаях парадоксы, которые ссылаются сами на себя, выглядят довольно забавно и симпатично, просто создавая игру слов. Это помогло дать им название «парадокс», которое предполагает, что двухвалентные противоречия являются только очевидными проблемами, а также что они представляют собой исключения, которые мы можем исправить путем работы с ними.
Бертран Рассел нашел парадокс, который положил конец точной математике, которая преобладала и главенствовала в науке со времен Аристотеля. Именно по этой причине Бертран Рассел может по праву считаться «дедушкой» нечеткой логики.
Парадокс Рассела имеет дело с множеством множеств. Коробок, которые наполнены коробками. Сами по себе множества не являются нечеткими. Объекты либо внутри них, либо снаружи. И это тоже вопрос степени. Бертран Рассел обнаружил множества, содержащие объекты и не содержащие объекты внутри себя. Иными словами, он обнаружил множество всех множеств, которые не являлись своими членами.
Рассмотрим множество яблок. Является ли оно множеством самого себя? Нет. Его члены – яблоки, а не множества. То же самое относится ко множествам других возможных объектов, предметов, людей, звезд и вселенных. Они не содержат множества. Они содержат людей, звезды или вселенные. А что насчет множества всех множеств? Является ли оно членом самого себя? Да. Множество всех множеств – это то множество, которому принадлежит членство в своем клубе.
Парадокс Рассела поразил математическое сообщество, произвел фурор и получил статус скандального. За несколько десятилетий до этого математикам приходилось иметь дело с неевклидовыми геометриями изогнутого пространства. На рубеже веков Георг Кантор, немецкий математик, ученик Вейерштрасса, наиболее известный как создатель теории множеств, заставил их принять каскад бесконечностей – столько бесконечностей, сколько существовало чисел (по правде говоря, возможно, чисел существует гораздо больше, чем мы привыкли думать, – возможно, существует континуум нечетких бесконечностей). Но изогнутое пространство и лестница бесконечностей не оспаривали определенность математики. Они расширяли ее границы, переводя на новый уровень. Парадокс Рассела был не парадоксом, а противоречием. Это означало, что возможно доказать любое заявление, которое нравилось ученым, поскольку противоречие подразумевает все.
Первой реакцией на это стало отрицание. Многие математики не одобряли парадоксы, не воспринимая их всерьез и считая, что парадоксы – лишь игра слов. Они не наблюдали проблем или противоречий в математических направлениях, которыми занимались. Они не обнаружили никаких парадоксов ни в гомологической ветви алгебры, ни в коммуникативной алгебре, ни в дифференциальной геометрии. Парадоксы казались артефактами, полученными в процессе того, как логики использовали основы логики и теории множеств. И такое отношение к парадоксам сохраняется по сей день. Парадоксы затрагивают многие разнообразные ветви и направления математики, оказывая влияние на них потому, что каждая ветвь основывается на теории множеств, но, тем не менее, математики не придают парадоксам надлежащего значения. Множество или класс является фундаментальной структурой в математике. Изначально существовали не объекты, а множества объектов. Даже множества были пусты.
Следующей реакцией на появление парадоксов стала попытка определить их как несуществующие. Парадоксы – противоречия. Ученые пытались доказать, что предположения и допущение различных фактов при объяснении парадоксов приводят к противоречию или абсурду. Такой техникой пользовался древнегреческий философ Сократ, этой же техникой пользуются политики для атаки на своих оппонентов. Мы не замечаем, как часто все мы в повседневной жизни прибегаем к подобному приему опровержения того, что нам не нравится.
Не нужно спорить с идеей или практикой. Нужно показать, что предмет обсуждения абсурден или приводит к плохим последствиям: атеизм влечет упадок морали. Анархия ведет к хаосу. Употребление марихуаны влечет за собой употребление более тяжелых наркотиков. Порнография приводит к насилию. В этих случаях мы используем следующую технику: если А подразумевает С и если С оказывается ложным или ведет по неправильному пути, тогда мы отрицаем А.
Парадоксы Бертрана Рассела были непростыми. Все пути в математике вели к ним, вся математика в целом сводилась к ним. Логика вела к ним. Никто не знал, от каких математических идей и предположений они должны были отказаться, чтобы предотвратить парадоксы. В споре более одного шага. Эффект имеет несколько совместных логических причин. Если А и В означают С, а если С получается ложным, то либо А является ложным, либо В является ложным, либо оба А и В являются ложными. Мы не знаем, что именно. Математика основывается на нескольких аксиомах и некоторых наитиях. Какие именно из них вызвали проблемы и несоответствия?
Начался поиск чистого набора аксиом, который избегал парадоксов. Рассел предложил свою «теорию типов», чтобы избежать парадоксов. Эта теория гласила, что можно говорить только на одном уровне математики за один раз, продвигаясь по иерархии математической лестницы. То есть, вы можете сделать утверждение «яблоки – красные», потому что знаете, что красный цвет – свойство яблок. Это свойство присуще данным объектам в логической иерархии. Также вы можете сделать заявление «красный – это цвет», идя по такому же логическому пути. Но вы не можете сказать «яблоки – это цвет» потому что тогда вы пропустите одну из логических ступеней математической лестницы. Так утверждал Бертран Рассел. Он утверждал так в надежде, что это поможет предотвратить парадоксы.
Математики и логики оспаривали это предположение и продолжали демонстрировать, что теория типов Рассела обходится математике слишком дорого.
Другие предложенные наборы аксиом постигла та же участь. Эти аксиомы либо содержали слишком много математики, либо приводили к новым парадоксам. Некоторые сочетали и то, и другое. Они сохранили математику за счет математики и не предложили другой альтернативы. Новые аксиомы не опирались на интуицию. Они были слишком загадочными и абстрактными для мозга человека, развившегося путем эволюционирования от млекопитающих. Символы языка и символы торговли появились в конце этого процесса за последние 10000 лет или около того – примерно за последние 500 поколений. Единственным возможным случаем появления нового набора аксиом был случай, который подразумевал под собой избавление от парадоксов с ущербом для математики.
Рассел, похоже, первым предложил нечеткие ответы на вопросы. Он не преследовал нечеткую логику непосредственно, но, так или иначе, он в некотором роде ее предложил. Почему бы не отказаться от закона исключенного среднего? К черту Аристотеля. Кто сказал, что верен и может существовать либо факт А, либо факт не А? Но это казалось слишком радикальным. Никто не хотел отказываться от доказательства путем противоречия. Гарвардский логик Уиллард Ван Орман Куайн, преемник Рассела, как и другие, сказал, что сам взгляд был своего рода «доведением до абсурда».
Идея об абсурдности также упускала из виду ключевой момент: кто сказал, что все противоречия одинаковы? Предположим, что мы подчиняемся законам логики и математики и получаем один из ответов: А или не А. Кто сказал, что это утверждение должно быть точным на 100 %? Мы имеем дело с пограничными делами только в том случае, когда сами определяем границы.
Нечеткий подход идет еще дальше – с точки зрения нечеткой логики парадоксы самореференции, парадоксы с отсылкой на самих себя, являются «полуправдами». Нечеткими противоречиями. А и не А, но А истинно только 50 %, а не А истинно только 50 %. Парадоксы буквально наполовину верны и наполовину ложны. Они находятся в середине нечетких кубов, равноудаленных от черно-белых их граней. Они соответствуют Будде, который сидит, ухмыляясь, и Аристотелю, который сидит нахмурившись при разных значениях.
Старые и новые парадоксы многому учат нас. Первое, чему они учат, – это то, что мы назвали их неверно. Термин «парадокс» предполагает исключение. Чистый анализ показывает обратное. Парадоксы – это правило, а не исключение. Исключением являются чистые черно-белые исходы, нечеткие кубы, заполненные серыми ответами. Есть две аристотелевские крайности черного и белого, 0 и 1, и бесконечно много оттенков серого между ними. Серый оттенок означает факт А и факт не А в некоторой степени. Парадоксы также показывают, чего стоит бивалентность и как дорого она иногда обходится. Вы не можете всегда просто брать и округлять факты, это не так просто. Вы меняете точность на простоту, и за это приходится платить.